2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期11月份考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期11月份考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知a為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知兩條直線，及平面，則下列推理正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．若圓，圓，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是（

）A． B．C． D．4．已知直線的傾斜角為，則（

）A．-3 B． C． D．5．在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．06．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．57．古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月天計(jì)算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項(xiàng)和為.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若實(shí)數(shù)m，n滿足等式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的是（

）A．已知非零向量，則“”是“”的必要不充分條件B．已知x，y是實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)必要不充分條件是“”C．命題“”的否定為“”D．若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．已知空間四點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．點(diǎn)到直線的距離為 D．四點(diǎn)共面11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（

）A．若，則平面平面B．若，則與所成角的取值范圍為C．若，則平面D．若，則線段長(zhǎng)度的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)在點(diǎn)1,f1處的切線與直線相互垂直，則實(shí)數(shù)13．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則14．在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，如圖甲所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖乙所示，則三棱錐外接球的體積是；過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的方程：(2)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程.16．已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求角B；(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．17．已知數(shù)列滿足．?dāng)?shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和．18．如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．(1)求證：；(2)若，求三棱臺(tái)的體積；(3)若到平面的距離為，求的值．19．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處及其附近用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為（其中表示的次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的秦勒展開式.例如在處的泰勒展開式為.(1)分別求和在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明.（其中為虛數(shù)單位）；(3)當(dāng)時(shí)，求證.（參考數(shù)據(jù)）

答案1．【正確答案】B根據(jù)純虛數(shù)的知識(shí)求得，由此求得在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù),,∴復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A,例如在正方體中平面,平面,但是與相交，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,根據(jù)線面平行的判定定理，需要，，故當(dāng)時(shí)，不能得到，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,例如在正方體中，平面,但是不能得到平面,故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,根據(jù)線面垂直的定義即可判斷，，故D正確，故選：D3．【正確答案】B【詳解】圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑∵，∴圓與圓相交，兩圓相減，化簡(jiǎn)得直線，即為圓與圓的公共弦所在直線，故B正確.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以.所以.故選：B.5．【正確答案】A【分析】連接，利用給定關(guān)系可得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求解即得.【詳解】連接，由，得，又，則.故選A.6．【正確答案】B【詳解】由正弦定理角化邊，可知，，且則，，則，則，①由余弦定理，②由①②得，，即.故選：B7．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)，是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，故，，所以，即，，，所以恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8．【正確答案】C【詳解】是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)；又，所以，且；即，畫出不等式組表示的圖形，如圖所示，所以表示圓弧上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，所以結(jié)合圖象可得：的最大值是直線的斜率，為，最小值是直線的斜率，不妨設(shè)為k，則，消去n，得，整理得，令，化簡(jiǎn)得，解得，應(yīng)取為最小值；所以的取值范圍是：．故選：C．9．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，與垂直或，，則由得不到，由可得到，故“”是“”的必要不充分條件，A正確；B選項(xiàng)，，.則由可得到，由得不到，則是的一個(gè)充分不必要條件，不是必要不充分條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由全稱量詞命題否定概念可知”的否定為，C正確；D選項(xiàng)，，由題，則，D正確.故選：ACD10．【正確答案】BD【詳解】A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：，，所以所以點(diǎn)到直線的距離為，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，所以有，因此是共線向量，所以四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11．【正確答案】AC【詳解】A項(xiàng)，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.

，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；

B項(xiàng)，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，

由，則又，所以，，因?yàn)椋瑒t，，，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).延長(zhǎng)至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.

由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；又平面，故平面，故C正確；D項(xiàng)，如圖，連接.

若，由，可得，，，與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動(dòng).連接，同選項(xiàng)B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】，直線的斜率為，由于在點(diǎn)1,f1處的切線與直線相互垂直，所以切線的斜率為，即.故13．【正確答案】4【詳解】，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，所以都是正數(shù)，在等比數(shù)列中，同號(hào)，且，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】對(duì)于第一空，由題意，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4的長(zhǎng)方體，如圖所示，

三棱錐P?AEF外接球即為補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的直徑，所以，所以三棱錐P?AEF外接球的體積為；對(duì)于第二空，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P?AEF的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過(guò)球心O的大圓，此時(shí)截面圓的面積為，最小截面為過(guò)點(diǎn)M垂直于球心O與M連線的圓，此時(shí)截面圓半徑（其中長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體前后面對(duì)角線長(zhǎng)度），則截面圓的面積為，所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為.故；.15．【正確答案】(1)；(2)和.【詳解】（1）設(shè)圓心依題意，的中點(diǎn)為，直線的斜率，則線段的垂直平分線方程為，顯然圓心在線段的垂直平分線上，由，解得，因此圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，所以圓的方程是．（2）依題意，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，設(shè)該切線方程為，即，于是，解得或，所以所求切線方程為和.

16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，又因?yàn)?，則，因?yàn)椋?（2）因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，所以，?a+所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.17．【正確答案】(1)，，；(2).【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即有，而當(dāng)時(shí)，，有，滿足上式，因此，因?yàn)?，即有，則，即為等比數(shù)列，而，因此，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，.（2）由（1）知，，則，于是，，所以.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接；如下圖所示：易知平面平面，且平面平面，平面平面；所以，又因?yàn)?，可得四邊形為等腰梯形，且分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，易知，且平面，所以平面，又平面，所以；?）由二面角定義可得，二面角的平面角即為，當(dāng)時(shí)，即，因此可得平面，可知即為三棱臺(tái)的高，由可得；易知三棱臺(tái)的上、下底面面積分別為，因此三棱臺(tái)的體積為（3）由（1）知，，，二面角的平面角即為；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：可得，易知，可得；則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，可得；顯然，由到平面的距離為，可得，即，可得；整理得，解得或；又，可得.19．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（