小學(xué)奧數(shù)行程問題經(jīng)典

第一講行程問題(一)

教學(xué)a標(biāo)：

1、比例的基本性質(zhì)

2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題

3、能夠進(jìn)行各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化；

4、單位“1”變化的比例問題

5、方程解比例應(yīng)用題

知識(shí)點(diǎn)撥：

發(fā)車問題

(1)、一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答；

汽車間距二(汽車速度+行人速度)X相遇事件時(shí)間間隔

汽車間距二(汽車速度-行人速度)X追及事件時(shí)間間隔

汽車間距二汽車速度X汽車發(fā)車時(shí)間間隔

(2)、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖——盡可能多的列3個(gè)好便公式——結(jié)合s全程=^XL結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。

(3)當(dāng)出現(xiàn)多次相遇和追及問題——柳卡

火車過橋

火車過橋問題常用方法

(1)火車過橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車是離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和.

(2)火車與人錯(cuò)身時(shí)，忽喀人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和則為

兩車身長(zhǎng)度之和.

(3)火車與火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長(zhǎng)度，那么他所看到的錯(cuò)車的

相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.

對(duì)于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，

在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來進(jìn)行.

接送問題

根據(jù)校車速度(來回不同)、班級(jí)速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類為四種常見題型:

(1)車速不變-班速不變一班數(shù)2個(gè)(最常見)

(2)車速不變-班速不變一班數(shù)多個(gè)

(3)車速不變-班速變一班數(shù)2個(gè)

(4)車速變一班速不變一班數(shù)2個(gè)

標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖+列3個(gè)式子

1、總時(shí)間二一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間；

2、班車走的總路程；

3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間二班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。

時(shí)鐘問題：

時(shí)鐘問題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及問題，不過這里的兩個(gè)“人”分別是時(shí)鐘的分

針和時(shí)針。

時(shí)鐘問題有別于其他行程問題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠绞讲辉偈浅Ｒ?guī)的米每秒或者卜米每小時(shí)，而

是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。

流水行船問題中的相遇與追及

①兩只船在河流中相遇問題，當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：

甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度二（甲船速+水速）+（乙船速-水速）二甲船船速+乙船船速

②同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，與水速無關(guān).

甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣榷状?水速）-（乙船速+水速）二甲船速-乙船速

也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度二（甲船速-水速）-（乙船速-水速）二甲船速-乙船速.

說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.

例題精講：

模塊一發(fā)車問題

［例1］某停車場(chǎng)有10輛出租汽車，第一輛出租汽車出發(fā)后，每隔4分鐘，有一輛出租汽車開出.在第一

輛出租汽車開出2分鐘后，有一輛出租汽車進(jìn)場(chǎng).以后每隔6分鐘有一輛出租汽車回場(chǎng).回場(chǎng)的出

租汽車，在原有的10輛出租汽車之后又依次每隔4分鐘開出一輛，問：從第一輛出租汽車開出后,

經(jīng)過多少時(shí)間，停車場(chǎng)就沒有出租汽車了？

【解析】這個(gè)題可以簡(jiǎn)單的找規(guī)律求解

時(shí)間車輛

4分鐘9輛

6分鐘10輛

8分鐘9輛

12分鐘9輛

16分鐘8輛

18分鐘9輛

20分鐘8輛

24分鐘8輛

由此可以看出：每12分鐘就減少一輛車，但該題需要注意的是：到了剩下一輛的時(shí)候是不符合這種

規(guī)律的到了12*9=108分鐘的時(shí)帙，剩下一輛車，這時(shí)再經(jīng)過4分鐘車廠恰好沒有車了，所以第112

分鐘時(shí)就沒有車輛了，但題目中問從第一輛出租汽車開出后，所以應(yīng)該為108分鐘。

［例2］某人沿著電車道旁的便道以每小時(shí)4.5千米的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12分

鐘有一輛電車從后面追過，如果電車按相等的時(shí)間間隔以同一速度不停地往返運(yùn)行.問：電車的

速度是多少？電車之間的時(shí)間間隔是多少？

【解圻】設(shè)電車的速度為每分鐘x米.人的速度為每小時(shí)4.5千米，相當(dāng)于每分鐘75米.根據(jù)題意可列方程

如下：（x+75）x7.2=（x—75）x12,解得％=300,即電車的速度為每分鐘300米，相當(dāng)于每小時(shí)18

千米.相同方向的兩輛電車之間的距離為：（300-75）x12=2700（A）,所以電車之間的時(shí)間間隔為：

2700+300=9（分鐘）.

【鞏固】某人以勻速行走在一條公路上,公路的前后兩端每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛公共汽車.他發(fā)現(xiàn)每隔15分

鐘有一輛公共汽車追上他；每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來擦身而過.問公共汽車每隔多少分

鐘發(fā)車一輛？

【解析】這類問題一般要求兩個(gè)基本量：相鄰兩電車間距離、電車的速度。是人與電車的相遇與追及問題，

他們的路程和（差）即為相鄰兩車間距離，設(shè)兩車之間相距S,

根據(jù)公式得S=(丫人+%)xlOmin,提+與N=7,那么6%-(6T)y=3x+(37)y,解得

2

x=(3-jr)y,所以發(fā)車間隔r=2.5x+2.5y=3x+(3-r)y

【鞏固】某人沿電車線路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來.假設(shè)兩

個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的，求這個(gè)發(fā)車間隔.

【解析】設(shè)電車的速度為〃，行人的速度為兒因?yàn)槊枯v電車之間的距離為定值，設(shè)為/.由電車能在12分鐘

追上行人/的距離知，x=（2/-l）y;由電車能在4分鐘能與行人共同走過/的距離知，—，所以有

12

/=]2（〃f）=4（a+8），有4=2力，即也車的速度是行人步行速度的2倍。那么/=4（〃+8）=6/則發(fā)車間隔

上：50^-（1--）=54—.即發(fā)車間隔為6分鐘.

1211

[例3]一條公路上，有一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鐘有一輛

公共汽車超過步行人，每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車始發(fā)站發(fā)車的時(shí)間

間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？

【解析】要求汽車的發(fā)車時(shí)間間隔，只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒有直

接告訴我們這兩個(gè)條件，如何求出這兩個(gè)量呢？

由題可知：相鄰兩汽車之間的跖離（以下簡(jiǎn)稱間隔距離）是不變的，當(dāng)一柄公共汽車超過步行人時(shí)，

緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是向隔距禹，每隔6分鐘就有一輛汽車超過步行人，

這就是說：當(dāng)一輛汽車超過步行人時(shí)，下一輛汽車要用6分鐘才能追上步行人，汽車與行人的路程

差就是相鄰兩汽車的間隔距離。對(duì)于騎車人可作同樣的分析.

因此，如果我們把汽車的速度記作/汽，騎車人的速度為/自，步行人的速度為/人（單位都是米/

分鐘），則：間隔距離二（P汽-/人）X6（米），間隔距離二（7汽-V自）X10（米），/自二3/人。綜

合上面的三個(gè)式子，可得：V汽=6/人，即/人=1/6/汽，

則：間隔距離二（/汽-1/6/汽）X6=5/汽（米）

所以，汽車的發(fā)車時(shí)間間隔就等于：間隔距離+/汽=5/汽（米）：/汽（米/分鐘）=5（分鐘）。

t鞏固】從電車總站每隔一定時(shí)間開出一輛電車。甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向步行。甲每分鐘步行

82米，每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎面開來

的一輛電車。那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？

【解圻】這類問題一般要求兩個(gè)基本量：相鄰兩電車間距離、電車的速度。甲與電車屬于相遇問題，他們的

路程和即為相鄰兩車間距離，根據(jù)公式得54^,類似可得（12-10）x60-549=659，那么65』，

1111II11

即—,解得54米/分,因此發(fā)車間隔為9020:820=11分鐘。

【例4】甲城的車站總是以20分鐘的時(shí)間間隔向乙城發(fā)車，甲乙兩城之間既有平路又有上坡和下坡，車輛

（包括自行車）上坡和下坡的速度分別是平路上的80%和120%,有一名學(xué)生從乙城騎車去甲城，

已知該學(xué)生平路上的騎車速度是汽車在平路上速度的四分之一，那么這位學(xué)生騎車的學(xué)生在平路、

上坡、下坡時(shí)每隔多少分鐘遇到一輛汽車？

【解圻】先看平路上的情況，汽車每分鐘行駛汽車平路上汽車間隔的1/20,那么每分鐘自行車在平路上行駛

汽車平路上間隔的1/80,圻以在平路上自行車與汽車每分鐘合走汽車平路上間隔的

1/20+1/80=1/16,所以該學(xué)生每隔16分鐘遇到一輛汽車，對(duì)于上坡、下坡的情況同樣用這種方法考

慮，三種情況中該學(xué)生都是每隔16分鐘遇到一輛汽車.

【例5】甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時(shí)間兩地同時(shí)各發(fā)出一輛電車，小張和小王分別騎車從甲、

乙兩地出發(fā)，相向而行.每輛電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小張每隔5分鐘遇到迎

面開來的一輛電車；小王每隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車.已知電車行駛?cè)淌?6分鐘，那

么小張與小王在途中相遇時(shí)他們已行走了分鐘.

【解析】由題意可知，兩輛電車之間的距離

10電車行8分鐘的路程（專柄電車都隔4分鐘遇到迎面開來的一輛電車）

10電車行5分鐘的路程1小張行5分鐘的路程

【解析】根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000+3600=20（米/秒），

某列車的速度為：（25^210）4-（25-23）=404-2=20（米/秒）

某列車的車長(zhǎng)為：20X25-250=500-250=250（米），

兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：（250+150）4-（20+20）=4004-40=10（抄）。

【例12】李云靠窗坐在一列時(shí)速60千米的火車?yán)?，看到一輛有30節(jié)車廂的貨車迎面駛來，當(dāng)貨車車

頭經(jīng)過窗口時(shí)，他開始計(jì)時(shí)，直到最后一節(jié)車廂駛過窗口時(shí)，所計(jì)的時(shí)間是18秒.已知貨車

車廂長(zhǎng)15.8米，車廂間距L2米，貨車車頭長(zhǎng)10米.問貨車行駛的速度是多少？

【解析】本題中從貨車車頭經(jīng)過窗口開始計(jì)算到貨車最后一節(jié)車廂駛過窗口，相當(dāng)于一個(gè)相遇問題，總路程

為貨車的車長(zhǎng).貨車總長(zhǎng)為：（15.8X30+1.2X30+10）4-1000=0.52（千米），

火車行進(jìn)的距離為：60X18/3600=0.3（千米），

貨車行進(jìn)的距離為：0.52-0.3=0.22（千米），

貨車的速度為：0.224-18/3600=44（千米/時(shí)）.

【例13】鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，

騎車人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎

車人用26秒，這列火車的車身總長(zhǎng)是多少？

【解析】行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒?；疖嚨能嚿黹L(zhǎng)度既等

于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那

么火車的車身長(zhǎng)度可表示為（『1）X22或（尸3）X26,由此不難列出方程。

法一：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（『1）X22=（k3）X26o

解得后14。所以火車的車身長(zhǎng)為：（14-1）X22=286（米）。

法二：直接設(shè)火車的車長(zhǎng)是x,那么等量關(guān)系就在于火車的速度上?？傻茫簒/26+3=x/22+l

這樣直接也可以后286米

法三：既然是路程相同我們同樣可以利用速度和時(shí)間成反比來解決.

兩次的追及時(shí)間比是：22:26=11:13,所以可得：（/車一1）:（/車-3）=13:II,

可得，車=14米/秒，所以火車的車長(zhǎng)是（14T）X22-286（來）

【例14】一列長(zhǎng)110米的火車以每小時(shí)30千米的速度向北緩緩駛?cè)?，鐵路旁一條小路上，一位工人也

正向北步行。14時(shí)10分時(shí)火車追上這位工人，15秒后離開。14時(shí)16分迎面遇到一個(gè)向南走

的學(xué)生，12秒后離開這個(gè)學(xué)生。問：工人與學(xué)生將在何時(shí)相遇？

【解析】工人速度是每小時(shí)30-0.11/（15/3600）=3.6千米

學(xué)生速度是每小時(shí)（0.11/12/3600）-30=3千米

14時(shí)16分到兩人相遇需要時(shí)間（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小時(shí)）=24分鐘

14時(shí)16分+24分=14時(shí)40分

【例15】同方向行駛的火車，快車每秒行30米，慢車每秒行22米。如果從輛車頭對(duì)齊開始算，則行24秒

后快車超過慢車，如果從輛車尾對(duì)齊開始算，則行28秒后快車超過慢車?？燔囬L(zhǎng)多少米，滿車長(zhǎng)

多少米？

【解析】快車每秒行30米，慢車每秒行22米。如果從輛車頭對(duì)齊開始算，則行24秒后快車超過慢車，每秒

快8米，24秒快出來的就是快車的車長(zhǎng)192加，如果從輛車尾對(duì)齊開始算，則行28秒后快車超過慢

車那么看來這個(gè)慢車比快車車長(zhǎng)，長(zhǎng)多少呢？長(zhǎng)得就是快車這4秒內(nèi)比慢車多跑的路程啊4X8=

32,所以慢車224.

［例161兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩年錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)

現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長(zhǎng).

【解析】首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000+3600=10（米），乙車的速度是每秒鐘54（X）0+3600

=15（米）.此題中甲車上的乘客實(shí)際上是以甲車的速度在和乙車相遇。更具體的說是和乙車的車尾

相遇。路程和就是乙車的車長(zhǎng)。這樣理解后其實(shí)就是一個(gè)簡(jiǎn)單的相遇問題。（10+15）X14=350（米），

所以乙車的車長(zhǎng)為350米.

【例17】在雙軌鐵道上，速度為54千米/小時(shí)的貨車10時(shí)到達(dá)鐵橋，10時(shí)1分24秒完全通過鐵橋，后來一列

速度為72千米/小時(shí)的列車，10時(shí)12分到達(dá)鐵橋，10時(shí)12分53秒完全通過鐵橋，10時(shí)48分56秒

列車完全超過在前面行使的貨車.求貨車、列車和鐵橋的長(zhǎng)度各是多少米？

【解聽】先統(tǒng)一單位：54千米/小時(shí)=15米/秒，72千米/小時(shí)=20米/秒，

1分24秒=84秒，48分56秒一12分=36分56秒=2216秒.

貨車的過橋路程等于貨車與鐵橋的長(zhǎng)度之和，為：15x84=1260（米）：

列車的過橋路程等于列車與鐵橋的長(zhǎng)度之和，為：20x53=1060（米）.

考慮列車與貨車的追及問題，貨車10時(shí)到達(dá)鐵橋，列車10時(shí)12分到達(dá)鐵橋，在列車到達(dá)鐵橋時(shí)，貨

車已向前行進(jìn)了12分鐘（720秒），從這一刻開始列車開始追趕貨車，經(jīng)過2216秒的時(shí)間完全超過貨

車，這一過程中追及的路程為貨車12分鐘走的路程加上列車的車長(zhǎng)，所以列車的長(zhǎng)度為

（20-15）x2216-15x720=280（^）,那么鐵橋的長(zhǎng)度為1060-280=780（米），貨車的長(zhǎng)度為

1260-780=480（米）.

【例18】一條單線鐵路上有A,B,CtDfE5個(gè)車站，它們之間的路程如圖所示（單位:千米）.兩列火車同時(shí)從

A,E兩站相對(duì)開出,從A站開出的每小時(shí)行60千米,從E站開出的每小時(shí)行50千米.由于單線鐵路

上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對(duì)面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因

此,應(yīng)安排哪個(gè)站相遇,才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分

鐘？

【解圻】

225千米25千米15千米230千米

ABCDE

兩列火車同時(shí)從A,E兩站相對(duì)開出，假設(shè)途中都不停.可求出兩車相遇的地點(diǎn)，從而知道應(yīng)在哪

一個(gè)車站停車等待時(shí)間最短.

從圖中可知，的距離是：225+25+15+230=495（千米）

兩車相遇所用的時(shí)間是：495+（60+50）=4.5（小時(shí)）

相遇處距4站的距離是：60X4.5=270（千米）

而40兩站的距離為：225+25+15=265（千米）

由于270千米＞265千米，從4站開出的火車應(yīng)安排在。站相遇，才能使停車等待的時(shí)間最短.

因?yàn)橄嘤鎏庪x。站距離為270-265=5（千米），那么，先到達(dá)。站的火車至少需要等待：2:1（小

時(shí)），x小時(shí)二11分鐘

模塊三流水行船

【例19】乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?小

時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？

【解析】乙船順?biāo)俣龋?20?2=60（千米/小時(shí)）.乙船逆水速度：120+4=30（千米/小時(shí)）。水流速度：（60-30）

4-2=15（千米/小時(shí)）.甲船順?biāo)俣龋?20+3=4。（千米/小時(shí)）。甲船逆水速度：40-2X15=10（千

米/小時(shí)）.甲船逆水航行時(shí)間：120?10=12（小時(shí)）。甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9（小時(shí)）.

【例20】船往返于相距180千米的兩港之間，順?biāo)滦栌?0小時(shí)，逆水而上需用15小時(shí)。由于暴雨后水

速增加，該船順?biāo)兄恍?小時(shí)，那么逆水而行需要幾小時(shí)？

【解析】本題中船在順?biāo)?、逆水、靜水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影響，水速發(fā)生

變化，要求船逆水而行要幾小肝，必須要先求出水速增加后的逆水速度.

船在殍水中的速度是：（1804-10+1804-15）4-2=15（千米/小時(shí)）.

暴雨前水流的速度是：（1804-10-1804-15）4-2=3（千米/小時(shí)）.

暴雨后水流的速度是：180:9-15=5（千米/小時(shí)）.

暴雨后船逆水而上需用的時(shí)間為：180：（15-5）=18（小時(shí)）.

【例21】（2009年“學(xué)而思杯”六年級(jí)）甲、乙兩艘游艇，靜水中甲艇每小時(shí)行■千米，乙艇每小時(shí)行54千

12

米,現(xiàn)在甲、乙兩游艇于同一時(shí)刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行，乙艇從相距27千米的上游下行，

兩艇于途中相遇后，又經(jīng)過4小時(shí)，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地.水流速度是每小時(shí)千米.

【解祈】?jī)捎瓮嘞蚨袝r(shí)，速度和等于它們?cè)陟o水中的速度和，所以它們從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間為10小

時(shí).

相遇后又經(jīng)過4小時(shí)，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地，說明甲艇逆水行駛27千米需要10小時(shí)，那么甲艇的

逆水速度為1（千米/小時(shí)），則水流速度為24（千米/小時(shí)）.

【例22】一艘輪船順流航行120千米，逆流航行80千米共用16時(shí);順流航行6（）千米，逆流航行120千

米也用16時(shí)。求水流的速度。

【解析】?jī)纱魏叫卸加?6時(shí)，而第一次比第二次順流多行60千米，逆流少行40千米，這表明順流行60

千米與逆流行40千米所用的時(shí)間相等，即順流速度是逆流速度的1.5倍。將第一次航行看成是16

時(shí)順流航行了120+80X1.5=240（千米），由此得到順流速度為240+16=15（千米/時(shí)），逆流

速度為15+1.5=10（千米/時(shí)），最后求出水流速度為（15—10）+2=2.5（千米/時(shí)）。

【例23】一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲在乙的上游50千米處?？痛拓洿謩e從甲、乙兩碼頭出發(fā)向

上游行駛，兩船的^水速度相同且始終保持不變。客船出發(fā)時(shí)有一物品從船上落入水中，10分鐘

后此物距客船5千米?？痛谛旭?0千米后折向下游追趕此物，追上時(shí)恰好和貨船相遇。求水

流的速度。

【解圻】5+"6=30（千米/小時(shí)），所以兩處的靜水速度均為每小時(shí)30千米。50:30=5/3（小時(shí)），所以貨船

與物品相遇需要5/3小時(shí)，即兩船經(jīng)過5/3小時(shí)候相遇。由于兩船絳水速度相同，所以客船行駛20

千米后兩船仍相距50千米。50：（30+30）=5/6（小時(shí)），所以客船調(diào)頭后經(jīng)過5/6小時(shí)兩船相遇。

30-20;（5/3-5/6）=6（千米/小時(shí)），所以水流的速度是每小時(shí)6千米。

【例24】江上有甲、乙兩碼頭，相距15千米，甲碼頭在乙碼頭的上游，一艘貨船和一艘游船同時(shí)從甲碼

頭和乙碼頭出發(fā)向下游行駛，5小時(shí)后貨船追上游船。又行駛了1小時(shí)，貨船上有一物品落入江

中（該物品可以浮在水面上），6分鐘后貨船上的人發(fā)現(xiàn)了，便掉轉(zhuǎn)船頭去找，找到時(shí)恰好又和游

船相遇。則游船在靜水中的速度為每小時(shí)多少千米？

【解圻】此題可以分為幾個(gè)階段來考慮。第一個(gè)階段是一個(gè)追及問題。在貨艙追上游船的過程中，兩者的追

及距離是15千米，共用了5小時(shí)，故兩者的速度差是154-5=3千米。由于兩者都是順?biāo)叫校?/p>

故在岸水中兩者的速度差也是3千米。在緊接著的1個(gè)小時(shí)中，貨船開始領(lǐng)先游船，兩者最后相

距3X1=3千米。這時(shí)貨船上的東西落入水中，6分鐘后貨船上的人才發(fā)現(xiàn)。此時(shí)貨船離落在水中

的東西的距離已經(jīng)是貨船的靜水速度X1/10千米，從此時(shí)算起，到貨船和落入水中的物體相遇，又

是一個(gè)相遇問題，兩者的速度之和剛好等于貨船的靜水速度，所以這段時(shí)間是貨船的靜水速度*1/10

?貨船的靜水速度=1/10小時(shí)。按題意，此時(shí)也剛好遇上追上來的游船。貨船開始回追物體時(shí)，貨

船和游船剛好相距3+3*1/10=33/10千米，兩者到相遇共用了1/10小時(shí)，幫兩者的速度和是每小

時(shí)33/104-1/10=33千米，這與它們兩在靜水中的速度和相等。（解釋一下）又已知在靜水中貨船比

游船每小時(shí)快3千米，故游船的速度為每小時(shí)（33-3）-4-2=15千米。

【例25】（2008年三帆中學(xué)考題）一艘船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為每小時(shí)9千米,

平時(shí)逆行與順行所用的時(shí)間比是2:1.一天因下暴雨，水流速度為原來的2倍，這艘船往返共用

10小時(shí)，問：甲、乙兩港相距千米.

【解析】設(shè)平時(shí)水流速度為x千米/時(shí)，則平時(shí)順?biāo)俣葹?9+力千米/時(shí)，平時(shí)逆水速度為(9-力千米/時(shí)，

由于平時(shí)順行所用時(shí)間是逆行所用時(shí)間的一半，所以平時(shí)順?biāo)俣仁瞧綍r(shí)逆水速度的2倍，所以

9+x—2(9-x),解得x=3,即平時(shí)水流速度為3千米/時(shí).

暴雨天水流速度為6千米/時(shí)，暴雨天順?biāo)俣葹?5千米/時(shí)，暴雨天逆水速度為3千米/時(shí)，暴雨

天順?biāo)俣葹槟嫠俣鹊?倍，那么順行時(shí)間為逆行時(shí)間的!，故順行時(shí)間為往返總時(shí)間的工，為

56

10xl=-d'Ht,甲、乙兩港的距離為15x3=25(千米).

633

【例26】一條小河流過C三鎮(zhèn).A,8兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米,比。

兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米.已知A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水

流速度為每小時(shí)1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時(shí),接著乘木船又順流

而下到C鎮(zhèn),共用8小時(shí).那么4,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米？

【解祈】如下畫出示意圖

水速：1.5千米/小時(shí)

50千米

______________________A_

彳汽船6木船1

靜水:11千米/小時(shí)冷水36千米/小時(shí)

有4f8段順?biāo)乃俣葹?1+1.5=12.5千米/小時(shí)，有8fC段順?biāo)乃俣葹?.5+1.5=5千米/小時(shí).而

從彳7C全程的行駛時(shí)間為8-1二7小時(shí).設(shè)四長(zhǎng)x千米，有上+竺二四=7,解得x=25.所以48

12.55

兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.

【例27】河水是流動(dòng)的，在B點(diǎn)處流入靜止的湖中，一游泳者在河中順流從A點(diǎn)到B點(diǎn)，然后穿過湖到

C點(diǎn)，共用3小時(shí)；若他由C到8再到A,共需6小時(shí).如果湖水也是流動(dòng)的，速度等于河

水速度，從B流向C,那么，這名游泳者從A到B再到C只需2.5小時(shí)；問在這樣的條件

下，他由。至IJ8再到A,共需多少小時(shí)？

【解析】設(shè)人在靜水中的速度為x,水速為y,人在靜水中從8點(diǎn)游到C點(diǎn)需要t小時(shí).

2

根據(jù)題意，有6x-(6-0y=3x+(3-r)y,?Px=(3--r)j,同樣，有2.5x+2.5y=3x+(3-f)y,

即x=(2f-l)y;所以，—,即50H-(1--)=54—,所以54—;(12-10)x60-54—=65—(小

121211IIII11

時(shí))，所以在這樣的條件下，他由。到8再到彳共需7.5小時(shí).

模塊四時(shí)鐘問題

【例28］現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上?

【解析】時(shí)針的速度是360+12+60=0.5(度/分)，分針的速度是360+60=6(度/分)

即分針與時(shí)針的速度差是6-。5=5.5(度/分)，10點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是60度,

第一次在一條直線時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是180度，

即分針與時(shí)針從60度到180度經(jīng)過的時(shí)間為所求。所以答案為12(分)

【例29】有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘,

分針與時(shí)針第二次重合？

【解析】

在/0點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0,分針?biāo)谖恢脼榭潭?2;當(dāng)兩針重合時(shí)，分針必須追上50個(gè)

小刻度，設(shè)分針?biāo)俣葹椤?”，有時(shí)針?biāo)俣葹椤癓”，于是需要時(shí)間：50-（1--）=54-.

121211

所以，再過549分鐘，時(shí)針與分針將第一次重合.第二次重合計(jì)顯然為12點(diǎn)整，所以再經(jīng)過

11

（12—10）x60—549=65』分鐘，時(shí)針與分針第二次重合.

11II

標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘，每隔65』分鐘，忖針與分針重合一次.我們來熟悉一下常見鐘表（機(jī)械）的構(gòu)成：一

11

般時(shí)鐘的表盤大刻度有12個(gè)，印為小時(shí)數(shù)；小刻度有60個(gè)，即為分鐘數(shù).

所以時(shí)針一圈需要12小時(shí)，分針一圖需要60分鐘（1小時(shí)），時(shí)針的速度為分針?biāo)俣鹊娜绻O(shè)

12

分針的速度為單位“/"，那么時(shí)針的速度為“54”.

【例30】某科學(xué)家設(shè)計(jì)了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜10時(shí)，每時(shí)100分（如右圖所示）。當(dāng)這只鐘顯示5

點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)；當(dāng)這只鐘顯示6點(diǎn)75分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？

【解析】標(biāo)準(zhǔn)鐘一晝夜是24X60=1440（分），怪鐘一晝夜是100X10=1000（分）

怪鐘從5點(diǎn)到6點(diǎn)75分，經(jīng)過175分，根據(jù)十字交叉法，1440X175+1000=252（分）即4點(diǎn)12分。

【例31】手表比鬧鐘每時(shí)快60秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每時(shí)慢60秒。8點(diǎn)整將手表對(duì)準(zhǔn)，12點(diǎn)整手表顯示的時(shí)

間是幾點(diǎn)幾分幾秒？

【解聽】按題意，鬧鐘走3600秒手表走3660秒，而在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一小時(shí)中，鬧鐘走了3540秒。所以在標(biāo)準(zhǔn)

時(shí)間的一小時(shí)中手表走36604-3600X3599=3599（秒），即手表每小時(shí)慢1秒，所以12點(diǎn)時(shí)手表

顯示的時(shí)間是11點(diǎn)59分56秒.

【鞏固】某人有一塊手表和一個(gè)鬧鐘，手表比鬧鐘每時(shí)慢30秒，而鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每時(shí)快30秒。問：這塊

手表一晝夜比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間差多少秒？

【解析】根據(jù)題意可知，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間經(jīng)過60分，鬧鐘走了60.5分，

根據(jù)十字交叉法.可求鬧鐘走60分,標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走了60X60+60.5分.而手表走了59.5分,

再根據(jù)十字交叉法，可求一晝夜手表走了59.5X24X60+（60X60+60.5）分，

所以答案為24X60-59.5X24X60：(60X60^-60.5)=0.1(分)，0.1分=6秒

【例32】一個(gè)快鐘每時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分，一個(gè)慢鐘每時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分。將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，

結(jié)果在24時(shí)內(nèi)，快鐘顯示9點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示8點(diǎn)整。此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少？

【解聽】根據(jù)題意可知，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間過60分鐘，快鐘走了61分鐘，慢鐘走了57分鐘，即標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每60

分鐘，快鐘比慢鐘多走4分鐘，60+4=15（小時(shí)）經(jīng)過15小時(shí)快鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快15分鐘，所

以現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是8點(diǎn)45分。

課后練習(xí)：

練習(xí)1.一條街上，一個(gè)騎車人與一個(gè)步行人同向而行，騎車人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分鐘有

一輛公共汽車超過行人，每隔20分鐘有一輛公共汽車超過騎車人.如果公共汽車從始發(fā)站每次間隔

同樣的時(shí)間發(fā)一輛車，那么間隔多少分鐘發(fā)一輛公共汽車？

【解圻】緊鄰兩棲車間的距離不變，當(dāng)一輛公共汽車超過步行人時(shí)，緊接著下一輛公汽與步行人間的距離，

就是汽車間隔距離.當(dāng)一輛汽車超過行人時(shí)，下一輛汽車要用10分才能追上步行人.即追及距離二

（汽車速度-步行速度）X10.對(duì)汽車超過騎車人的情形作同樣分析，再由倍速關(guān)系可得汽車間隔時(shí)

間等于汽車間隔距離除以5倍的步行速度.即：10X4X步行速度-（5X步行速度）=8（分）

練習(xí)2.甲、乙兩地是電車始發(fā)站，每隔一定時(shí)間兩地同時(shí)各發(fā)出一輛電車，小張和小王分別騎車從甲、乙

兩地出發(fā)，相向而行.每輛電車都隔6分鐘遇到迎面開來的一輛電車；小張每隔8分鐘遇到迎面開

來的一輛電車；小王每隔9分鐘遇到迎面開來的一輛電車.已知電車行駛?cè)淌?5分鐘，那么小張

與小王在途中相遇時(shí)他們已行走了分鐘.

【解析】由題意可知，兩輛電車之間的距離

10電車行12分鐘的路程

48電車行8分鐘的路程56小張行8分鐘的路程

54電車行9分鐘的路程=15小王行9分鐘的路程

由此可得，小張速度是電車速度的72,小王速度是電車速度的=20,小張與小王的速度和是電車速

度的1,所以他們合走完全程所用的時(shí)間為電車行駛?cè)趟脮r(shí)間的24,即=84分鐘，所以小張與

小王在途中相遇時(shí)他們已行走了54分鐘.

練習(xí)3.慢車的車身長(zhǎng)是142米，車速是每秒17米，快車車身長(zhǎng)是173米，車速是每秒22,慢車在前

面行駛，快車從后面追上到完全超過慢車需要多少時(shí)間？

【解析】根據(jù)題目的條件可知，本題屬于兩列火車的追及情況，（142+172）;（22-17）=62（秒）

練習(xí)4.高山氣象站上白天和夜間的氣溫相差很大，掛鐘受氣溫的影響走的不正常，每個(gè)白天快30秒，

每個(gè)夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨將掛鐘對(duì)準(zhǔn)，那么掛鐘最早在什么時(shí)間恰好快3分？

【解析】根據(jù)題意可知，一晝夜快10秒，（3X60-30）4-10=15（天），所以掛鐘最早在第15+1=16（天）

傍晚恰好快3分鐘，即10月16日傍晚。

練習(xí)5.某河有相距45千米的上下兩港，每天定時(shí)有甲乙兩船速相同的客輪分別從兩港同時(shí)出發(fā)相向

而行，這天甲船從上港出發(fā)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)拢?分鐘后與甲船相距1千米，

預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可與此物相遇。

【解析】物體漂流的速度與水流速度相同，所以甲船與物體的速度差即為甲船本身的船速（水速作用抵消），

甲的船速為1+1/15=15千米/小時(shí)；乙船與物體是個(gè)相遇問題，速度和正好為乙本身的船速，所以

相遇時(shí)間為:454-15=3小時(shí)

月測(cè)備選：

【備選I】小明騎自行車到朋友家聚會(huì)，一路上他注意到每隔12分鐘就有一輛公交車從后邊追上小樂，小明

騎著騎著突然車胎爆了，小明只好以原來騎車三分之一的速度推著車往回走，這時(shí)他發(fā)現(xiàn)公交車

以每隔4分鐘一輛的頻率迎面開過來，公交車站發(fā)車的間隔時(shí)間到底為多少？

【解析】設(shè)公交車之間的間距為一個(gè)單位距離，設(shè)自行車的速度為x,汽車的速度為匕根據(jù)汽車空間和時(shí)間

間距與車輛速度的關(guān)系得到關(guān)系式：12X（尸x）=4X（yHx/3）,化簡(jiǎn)為3*5x.即/后5/3,而公

交車與自行車的速度差為"12,由此可得到公交車的速度為5/24,自行車的速度為1/8,因此公交

車站發(fā)車的時(shí)間間隔為24/5=4.8分鐘.

【備選2】2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？

【解析】根據(jù)題意可知，2點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針成60度，第一次垂直需要90度，即分針追了90+60=150（度），

10（分）

【備選3】一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280米，慢車的車長(zhǎng)是385米，坐在快車上的人看

見慢車駛過的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見塊車駛過的時(shí)間是多少秒？

【解析】8s,可以把車上的人給抽象出來看成一點(diǎn)，那么就類同題1。得出快車和慢車的速度和是35,反之，

由車長(zhǎng)和速度得到280/35=8

【備選4】甲、乙兩艘小游艇，靜水中甲艇每小時(shí)行72千米，乙艇每小時(shí)行10千米,現(xiàn)甲、乙兩艘小游艇于

同一時(shí)刻相向出發(fā)，甲艇從下游上行，乙艇從相距18千米的上游下行，兩艇于途中相遇后，又經(jīng)

過4小時(shí)，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地.問水流速度為每小時(shí)多少千米？

【解圻】?jī)捎瓮嘞蚨袝r(shí)，速度和等于它們?cè)谘λ械乃俣群?，所以它們從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間為12小

時(shí).相遇后又經(jīng)過4小時(shí)，甲艇到達(dá)乙艇的出發(fā)地，說明甲艇逆水行駛18千米需要10小時(shí)，那么

甲艇的逆水速度為12（千米/小時(shí)），那么水流速度為53（千米/小時(shí)）

第二講行程問題（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1、能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識(shí)理清變速變道問題的關(guān)鍵點(diǎn)；

2、能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題；

3、變速變道問題的關(guān)鍵是如何處理“變”：

4、掌握尋找等量關(guān)系的方法來構(gòu)建方程，利用方程解行程題.

知識(shí)精講：

比例的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個(gè)小學(xué)“壓軸知識(shí)點(diǎn)”的角色。

從一個(gè)工具性的知識(shí)點(diǎn)而言，比例在解很多應(yīng)用題時(shí)有著“得天獨(dú)厚”的優(yōu)勢(shì)，往往體現(xiàn)在方法的靈活性

和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡(jiǎn)單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對(duì)于工程

問題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。

我們常常會(huì)應(yīng)用比例的工具分析2個(gè)物體在某一段相同路線上的運(yùn)動(dòng)情況，我們將甲、乙的速度、時(shí)間、

路程分別用呻/乙；加/乙；s甲,s乙來表示，大體可分為以下兩種情況：

1.當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，經(jīng)過同一段時(shí)間后，他們走過的路程之比就等

于他們的速度之比。

甲甲甲，這里因?yàn)闀r(shí)間相同，即/甲=/乙=/,所以由/=包，/乙=紅

,乙=吆x%也

得到，=曳=生，加=如，甲乙在同一段時(shí)間t內(nèi)的路程之比等于速度比

即V乙S乙V乙

2.當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，走過相同的路程時(shí),2個(gè)物體所用的時(shí)間之比

等于他們速度的反比。

Sm—V|X|Xtm

?,這里因?yàn)槁烦滔嗤碨甲=S乙=5,由甲，$乙=口乙X，乙

$乙=也'￡乙

得5二修內(nèi)而=叱X%,曳=2,甲乙在同一段路程S上的時(shí)間之比等于速度比的反比。

y乙，甲

行程問題常用的解題方法有

⑴公式法

即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公

式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需

要的條件；

⑵圖示法

在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具.示意圖包括線段圖和折線圖.圖

示法即畫出行程的大概過程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn).另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往

往也是最有效的解題方法；

⑶比例法

行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值.更重要的是，在一些

較復(fù)雜的題目中，有些條件（如路程、速度、時(shí)間等）往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例

解題；

⑷分段法

在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用.這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在

每一段中用勺速問題的方法去分析，然后再把結(jié)