中考數(shù)學(xué)專題 訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題1．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點(diǎn)F，連接DF．(1)請(qǐng)直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．3．在中，，，點(diǎn)D是直線AC右側(cè)一點(diǎn)，且，連接BD．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接DE．(1)觀察猜想，如圖1，當(dāng)時(shí)，AD、CD、BD的數(shù)量關(guān)系是_______；(2)類比探究，如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)拓展應(yīng)用，如圖3，在矩形ABCD中，，，EP是的中位線，將繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫B(tài)E的長(zhǎng)．4．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對(duì)角線上，展開得折痕、，連接，如圖1．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點(diǎn)、，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對(duì)角線，若圖2中的的邊、分別交對(duì)角線于點(diǎn)、點(diǎn)．如圖3，求的值；(4)求證：．5．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的延長(zhǎng)線上時(shí)，與交于點(diǎn)，其他條件不變，已知，求的值；(3)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段上存在一點(diǎn)，使的值最小，當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，若的長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)．6．若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)，的值最小．(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時(shí)，這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫出的值．7．如圖1，在中，，．點(diǎn)、分別在、邊上，，連接、、．點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、、．(1)與的數(shù)量關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中與的數(shù)量關(guān)系結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，，在將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求的長(zhǎng)度．8．正方形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G分別在邊、、上．(1)在圖①中，于點(diǎn)P，連接、；①判斷線段、之間的關(guān)系____________；②若，，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直接寫出線段的長(zhǎng)度______；③若，當(dāng)E、F在邊、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是______；(2)在圖②中，于點(diǎn)P，連接，比較

與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．實(shí)踐與探究情境：在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)F在AC上，且，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AC，交CD于點(diǎn)E，連接AE，AF．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)圖（1）中，線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______；直線AE與直線BF的夾角的度數(shù)是______．(2)問(wèn)題拓展當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．(3)問(wèn)題延伸在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離為2時(shí)，直接寫出AE的長(zhǎng)．10．定義：兩個(gè)頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的等腰三角形組合稱為“相似等腰組”．如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE即為“相似等腰組”．(1)如圖2，將上述“相似等腰組”中的△ADE統(tǒng)看點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，判斷△ABD和△ACE是否全等，并說(shuō)明理由；(2)如圖3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰組”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于點(diǎn)O，判斷DC和BE的位置及大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖4，在等邊△ABC中，D是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且，，，直接寫出△ABC的面積．11．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a得到△CBE，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B，E．(1)如圖1，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，則∠CDE=（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，a=60°，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，然后探究線段CF，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)圖3中，若CA＝2，CD＝2，將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，△CAD的面積最大，最大面積是．12．定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC=60°，AC=，求AE+BE+CE=___________．【嘗試應(yīng)用】(2)如圖2，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究等邊三角形ABC的“近點(diǎn)”P與D的距離，并求出等邊三角形ABC的“最近值”．【拓展提高】(3)如圖3，在菱形ABCD中，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．13．綜合與實(shí)踐問(wèn)題：如圖1，已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足為F．證明與推斷(1)①四邊形CEGF的形狀是；②的值為；【探究與證明】(2)在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展與運(yùn)用】(3)如圖3，在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AG和GE的位置關(guān)系是．14．已知是等腰三角形，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，(1)感知：如圖①，當(dāng)落在AB邊上時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不需要證明）；(2)探究：如圖②，當(dāng)不落在AB邊上時(shí)，AB與是否相等？如果相等；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖③，若，、交于點(diǎn)E，則_____度．15．在正方形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作直線l，點(diǎn)E在直線l上，連接CE，DE，其中，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，交直線l于點(diǎn)H．（1）當(dāng)直線l在如圖①的位置時(shí)①請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系______．②請(qǐng)直接寫出線段BH，EH，CH之間的數(shù)量關(guān)系______．（2）當(dāng)直線l在如圖②的位置時(shí)，請(qǐng)寫出線段BH，EH，CH之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）已知，在直線l旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出EH的長(zhǎng)．16．在等邊中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接．（1）如圖1，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接，猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、交于點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出的值．17．在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）得到，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)落在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，①連接，求線段的長(zhǎng)．②求從初始狀態(tài)到此位置時(shí)，線段AB掃過(guò)的面積．（2）如圖2，連接，，所在直線與所在直線交于點(diǎn)M，所在直線與交于點(diǎn)N，當(dāng)0°＜α≤180°時(shí)，是否存在α使得＝2MN，若存在，請(qǐng)求出α；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，所在直線與所在直線交于點(diǎn)M，K為邊AB的中點(diǎn)，連接MK，請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MK長(zhǎng)度的取值范圍．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，連接OB．點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重