2024-2025學(xué)年江蘇省高一上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省高一上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合集合則（

）A．(-∞，0)∪[2，+∞) B．(0，2]C．(0，2) D．(0，+∞)2．函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B．1 C．0 D．無(wú)法確定3．已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．若，則（

）A． B． C． D．5．若三個(gè)變量、、，隨著變量的變化情況如下表.2則關(guān)于分別呈函數(shù)模型：、、變化的變量依次是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、6．與角的終邊相同的角的集合是A．B．C．D．7．牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后的溫度將滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25℃的房間中，如果熱茶降溫到55℃，需要10分鐘，則欲降溫到45℃，大約需要多少分鐘（）A．12 B．14 C．16 D．188．已知函數(shù)，若函數(shù)，且函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（

）A． B．C． D．10．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．已知方程的解在內(nèi)，則B．函數(shù)的零點(diǎn)是，C．函數(shù)，的圖象關(guān)于對(duì)稱D．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過(guò)程中得到，，則方程的根落在區(qū)間上11．下列結(jié)論中正確的是（

）A．終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的集合是B．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是C．若是第三象限角，則是第二象限角D．若，，則12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為B．在上是增函數(shù)C．的解集為D．的解集為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為弧度.14．若對(duì)任意a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝.15．設(shè)，則.16．設(shè)滿足，滿足，則.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：18．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．19．設(shè)函數(shù)．(1)若不等式的解集，求a，b的值；(2)若，①，，求的最小值，并指出取最小值時(shí)a，b的值．②求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．20．我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬(wàn)元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬(wàn)元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬(wàn)元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).21．已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于x的不等式；（2）已知為定義在R上的奇函數(shù).①當(dāng)時(shí)，求的值域；②若對(duì)任意成立，求m的取值范圍.22．已知函數(shù)，．(1)求證：為R上的偶函數(shù)；(2)若函數(shù)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍1．D解二次不等式得集合；求函數(shù)定義域得集合，再由并集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，因?故選：D.本題主要考查求集合的并集，涉及二次不等式，以及根式型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題型.2．C【分析】利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，解得.故選：C.3．D【分析】先判斷，然后根據(jù)弧度得到，最后比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，而，所以，所以，故選：D4．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以，所以.故選：C5．B【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合函數(shù)的變化率，即可求解.【詳解】解：由表可知，隨著的增大而迅速的增大，是指數(shù)函數(shù)型的變化，隨著的增大而增大，但是變化緩慢，是對(duì)數(shù)函數(shù)型的變化，相對(duì)于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選：B.6．B【分析】在范圍內(nèi)找出與角終邊相同的角，然后可得出與角終邊相同的角的集合.【詳解】因?yàn)?，所以角與角的終邊相同，所以與角的終邊相同的角的集合為.故選B．本題考查終邊相同的角的集合，一般要在范圍內(nèi)找出終邊相同的角，并以此角來(lái)表示相應(yīng)的集合，屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】先計(jì)算出，再根據(jù)條件計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意有：，∴.故選：C.8．C【分析】作出函數(shù)的圖像，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像得出其范圍.【詳解】解：作出函數(shù)的圖像如下：

數(shù)，且函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有6個(gè)解，等價(jià)于或共有6個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與共有6個(gè)交點(diǎn)，由圖可得與有三個(gè)交點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn)則直線應(yīng)位于之間，所以故選：C.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.9．BC【分析】分、兩種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，解得.綜上所述，或.故選：BC.10．B【分析】利用零點(diǎn)的定義，零點(diǎn)存在性定理，反函數(shù)的定義及函數(shù)的單調(diào)性一一判定即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，易知在上是增函數(shù)，且，所以方程的解在，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令得或，故函數(shù)的零點(diǎn)為和，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，令，易知在上是增函數(shù)，由于，所以由零點(diǎn)存在性定理可得方程的根落在區(qū)間上，故D正確.故選：B.11．ABD【分析】求出角的集合表示判斷A；求出旋轉(zhuǎn)角的弧度數(shù)判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；分析兩個(gè)集合判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，角終邊為射線，該角的集合為，當(dāng)時(shí)，角終邊為射線，該角的集合為，所以所求角的集合為，A正確；對(duì)于B，將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是，B正確；對(duì)于C，取，滿足是第三象限角，而是第四象限角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，是整數(shù)，是整數(shù)，而是奇數(shù)，因此，D正確.故選：ABD12．AD【分析】分析可知為偶函數(shù)，研究時(shí)的函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得出AB的正確與否；研究函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性，奇偶性，即可判定C錯(cuò)誤；分類討論求解，即可得到不等式的解集，從而判定D正確.【詳解】，所以是偶函數(shù)，在時(shí)，,圖象為開(kāi)口向下的拋物線的部分，對(duì)稱軸為,在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為,∴函數(shù)在R上的最大值為,在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故A正確，B錯(cuò)誤；

由于,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象如圖所示.可知的解集為,故C錯(cuò)誤；畫出圖象如圖所示：

由圖象可得不等式的解集為，故D正確.故選：AD.13．2【分析】根據(jù)扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，由題意得，，解得，所以扇形的圓心角為2弧度.故2.14．-2【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，可得函數(shù)（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)，所以點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝＝－2.故－2.15．【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求代數(shù)式后，利用齊次化切法求值即可解決.【詳解】又，則故16．【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，借助函數(shù)零點(diǎn)確定與得解.【詳解】令函數(shù)，而函數(shù)在上都是增函數(shù)，因此函數(shù)是增函數(shù)，由滿足，得，即，于是，由滿足，得，因此，而函數(shù)在上遞增，于是，即，所以.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，觀察題目所給式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.17．（1）；（2）1.【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算即得.（2）利用同角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】（1）.（2）.18．(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；（2）由求出，再求出，然后根據(jù)列式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得，得，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以或，所以.（2）因?yàn)椋?，所以，即，由得，得，，所以，因?yàn)?，所以，，解?19．(1)(2)①，時(shí)，取最小值2；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意可知?1，1是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理求解；（2）根據(jù)題意得，①利用基本不等式進(jìn)行處理運(yùn)算，注意“1”得運(yùn)用；②分類討論判斷單調(diào)性求解．【詳解】（1）由的解集是知?1，1是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得（2）由得，①，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值是2．②由于，得，則，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．20．(1)(2)100千臺(tái)，最大年利潤(rùn)為5900萬(wàn)元.【分析】（1）由已知的條件知道該函數(shù)為一個(gè)分段函數(shù)，所以分兩種情況把表達(dá)式分別求出來(lái)即可（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求它在該區(qū)間上的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式性質(zhì)求最大值.【詳解】（1）解：10000臺(tái)=10千臺(tái),則，根據(jù)題意得：，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋十?dāng)年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為5900萬(wàn)元.21．（1）；（2）①；②.（1）將代入函數(shù)解析式，不等式即為，令，不等式即為，解得，即，進(jìn)而求得不等式的解集；（2）①根據(jù)其為奇函數(shù)，得到，求得，再根據(jù)，解得，從而求得函數(shù)解析式，利用換元思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)值域；②利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明其為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的條件，將轉(zhuǎn)化為相應(yīng)不等式組，求得結(jié)果.【詳解】（1），時(shí)，由可得，令，得，解得，即，所以.（2）①因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，即，則，所以，根據(jù)為上的奇函數(shù)可得.所以，即對(duì)任意恒成立，所以，令，令，則.所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為的值域，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的值域?yàn)?②，設(shè)任意，且，則，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)閷?duì)任意成立，且為上的奇函數(shù)，所以對(duì)任意成立，所以對(duì)任意成立.當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，解得，綜上所述，.方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，解題方法如下：（1）將參數(shù)代入函數(shù)解析式，解不等式即可得結(jié)果；（2）①根據(jù)奇函數(shù)的定義，求得參數(shù)值，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；②利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化，得到結(jié)果.22．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證（2）在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)根，令，可得在上有唯一實(shí)數(shù)根，分別討論三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即