2024-2025學年廣西柳州市高二上學期11月期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年廣西柳州市高二上學期11月期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知圓的一般方程為，則半徑是（

）A．1 B．3 C．4 D．92．等差數(shù)列中，若，，則公差（

）A．2 B．3 C．4 D．53．中國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是（

）A． B． C． D．4．已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．設直線的方程為，則直線l的傾斜角a的范圍是（

）A． B．C． D．7．是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線上的一支上 C．拋物線上 D．圓上二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題中，有多項符合題目要求.9．下列命題正確的是（

）A．點關于平面對稱的點的坐標是B．零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量C．若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量D．在空間直角坐標系中，是坐標平面的一個法向量10．設橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，則和的取值范圍（

）A． B．C． D．11．如圖，已知直線和橢圓，m為何值時，下列結(jié)論正確（

）A．當時，直線l與橢圓C有兩個公共點B．當或25時，直線l與橢圓C只有一個公共點C．當或時，直線l與橢圓C沒有公共點D．當時，直線l與橢圓C有公共點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數(shù)列中，，，則.13．如圖，M是拋物線上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，.

14．如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是．

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．（1）已知數(shù)列的前n項和，求這個數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列的通項公式為前n項和為.求取得最小值時n的值.16．（1）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓O上任意一點.線段的垂直平分線l與直線相交于點Q，當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？（2）當m變化時，指出方程表示的曲線的形狀.17．已知圓，直線.(1)求證：直線恒過定點；(2)直線被圓截得的弦何時最長？何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短弦長.18．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．19．已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．

1．B【詳解】因為圓的一般方程為所以圓的標準方程為，所以圓的半徑為3,故選：B2．A【詳解】由，得故選：A3．A【詳解】由題設知在等差數(shù)列中，，.所以，，解得，故選：A4．B【詳解】當時，，，，所以；當時，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5．A【詳解】因為，，，所以向量在方向上的投影向量為.故選：A.6．D【詳解】直線的方程為，當時直線方程為，傾斜角，當時，直線方程化為，斜率，因為，所以，即，又因為，所以，綜上可得，故選：D.7．B【詳解】解法一：如圖，設直線在平面的射影為，作于點G，于點H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，所以，設平面的法向量，則令，則，所以，所以．設直線與平面所成角為，所以，所以．故選B．8．B【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標準方程，圓心，半徑，因此圓心距，所以兩圓相離，設與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為，則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.9．ABD【詳解】對于A,關于平面對稱的點軸的坐標不改變,軸的坐標相反，所以點關于平面對稱的點的坐標是,故A正確；對于B,直線的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故B正確；對于C,當時,,不能作為直線l的方向向量,故C錯誤；對于D,在軸所在直線上且垂直于坐標平面,所以是坐標平面的一個法向量,故D正確.故選：ABD.10．AC【詳解】解：因為雙曲線的漸近線的斜率小于，所以，則，即，，即，故選：AC11．ABCD【詳解】對于A，由方程組消去y，得①，．由，得．此時方程①有兩個不相等的實數(shù)根，直線與橢圓有兩個不同的公共點．故A正確；對于B，由，得，．此時方程①有兩個相等的實數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個公共點．故B正確；對于C，由，得，或．此時方程①沒有實數(shù)根，直線與橢圓沒有公共點．故C正確；對于D，由選項A與選項B可知，D正確.故選：ABCD12．##【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差，又，所以．故．13．4【詳解】拋物線的準線為，過M作MB垂直于直線，垂足為B，作FA⊥MB于A，直線與x軸交于點K，如圖：

則軸，即，四邊形ABKF是矩形，中，，由拋物線定義知，，而，則，解得，所以.故4.14．【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

15．（1）（2）【詳解】（1）因為，當時，，所以，又時，不滿足上式，故數(shù)列的通項公式為.（2）當，，解得：，當和時，，所以Sn取得最小值時，.16．（1）點的軌跡是以為焦點,為實軸長的雙曲線,理由見詳解；（2）見解析.【詳解】（1）如圖,連接.因為為的垂直平分線,所以,所以為定值,又因為點在圓外,所以,根據(jù)雙曲線定義,點的軌跡是以為焦點,為實軸長的雙曲線.（2）對于方程,當時,方程為,即,表示軸;當時,方程為,即x=0,表示軸;當且時,方程為,若,即時,方程為圓,表示以原點為圓心的單位圓;若,即或時,方程表示雙曲線;若且時,即且時,方程表示橢圓;綜上,當時,表示軸;當時,表示軸;時,方程表示以原點為圓心的單位圓;或時,方程表示雙曲線;且時,方程表示橢圓;17．(1)證明見解析(2)當過圓心時弦長最長；當?shù)姆匠虨闀r最短；；最短弦長為【詳解】（1）直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點（2）當直線過圓心時，直線被圓截得的弦長最長設，當直線時，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時的方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當過圓心時弦長最長；當?shù)姆匠虨闀r最短；；最短弦長為18．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，由是的中點，得，所以，設平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)直線的方程為或.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為：，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即，當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當直線的斜率不存在時，此時，，符合題意，此時，直線的方程為，即，當線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，則，解得