2024-2025學(xué)年山西省太原市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省太原市高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．3．等比數(shù)列中，，公比，若，則（

）A． B． C． D．4．已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A． B．C． D．5．如圖，平行四邊形中，，，若，，則（

）A． B． C．D．6．函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．7．若過點(diǎn)可以作的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知關(guān)于的方程在內(nèi)有2個(gè)不同的解，，則（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．已知，則；B．已知，則；C．已知一次函數(shù)滿足，則；D．定義在上的函數(shù)滿足，則10．已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若則C．向量與向量垂直D．若，則11．已知函數(shù)，則下面說法正確的是（

）A．π是的一個(gè)周期 B．的最大值為334C．是的對(duì)稱軸 D．是的對(duì)稱中心三、填空題（本大題共3小題）12．命題“，”的否定是．13．函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是.14．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)，且成等比數(shù)列.若的解集為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，，分別是角所對(duì)的邊，且滿足．(1)求角的大??；(2)設(shè)向量，向量，且，，求的面積．16．已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．已知函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若時(shí)，不等式有解，求的取值范圍.18．已知的面積為9，點(diǎn)D在BC邊上，．(1)若，，①證明：；②求AC；(2)若，求AD的最小值．19．當(dāng)一個(gè)函數(shù)值域內(nèi)任意一個(gè)函數(shù)值都有且只有一個(gè)自變量與之對(duì)應(yīng)時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).例如，由，得，通常用表示自變量，則寫成，我們稱與互為反函數(shù).已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若兩點(diǎn)在曲線y=fx上，兩點(diǎn)在曲線y=gx上，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個(gè)矩形為與的“關(guān)聯(lián)矩形”.(1)若函數(shù)，且點(diǎn)在曲線y=fx上.（i）求曲線y=fx在點(diǎn)A（ii）求以點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.(2)若函數(shù)fx=lnx，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明.（參考數(shù)據(jù)：）

答案1．【正確答案】B【詳解】由集合，解得，故.故選：B2．【正確答案】D【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，即，也即，解得.故選：D3．【正確答案】C【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，，解得.故選C.4．【正確答案】A【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A5．【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所?故選：D.6．【正確答案】C【分析】根據(jù)與的正負(fù)關(guān)系，即可排除選項(xiàng)，再根據(jù)的值，排除選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則；若，則.當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，排除A，D.，顯然不恒等于0，故不是奇函數(shù)，排除B.故選：C7．【正確答案】B【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由切線過點(diǎn)，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，而當(dāng)時(shí)，恒有，又，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線斜率，切點(diǎn)未知，設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.8．【正確答案】D【分析】輔助角公式得，取為銳角且，由，得，，則，求值即可.【詳解】因?yàn)椋殇J角且，，所以，由題意可得.因?yàn)?，不妨設(shè)，由，有，，即，所以，.故選D.【思路導(dǎo)引】輔助角公式的作用之一是將含有正弦、余弦兩種三角函數(shù)的表達(dá)式合并為只含有一種三角函數(shù)的表達(dá)式.若兩個(gè)角的正弦值相等，則這兩個(gè)角終邊重合或終邊關(guān)于軸對(duì)稱.9．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，用替換中的，求出的解析式，即可判斷；對(duì)于B，由題意可得，再由，即可得的解析式，即可判斷；對(duì)于C，設(shè)，根據(jù)題意求出的值，即可判斷；對(duì)于D，用替換中的，由兩式中消去，可得的解析式，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，故正確；對(duì)于C，設(shè)，則，所以，解得或，所以或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足①，所以②，由①+②，得，所以，故正確.故選：ABD.10．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A：因?yàn)闉榉橇阆蛄?，若，則，故，故A正確；對(duì)于B：若，故，故В正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：若，則，得到，不能確定，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．11．【正確答案】AD【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可判斷A；；利用即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可判斷B.利用即可判斷D【詳解】，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期為，故A正確；，又，令，因?yàn)榈闹芷跒?，所以只需討論?nèi)的的最大值，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)即時(shí)，有極大值，又，因?yàn)?，所以直線不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤.，所以點(diǎn)是圖象的對(duì)稱點(diǎn)，故D正確；故選：AD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，方可求出最大值.12．【正確答案】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式即可得解.【詳解】由存在量詞命題的否定形式可知：命題“，”的否定是“”.故13．【正確答案】.【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，所以的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】2【分析】根據(jù)已知，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征可得是的極小值點(diǎn)，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)可得的關(guān)系，由不等式的解集求出.【詳解】因三次函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，則該函數(shù)必有一個(gè)極小值點(diǎn)，且極小值點(diǎn)大于，又恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，因此是的極小值點(diǎn)，求導(dǎo)得：，即是方程的二根，有，即，顯然，則，整理得，兩邊平方得：，因成等比數(shù)列，即，于是得，即，而，有，顯然有，，因的解集為，則5是方程的根，即有，整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，，不等式，解得，符合題意，函數(shù)的極大值為，當(dāng)時(shí)，，，不等式，解得，不符合題意，舍去，所以.故2.方法點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，，因，則；（2）由，因，則，因，且，則，故，因，則，則的面積為.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義得到數(shù)列an（2）由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足，即，由等差數(shù)列的定義，可得數(shù)列an是以3為公差的等差數(shù)列，?因?yàn)?，可得，所以?shù)列an的通項(xiàng)公式為.??解：由（1），可得，???所以數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.???17．【正確答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)給定條件，將不等式分離參數(shù)得，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，????由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；???3分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；????當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，????6分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.????7分依題意，不等式在時(shí)有解，即在時(shí)有解，????令，，求導(dǎo)得，由，得；由，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，????12當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，因此，????14所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.????關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、零點(diǎn)存在時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及零點(diǎn)在給定范圍內(nèi)時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來分層討論.18．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）①因?yàn)?，，所以，在中，由正弦定理可得，所以；②設(shè)，則，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，在中，，由①知，所以，所以，整理得，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，則，所以；（2）記的內(nèi)角為，所對(duì)邊為，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，整理得，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以AD的最小值為4.19．【正確答案】(1)（i）；（ii）；(2)證明見解析.【詳解】（1）（i）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，由，得，則，所以曲線y=fx在點(diǎn)A處的切線方程為即.（ii）由（1），由得其反函數(shù)為，則函數(shù)和圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為D，則D在曲線上，且，，則，由題意以及由圖象特征可知，則，直線的方程為