2024-2025學(xué)年江蘇省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)為實數(shù)，已知直線：，：，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．5或2．拋物線的準線方程是（）A． B．C． D．3．方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或4．點關(guān)于直線對稱的點坐標為（

）A． B． C． D．5．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則的離心率等于（）A． B．2 C．2或 D．或6．已知拋物線，弦過拋物線的焦點且滿足，則弦的中點到軸的距離為（

）A． B．3 C． D．47．已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，若，的面積為，則的方程為（

）A． B．C． D．8．已知圓和兩點、，若圓上存在一點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標系中，下列說法正確的是（）A．直線：，若，則；B．直線的方程為：，直線過定點；C．過點1,2，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為；D．直線，兩直線的距離為10．已知點、動點滿足，點的軌跡為曲線，點是直線上一點，過點作曲線的切線，切點為，直線與軸的交點為，則（）A．曲線的方程為B．點到直線距離的最小值為C．的最小值為D．若點坐標為，則的最小值為11．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積.如下圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別為，，左、右頂點分，，，，設(shè)C的離心率為e，則（

）A．若，則B．四邊形的面積與的面積之比為C．四邊形的內(nèi)切圓方程為D．設(shè)條形陰影部分的面積為，點形陰影部分的面積為，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓和雙曲線共焦點，則m的值為.13．已知圓C經(jīng)過兩點A（0，2），B（4，6），且圓心C在直線：2x-y-3=0上，則圓C的方程為；14．已知橢圓的右焦點為是的中點，若橢圓上到點的距離最小的點有且僅有一個，則橢圓的離心率的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標系中，已知點，點在軸上，且.(1)求直線的斜率；(2)求直線的方程.16．經(jīng)過雙曲線的左焦點作斜率為2的弦AB，求：(1)線段的長；(2)設(shè)點為右焦點，求的周長.17．在平面直角坐標系中，圓C的方程為，．(1)當(dāng)時，過原點O作直線l與圓C相切，求直線l的方程；(2)對于，若圓C上存在點M，使，求實數(shù)的取值范圍．18．已知拋物線經(jīng)過點，焦點為，過作兩條直線與拋物線交于四點，其中在第一象限，且在的左側(cè)．(1)求的方程；(2)若直線與軸交于點，求直線與軸的交點坐標；(3)設(shè)直線與的斜率分別為，若，試問：直線是否過定點，若過請求出定點坐標；若不過，請說明理由．19．法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的蒙日圓為圓.(1)求圓的方程；(2)已知點是橢圓上的任意一點，點為坐標原點，直線與圓相交于、兩點，求證：；(3)過點作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點，交橢圓于、兩點，求四邊形面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件得到方程，求出的值，再代入檢驗即可.【詳解】因為直線：與直線：平行，所以，解得或，當(dāng)時直線：與直線：平行，符合題意；當(dāng)時直線：與直線：平行，符合題意.綜上可得：或.故選：D2．【正確答案】C【詳解】由可得，故，且開口向下，故拋物線的準線方程是.故選：C.3．【正確答案】D【分析】借助橢圓定義與充要條件的定義計算即可得.【詳解】若表示橢圓，則有，解得或.故選：D.4．【正確答案】A【詳解】設(shè)點關(guān)于直線對稱的點坐標為，由題意可得：解得：，所以點關(guān)于直線對稱的點坐標為，故選：A.5．【正確答案】D【詳解】由題意可設(shè)：，，．當(dāng)圓錐曲線為橢圓時，，．離心率；當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時，，，離心率．綜上可知，圓錐曲線的離心率為或．故選：．6．【正確答案】C【詳解】拋物線的焦點，設(shè)，假設(shè)，顯然弦所在的直線的斜率存在且不等于零，設(shè)弦所在的直線方程為，聯(lián)立，消去可得，，所以，因為，所以，則，所以，解得，所以，所以，所以弦的中點的坐標為，所以弦的中點軸的距離為，故選:C.7．【正確答案】B【詳解】因為，所以，又因為點在上，所以，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故，則，所以，則，所以，所以，所以的方程為.故選：B.

8．【正確答案】C【詳解】取，則，同理可得，，所以，，所以滿足條件的點一定在的外接圓上，的外接圓半徑為，所以，的外接圓圓心為，且，要使得圓上存在一點，使得，所以圓與圓有公共點，則，即，又，解得．故選：C．9．【正確答案】ABD【詳解】對于A：當(dāng)，可得：，解得：，正確；對于B：由方程，可得：，由，解得：，過定點，正確；對于C：過點，且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線，當(dāng)截距為0時，方程為：，故C錯誤；對于D:由兩平行線間距離公式可得：兩直線的距離為，故正確；故選：ABD10．【正確答案】ACD【詳解】因為、，設(shè)，由，得，化簡得：，故曲線的方程為，故A正確；曲線的圓心，到直線的距離為，可知直線與圓相離，從而圓上動點到直線距離的最小值為，故B錯誤；在中，，故C正確；在直線中，令，得，即，設(shè)點，滿足,故，化簡可得，由于在，即，故，，故,因此，，，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點時取得最小值，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】AB【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，對于A選項，若，則即所以，故A正確；對于B選項，，又，所以四邊形的面積與橢圓的面積之比為故B正確；對于C選項，因為原點到四邊形的四條邊的距離都相等，都等于即為四邊形內(nèi)切圓的半徑，所以四邊形內(nèi)切圓的方程為，即，故C錯誤；對于D項，由題意，所以所以，而，所以，所以，故D錯誤.故選：AB.12．【正確答案】7【分析】由橢圓和雙曲線標準方程可求.【詳解】由題意，焦點在軸，所以，解得.故713．【正確答案】【詳解】設(shè)圓心，由可得，解得，故圓的半徑為，故圓的方程為：，故答案為.14．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的對稱性得到右頂點到的距離最小，再利用兩點距離公式與二次函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得解.【詳解】因為橢圓的右焦點，而是的中點，則因為橢圓C上到點的距離最小的點有且僅有一個，又無論該點是在軸上方還是下方，由于橢圓的對稱性都會有2個最小點，而左右頂點中，右頂點更靠近點，所以右頂點到的距離最小，設(shè)是橢圓上的點，，，對于，其開口向上，對稱軸為，定義域為，要使在處取得最小值，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，又，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，，，可知直線平行于軸，已知點在軸上且，可知直線與軸非負半軸所夾角度為，即直線的傾斜角為，故直線的斜率.（2）由（1）可知，可得直線的方程為，即，將代入，即求得點坐標為.已知，，可得直線的方程為，化簡得.16．【正確答案】(1)30(2)64【詳解】（1）由題意得直線AB的方程為,代入雙曲線方程可得,設(shè)，則即的長為（2）由雙曲線的定義得=，則的周長為=..17．【正確答案】(1)或(2)【分析】（1）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況討論，結(jié)合點到直線得距離公式即可得解；（2）要使得，則M在線段的中垂線上，從而可得線段的中垂線與圓C有公共點，則有圓心到直線得距離小于等于半徑，從而可得出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，圓C的方程為，圓心，半徑，①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，滿足條件；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由直線l與圓C相切，則，解得，所以l的方程為，即，綜上得，直線l的方程為或；（2）圓心，，則線段的中垂線的方程為，即，要使得，則M在線段的中垂線上，所以存在點M既要在上，又要在圓C上，所以直線與圓C有公共點，所以，解得，所以．

18．【正確答案】(1)(2)(3)直線過定點，且定點為【詳解】（1）將代入可得，解得，故（2）設(shè)直線，聯(lián)立與可得，設(shè),，故，同理可得，故直線，令可得，同理可得與軸的交點橫坐標,由于，故，同理可得，由于，故，所以，故直線與軸的交點坐標為（3）由題意可得，由于，故故，進而，直線，即，由于，故直線，故直線恒過點

19．【正確答案】(1)(2)證明見解析；(3)【詳解】（1）橢圓：中，，所以所求圓