2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知空間向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓中，，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．過直線上一點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．7．在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為3，且與點(diǎn)距離為1的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條8．已知點(diǎn)P是橢圓上一動點(diǎn)，Q是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為B．若與相互平行，則或C．若，則D．若不經(jīng)過第二象限，則10．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得 D．若，則11．圓與圓，下列說法正確的是（

）A．對于任意的，圓與圓始終相切B．對于任意的，圓與圓始終有四條公切線C．當(dāng)時(shí)，圓被直線截得的弦長為D．P，Q分別為圓與圓上的動點(diǎn)，則的最大值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量和，則在上的投影向量為(用坐標(biāo)表示).13．已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的兩倍，則直線的方程為．14．橢圓的焦距為2，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面積的最大值.16．某偏遠(yuǎn)縣政府為了幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民實(shí)現(xiàn)脫貧致富，大力發(fā)展種植產(chǎn)業(yè)，根據(jù)當(dāng)?shù)赝寥狼闆r，挑選了兩種農(nóng)作物，，鼓勵(lì)每戶選擇其中一種種植.為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶對兩種農(nóng)作物的選擇種植情況，從該縣的甲村和乙村分別抽取了戶進(jìn)行問卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下：所有農(nóng)戶對選擇種植農(nóng)作物，相互獨(dú)立．村莊農(nóng)作物甲村乙村A250150B250350(1)分別估計(jì)甲、乙兩村選擇種植農(nóng)作物的概率；(2)以樣本頻率為概率，從甲、乙兩村各隨機(jī)抽取戶，求至少有戶選擇種植農(nóng)作物的概率；(3)經(jīng)調(diào)研，農(nóng)作物的畝產(chǎn)量為斤、斤、斤的概率分別為，，，甲、乙兩村各有一農(nóng)戶種植了一畝農(nóng)作物，求這兩個(gè)農(nóng)戶中，甲村農(nóng)戶種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量高于乙村的概率．17．設(shè)常數(shù)，已知直線：，：．(1)若，求的值；(2)若，求與之間的距離．18．已知平面四邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.

(1)證明：平面；(2)若是線段上一點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.19．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、．（1）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓與圓的公共弦必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角是，故選：A2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意，由，設(shè)，即解得：，則有，由此得．故選：B.3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B4．【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓離心率的定義和的大小關(guān)系求解離心率的取值范圍即可.【詳解】由橢圓，則橢圓的離心率，又因?yàn)?，則，所以.故選：B5．【正確答案】A【分析】求出圓C的半徑和圓心，由勾股定理可得，當(dāng)時(shí)最小，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】因?yàn)閳AC的半徑為，所以，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)閳AC的圓心為，所以，所以的最小值為．故選：A.6．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，故.【詳解】為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故，，，因?yàn)?，所以?故選：A7．【正確答案】D【詳解】到點(diǎn)距離為3的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，到點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，則所求直線即為兩圓的公切線，因?yàn)?，且，可知兩圓相離，有4條公切線，所以符合題意的直線有4條.故選：D.8．【正確答案】C【分析】易知圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，利用橢圓的定義得到，然后由求解.【詳解】如圖所示：由，得，則，則圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，則右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故選：C9．【正確答案】CD【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將直線方程化簡可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，，A錯(cuò)誤；對B，若與相互平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，B錯(cuò)誤；對C，若，則，解得，故C正確；對D，若不經(jīng)過第二象限，，即，則，解得，D正確.故選CD.10．【正確答案】AC【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，假設(shè)，則，所以，該方程組無解，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，解得，所以，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】ACD求出圓心距，判斷兩圓位置關(guān)系絈可判斷AB，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長判斷C，由兩圓心距離可判斷D．【詳解】由已知，，等于兩圓半徑之和，兩圓始終相切，A正確，B錯(cuò)誤；時(shí)，，到已知直線的距離為，則弦長為，C正確；由于，∴，共線時(shí)最大值．D正確．故選：ACD．12．【正確答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】已知空間向量和，則在上的投影向量為.故答案為.13．【正確答案】或【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故或．14．【正確答案】3或5【分析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點(diǎn)在軸上以及焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故3或5．15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，因?yàn)?，所以，所以，則，所以.（2）由余弦定理得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以三角形ABC的面積最大值為．16．【正確答案】(1)甲、乙兩村選擇種植農(nóng)作物的概率分別為，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用古典概型的概率求解；（2）根據(jù)甲村和乙村選擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率求得隨機(jī)抽取的戶中有戶選擇和有戶選擇種植農(nóng)作物的概率，再利用對立事件的概率求解；（3）分甲村種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量為斤，乙村為800斤和甲村為1000斤，乙村為800斤或900斤三類，利用獨(dú)立事件的概率求解.(1)解：記“甲村選擇種植農(nóng)作物”為事件，“乙村選擇種植農(nóng)作物”為事件，則，．(2)因?yàn)榧状暹x擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率估計(jì)值分別為，，乙村選擇種植農(nóng)作物與種植農(nóng)作物的概率估計(jì)值分別為，．隨機(jī)抽取的戶中有戶選擇種植農(nóng)作物的概率為：．有戶選擇種植農(nóng)作物的概率為：．記“至少有戶選擇種植農(nóng)作物”為事件，則．(3)記“甲村農(nóng)戶種植農(nóng)作物的畝產(chǎn)量高于乙村”為事件，則．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由一般式下兩直線垂直的充要條件可得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得的值，進(jìn)而由平行線間的距離公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，直線：，：，若，則，解可得a（2）根據(jù)題意，若，則有，解可得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線：，：，即，兩直線平行，此時(shí)與之間的距離18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因，，故，又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）如圖，連接交于，因?yàn)?，?/p>

故，，故，則為等腰直角三角形，故，又，故，為靠近的三分點(diǎn)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，故，則為靠近的三分點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，因?yàn)榭拷娜贮c(diǎn)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.19．【正確答案】（1）或；（2）或；（3）【詳解】試題分析：解：（Ⅰ）由條件可知，設(shè)，則解得或，所以或(Ⅱ)由條件可知圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為