2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考試說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，字跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．4．保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．第Ⅰ卷(選擇題，共58分)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．4．已知是單位向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．7．菱形邊長(zhǎng)為，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)x∈0,1，，則的值為(

).A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)D．若方程在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是10．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．方程有一個(gè)解B．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則C．若存在極小值和極大值，則D．若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，恒成立，則第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．12．中國(guó)冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀(jì)，約比西方晚900年，但是冶煉鑄鐵的技術(shù)卻比歐洲早2000年.現(xiàn)將一個(gè)軸截面為正方形且側(cè)面積為的實(shí)心圓柱鐵錠冶煉熔化后，澆鑄成一個(gè)底面積為的圓錐，則該圓錐的高度為.13．已知某種科技產(chǎn)品的利潤(rùn)率為，預(yù)計(jì)5年內(nèi)與時(shí)間月滿足函數(shù)關(guān)系式其中為非零常數(shù).若經(jīng)過(guò)12個(gè)月，利潤(rùn)率為，經(jīng)過(guò)24個(gè)月，利潤(rùn)率為，那么當(dāng)利潤(rùn)率達(dá)到以上，至少需要經(jīng)過(guò)個(gè)月用整數(shù)作答，參考數(shù)據(jù)：14．已知為單位向量，滿足，則的最小值為四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，分別為角所對(duì)的邊，且(1)求角B.(2)若，求ABC周長(zhǎng)的最大值.16．已知數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．行列式在數(shù)學(xué)中是一個(gè)函數(shù)，無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用．將形如的符號(hào)稱(chēng)二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計(jì)算如下：，設(shè)函數(shù)．(1)求的對(duì)稱(chēng)軸方程及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角△中，已知，，，求.18．已知數(shù)列滿足,（）.(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)（），且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：（）.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若恒成立，求的范圍；(3)若在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證.1．D【分析】求解一元二次不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，從而解得集合，再求交集即可.【詳解】，，故.故選：D.2．D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的乘方運(yùn)算，可得其周期，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.【詳解】由，且，則，所以，可得其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即該點(diǎn)在第四象限.故選：D.3．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，，可得f′x>0，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，可得，則單調(diào)遞減；由，，，則的最小值為.故選：A.4．A【分析】利用向量三角不等式可得，進(jìn)而可判斷充分性，若，，時(shí)可判斷必要性.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取等號(hào)，所以，所以“”是“”的充分條件，若，則存在，所以，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的不必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在的單調(diào)性，再根據(jù)其對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間端點(diǎn)值關(guān)系，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)闉樯系膯握{(diào)減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，故，解得.故選：D.6．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列片斷和性質(zhì)，列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，又為的前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列，公比為，于是，所以.故選：B7．D【分析】根據(jù)條件，建立平面直解坐標(biāo)系，設(shè)，，則，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得，即可求解.【詳解】如圖，連接交于，因?yàn)闉榱庑?，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

又菱形邊長(zhǎng)為，設(shè)，，則，所以，則，得到，所以，故選：D.8．C【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足，得出周期為2，根據(jù)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足，可得f?x=fxf1+x=f1?x可得的周期為2，當(dāng)x∈0,1，，可得：.故選：C.9．AC【分析】對(duì)A：由，解得的范圍，即可求得；對(duì)B：根據(jù)A中所求解析式，求得的對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)，檢驗(yàn)即可；對(duì)C：由，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可判斷；對(duì)D：令，轉(zhuǎn)化題意為在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性和值域，即可求解.【詳解】對(duì)A：由圖可知，，故，，，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，故A正確；對(duì)B：由A可知，，令，解得，令，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，又，故C正確；對(duì)D：，即，令，故只需在上有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，故只需，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ABD【分析】利用基本不等式計(jì)算可判斷ACD，利用三角代換計(jì)算可判斷B.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故D正確.故選：ABD.11．ACD【分析】對(duì)A：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，即可判斷；對(duì)B：將轉(zhuǎn)化為，再研究的單調(diào)性和最值，即可求得的范圍；對(duì)C：對(duì)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，即可求得參數(shù)范圍；對(duì)D：根據(jù)B中所求，結(jié)合題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均值不等式的證明，再利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】對(duì)A：，即，因?yàn)閤>0，故等式兩邊取對(duì)數(shù)可得：，也即，又因?yàn)?，故，解得x=1，故方程只有一個(gè)解，A正確；對(duì)B：有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，又x>0，，顯然m>0，故對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)可得，令，則，令>0可得，令可得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；又，且當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于，故有兩根，只需，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，則，令，則①當(dāng)時(shí)，，>0，在單調(diào)遞增，又，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，>0，故此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，故此時(shí)單調(diào)遞減；則為的極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，令>0，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減；故在時(shí)取得最大值，最大值為；若，即，也即時(shí)，在恒成立；則在恒成立，故在單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn)，不滿足題意；若，即，也即時(shí)，，又當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故存在，使得，且存在，使得，故當(dāng)，，此時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)>0，單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時(shí)，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，滿足題意；綜上所述，若有極大值和極小值，則，故C正確；對(duì)D：有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即，因?yàn)閤>0，顯然，兩邊取對(duì)數(shù)可得故方程有兩個(gè)根，不妨設(shè)為，且，為方便理解，根據(jù)B中對(duì)的單調(diào)性和最值分析作圖如下所示：易知，且當(dāng)時(shí)，，也即，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，；又恒成立，故可得也是方程的兩根，則；令，若，則，又，故，則，故，也即，也即，令，因?yàn)?，故，故只需證，，①先證，因?yàn)?，故，故只需證，令，則只需證，又，故在單調(diào)遞減，又，故，也即；②再證，，因?yàn)椋手恍枳C，又，故在單調(diào)遞增，又，故，也即，；綜上所述：，，故D正確.故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵，一是對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值；二是，能熟練掌握含參函數(shù)單調(diào)性的討論，從而解決其極值問(wèn)題；三是，能夠?qū)中的問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，同時(shí)，也要熟練掌握對(duì)數(shù)平均值不等式的證明；屬綜合困難題.12．【分析】根據(jù)澆鑄前后體積不變列方程，求得圓錐的高.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為，則圓柱的側(cè)面積為，又，代入解得，故，又，又，解得.故答案為.13．40【分析】由題意建立方程組，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意可得，兩式作比可得，解得，可得，令，解得.故答案為.14．【分析】設(shè)，，分析可知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳解】設(shè)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，由可知：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，由，可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，則，可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為2,0，且點(diǎn)為1,0時(shí)，取到最小值1.故1.方法點(diǎn)睛：對(duì)于向量問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，進(jìn)而分析求解.15．(1)(2)【分析】（1）由題目的等式，結(jié)合余弦定理，可得答案；（2）由正弦定理可得邊角的等量關(guān)系，利用三角周長(zhǎng)公式整理函數(shù)關(guān)系式，可得答案.【詳解】（1）由，即，∵，∴，又，∴.（2）由可得，，，的周長(zhǎng)，∵，∴∵，∴的最大值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件及（1）中結(jié)果，得到，再利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，②，由①②，得，即，又當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.（2）由（1）知，所以，則，所以③，④，由③④得：，所以.17．(1)對(duì)稱(chēng)軸，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，求得并化簡(jiǎn)至一般式，再根據(jù)正弦的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性求解即可；（2）根據(jù)（1）中所求解析式，求得，在利用正弦定理求得；再在△和△中，兩次使用正弦定理，即可求得關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系，再求結(jié)果即可.【詳解】（1），由，得，所以的對(duì)稱(chēng)軸為.由，解得，又，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，，則，由，得，則，解得，因?yàn)橹校?，則為銳角，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；因?yàn)?，故可得，即，也即，故；設(shè)，則，在△和△中，由正弦定理得，，上面兩個(gè)等式相除可得，得，即，所以.18．(1)證明見(jiàn)解析，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）按等比數(shù)列的定義證明，用的遞推關(guān)系尋找與的關(guān)系，即可證明，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）使用分組求和法，偶數(shù)項(xiàng)為等比、等差數(shù)列求和，奇數(shù)項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項(xiàng)求和；（3）先將放縮，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得，即可求證.【詳解】（1），又，所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知.（2）由（1）可知，又，.設(shè)，則，設(shè)，，，，故.（3），，所以欲證，只需證，即證.設(shè)，，故在上單調(diào)遞減，，時(shí)，.，得證.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（3）問(wèn)，通過(guò)放縮，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求證，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可求證.19．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，即可求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性可得，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可求解最值得解.（3）根據(jù)?x在單調(diào)遞減.證明，即可求證，構(gòu)造函數(shù)以及，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求證.【詳解】（1），則，，故切線方程為，即，（2），令，令，當(dāng)在0,+∞單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，解集為，故，進(jìn)而即，令，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減