2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題2（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．3．如圖，在四面體中，是棱上一點(diǎn)，且是棱的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．4．已知直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．我國在2022年完成了天宮空間站的建設(shè)，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運(yùn)行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．已知某次變軌任務(wù)前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠(yuǎn)地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴(kuò)大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴(kuò)大為變軌前的2倍，則此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．67．設(shè)k為實(shí)數(shù)，直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知曲線的方程為（），則下列說法不正確的有（

）A．不存在，使得曲線表示圓B．若曲線為雙曲線，則C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D．存在實(shí)數(shù)使得曲線為等軸雙曲線10．如圖，點(diǎn)是邊長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時(shí)，四棱錐的體積為定值B．存在這樣的點(diǎn)，使得C．當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為11．（多選）泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D．點(diǎn)P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點(diǎn)）三、填空題12．若直線是雙曲線的一條漸近線，則.13．已知向量,若,則的值為．14．已知P為橢圓上一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)．則的最小值為，最大值為．四、解答題15．已知點(diǎn)，直線.(1)求過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程；(2)光線通過點(diǎn)，經(jīng)直線反射，其反射光線通過點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程.16．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，與交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，經(jīng)過P，E，O三點(diǎn)的平面交直線于點(diǎn)F，且．(1)證明：平面；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．18．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中且．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求過點(diǎn)且與點(diǎn)P的軌跡相切的直線方程；(3)若點(diǎn)的軌跡上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍．19．已知橢圓的短軸長為2，離心率，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線分別交于G，H兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)求線段GH的長度的最小值；(3)在線段GH的長度取得最小值時(shí)，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.答案：題號(hào)12345678910答案BCDDCBCAABDACD題號(hào)11答案ABC1．B【分析】根據(jù)直線方程直接確定傾斜角.【詳解】由直線與軸垂直，即其傾斜角為.故選：B.2．C【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．3．D【分析】根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意，得．故選：D．4．D【分析】根據(jù)給定條件，利用直線方向向量的意義求得答案.【詳解】斜率為的直線的一個(gè)方向向量為，因此直線的一個(gè)方向向量為，而ABC中向量與不共線，，所以直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為.故選：D5．C【分析】根據(jù)給定條件，列出變軌前后橢圓長半軸長和離心率的關(guān)系等式，即可求解得答案.【詳解】設(shè)變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為，則半焦距為，設(shè)變軌后橢圓的長半軸長為，顯然變軌后橢圓離心率為，半焦距為，依題意，，整理得，即，而，解得，此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為.故選：C6．B【分析】先求得點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時(shí)，距離有最小值為.故選：B7．C【分析】找到直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可確定交點(diǎn)數(shù).【詳解】由，即直線恒過，而圓可化為，所以，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓恒有2個(gè)交點(diǎn).故選：C8．A【分析】根據(jù)兩圓相切的條件，結(jié)合雙曲線的定義求軌跡方程．【詳解】由已知圓半徑為，如圖，當(dāng)兩圓外切時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，即為圓心，，即，取，連接，是中點(diǎn)，則，因此，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，記點(diǎn)為，的中點(diǎn)為D，，，所以動(dòng)點(diǎn)滿足，而，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，，則，又，因此，雙曲線方程為，故選：A．9．ABD【分析】結(jié)合圓、雙曲線、橢圓即等軸雙曲線的方程的性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：令，解得，此時(shí)：，此時(shí)曲線表示圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若曲線為雙曲線，則，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；對(duì)D：若曲線為等軸雙曲線，則有，此時(shí)無解，故不存在實(shí)數(shù)使得曲線為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.10．ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，求出四棱錐的體積即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，分當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面，側(cè)面上以及當(dāng)點(diǎn)在上底面上，和點(diǎn)在側(cè)面上三種情況分類討論即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，分當(dāng)在底面上和點(diǎn)在側(cè)面上分類討論即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，點(diǎn)到側(cè)面的距離即為2，，故四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為定值，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，而，因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以這樣的點(diǎn)不在正方體的表面上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，①當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面，側(cè)面上時(shí)（不包括正方形的邊界），過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連，在中，由，可得；②當(dāng)點(diǎn)在上底面上時(shí)，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，若，必有，又由，有，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的四分之一圓，點(diǎn)的軌跡長度為；③當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時(shí)，點(diǎn)在線段上符合題意，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長為；由上知點(diǎn)的軌跡長度為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，①當(dāng)在底面上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓與底面的交線，記圓與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，有，可得，則點(diǎn)的軌跡與底面的交線長為；②當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上時(shí)，，可得點(diǎn)的軌跡與側(cè)面的交線為以點(diǎn)為圓心，為半徑的四分之一圓，交線長為．由對(duì)稱性可知，點(diǎn)的軌跡長度為，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD.方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.11．ABC【分析】對(duì)于A，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對(duì)于B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對(duì)于C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對(duì)于D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l距離的一半，所以，化簡可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，聯(lián)立方程組，可得，解得，故存在點(diǎn)，所以直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，過點(diǎn)P作垂直直線，垂足為B，由題意可得，，則，由圖象可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓C交于點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.12．2【分析】先根據(jù)雙曲線方程判斷焦點(diǎn)位置，寫出其漸近線方程，比較即得.【詳解】因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，故其漸近線方程為，依題意，易得.故2.13．【分析】可求出，根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出k的值．【詳解】；∵；∴；解得k＝﹣6．故答案為﹣6．本題考查空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，熟記坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.14．713【分析】首先根據(jù)橢圓方程求出，由此可知兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程知，兩圓的圓心分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，設(shè)兩圓半徑分別為，，則，.∴，|，，|，故的最小值為；的最大值為.

故7；1315．(1)；(2).【分析】（1）由直線與直線平行可設(shè)其方程為，代入點(diǎn)，求可得結(jié)論；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求反射直線方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，所以直線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．由題意得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以反射光線所在直線方程為，即．

16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)方程，求出，即可求解.（2）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式作差，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程，求出直線的方程，與雙曲線聯(lián)立方程，滿足，即可得到直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以可設(shè)其方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，則，，因?yàn)椋?，即，則，所以，所以直線的方程為，即．當(dāng)直線為時(shí)，聯(lián)立方程，得，，符合題意，故直線的方程為.17．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）建系標(biāo)點(diǎn)，利用向量可得，結(jié)合題意可知線面垂直；（2）根據(jù)題意結(jié)合空間向量列式可得點(diǎn)，進(jìn)而可求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得，則，可得，因?yàn)?，可知，又因?yàn)?，，平面，所以平?（2）設(shè)，則，由題意可得：，解得，即，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，則，由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18．(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）設(shè)，把，用坐標(biāo)表示化簡整理即可；（2）按切線斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由圓心到切線距離等于半徑求解；（3）由得，代入圓方程后由判別式大于或等于0求解．【詳解】（1）設(shè)，∵，所以，化得得，即為點(diǎn)軌跡方程；（2）由（1）知點(diǎn)軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，切線斜率不存在時(shí)，方程為，此直線與圓相切，滿足題意，切線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由，解得，切線方程為，即，∴切線方程為或；（3），則，代入圓方程得，即，∴，解得．19．(1)(2)8(3)存在，或【分析】（1）由離心率和，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線AP的方程為，得到，聯(lián)立直線AP和橢圓方程，得到，從而得到直線方程為，故，表達(dá)出，由基本不等式得到最小值；（3）求出，，根據(jù)三角形面積求出點(diǎn)T到直線AP的距離等于，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到，由平行線距離公式得到，從而聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【詳解】（1）由知，又，，故，故橢圓C的方程為（2）直線AP的斜率k顯然存在，且，故可設(shè)直線AP的方程為，令得，故由可得，設(shè)，則，所以，，即，又，故直線的斜率為，直線方程為中，令得，故，，又，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以時(shí)，線段GH的長度取最小值8；（3）由（2）可知，