成都自主招生數(shù)學(xué)試卷

成都自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在成都自主招生考試中，以下哪個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（）。

A.$f(x)=x^2-4x+3$

B.$f(x)=-x^2+4x-3$

C.$f(x)=2x^3-3x^2+2x-1$

D.$f(x)=x^3-3x^2+2x-1$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_5=35$，$S_8=64$，則$a_6=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

二、判斷題

1.在成都自主招生數(shù)學(xué)考試中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$直接計(jì)算得到。（）

2.如果一個(gè)數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，那么數(shù)列的第$n$項(xiàng)$a_n$可以表示為$a_n=S_n-S_{n-1}$。（）

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式是$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中$A$、$B$和$C$是直線方程$Ax+By+C=0$的系數(shù)。（）

4.在成都自主招生數(shù)學(xué)考試中，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$時(shí)，判別式$\Delta=b^2-4ac$的值決定了方程的根的性質(zhì)。（）

5.在成都自主招生數(shù)學(xué)考試中，如果$n$是奇數(shù)，那么$n^2$一定是偶數(shù)。（）

三、填空題

1.在函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+2x-1$中，若$f(x)$的圖像在點(diǎn)$x=1$處的切線斜率為_(kāi)_________。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第三項(xiàng)$a_3=7$，公差$d=3$，則該數(shù)列的第一項(xiàng)$a_1=__________$。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P(2,3)$到直線$x-2y+4=0$的距離為_(kāi)_________。

4.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，得到兩個(gè)根$x_1$和$x_2$，若$x_1+x_2=__________$，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

5.在函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定義域中，若要使$f(x)$有意義，則$x$的取值范圍是__________。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述一元二次方程的解法，并舉例說(shuō)明如何使用配方法解一元二次方程。

2.請(qǐng)解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并給出一個(gè)例子，說(shuō)明如何計(jì)算這兩個(gè)數(shù)列的前$n$項(xiàng)和。

3.如何在直角坐標(biāo)系中找到直線$y=mx+b$的斜率$m$和截距$b$？請(qǐng)給出一個(gè)具體的例子。

4.簡(jiǎn)述函數(shù)的奇偶性定義，并舉例說(shuō)明如何判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)、偶函數(shù)還是非奇非偶函數(shù)。

5.請(qǐng)解釋什么是函數(shù)的極值，并說(shuō)明如何通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=3n^2-n$，求該數(shù)列的第一項(xiàng)$a_1$和公差$d$。

3.求直線$2x-3y+6=0$與直線$x+4y-5=0$的交點(diǎn)坐標(biāo)。

4.解一元二次方程$x^2-6x+8=0$，并求出方程的判別式$\Delta$。

5.計(jì)算函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在其定義域內(nèi)的極值點(diǎn)，并判斷該極值點(diǎn)是極大值還是極小值。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司計(jì)劃推出一款新產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該產(chǎn)品在市場(chǎng)上的需求量$Q$與價(jià)格$P$的關(guān)系可以近似表示為$Q=100-2P$。同時(shí)，該公司的成本函數(shù)為$C(P)=50P+5000$，其中$P$是每件產(chǎn)品的價(jià)格，$C(P)$是總成本。

案例分析：

（1）請(qǐng)根據(jù)上述需求函數(shù)和成本函數(shù)，寫(xiě)出該公司的利潤(rùn)函數(shù)$L(P)$。

（2）求出利潤(rùn)函數(shù)$L(P)$的最大值，并確定實(shí)現(xiàn)最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)品價(jià)格$P$。

2.案例背景：某城市交通管理部門正在研究一條新修建道路的收費(fèi)策略。假設(shè)道路的固定成本為$20000$元，每輛車的可變成本為$0.5$元/公里。根據(jù)交通流量數(shù)據(jù)，每輛車的平均行駛距離$D$與收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)$R$的關(guān)系可以表示為$D=100-R$。

案例分析：

（1）請(qǐng)根據(jù)上述關(guān)系，建立道路運(yùn)營(yíng)的收益函數(shù)$R(R)$。

（2）求出收益函數(shù)$R(R)$的最大值，并確定實(shí)現(xiàn)最大收益時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)$R$。同時(shí)，分析此收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)道路使用量的影響。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某班級(jí)有學(xué)生50人，根據(jù)成績(jī)分布，成績(jī)?cè)?0-70分的學(xué)生占30%，70-80分的學(xué)生占40%，80-90分的學(xué)生占20%，90分以上的學(xué)生占10%。請(qǐng)問(wèn)該班級(jí)平均分是多少？

2.應(yīng)用題：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

3.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，如果每天生產(chǎn)10件，則可以在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成；如果每天生產(chǎn)15件，則可以提前一天完成。請(qǐng)計(jì)算該工廠需要多少天才能完成這批產(chǎn)品的生產(chǎn)？

4.應(yīng)用題：某市自來(lái)水公司的水費(fèi)計(jì)算方式為：每月用水量不超過(guò)15噸的部分，每噸水費(fèi)2元；超過(guò)15噸的部分，每噸水費(fèi)3元。如果某用戶一個(gè)月的水費(fèi)是45元，求該用戶一個(gè)月的用水量。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.B

2.19

3.3

4.B

5.3

6.2

7.1

8.A

9.4

10.C

二、判斷題答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空題答案：

1.-2

2.5

3.2

4.5

5.$x\neq2$

四、簡(jiǎn)答題答案：

1.一元二次方程的解法包括公式法、因式分解法、配方法等。配方法解一元二次方程的步驟如下：首先，將方程$ax^2+bx+c=0$的左邊化為完全平方的形式；然后，根據(jù)配方法得到的完全平方公式，解出$x$的值。

2.等差數(shù)列的定義是：數(shù)列中，任意相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為公差。等比數(shù)列的定義是：數(shù)列中，任意相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為公比。等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$，其中$r$為公比。

3.在直角坐標(biāo)系中，直線$y=mx+b$的斜率$m$就是直線的傾斜程度，截距$b$是直線與$y$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。斜率$m$可以通過(guò)直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得到，即$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

4.函數(shù)的奇偶性定義如下：若對(duì)于函數(shù)$f(x)$的定義域內(nèi)的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，則稱$f(x)$為偶函數(shù)；若對(duì)于函數(shù)$f(x)$的定義域內(nèi)的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，則稱$f(x)$為奇函數(shù)；否則，稱$f(x)$為非奇非偶函數(shù)。

5.函數(shù)的極值是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值中，該點(diǎn)的函數(shù)值比其附近的函數(shù)值都要大（或?。@個(gè)點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，可能是極值點(diǎn)。進(jìn)一步判斷極值點(diǎn)的類型，如果導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)，則該點(diǎn)是極大值點(diǎn)；如果導(dǎo)數(shù)從負(fù)變正，則該點(diǎn)是極小值點(diǎn)。

五、計(jì)算題答案：

1.$f'(2)=6$

2.$a_1=5,d=5$

3.交點(diǎn)坐標(biāo)為$(3,1)$

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