2024-2025學(xué)年浙江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（

）A．9或1 B．1 C．9 D．9或22．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．23．若動點(diǎn)Px,y滿足方程，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．4．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離為（

）A． B． C． D．5．已知直四棱柱，底面為矩形，，，且，若點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．長方體，，，動點(diǎn)滿足，，則二面角的正切值的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12cm，開口直徑為8cm，旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是一條直線B．當(dāng)時(shí)，曲線是一個(gè)圓C．當(dāng)曲線是圓時(shí)，它的面積的最小值為D．當(dāng)曲線是面積為的圓時(shí)，10．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．的周長為6B．若，則的面積為C．橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得D．的最小值為11．稱為點(diǎn)的“和”，下列說法正確的是（

）A．“和”為1的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積為2B．設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的“和”的最小值為2C．設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則使得“和”最小的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)的充要條件是D．設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則“和”的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則13．如圖，兩個(gè)正方形ABCD，CDEF的邊長都是2，且二面角為60°，M，N為對角線AC和FD上的動點(diǎn)，且滿足，則線段MN長的最小值為．14．已知雙曲線，若雙曲線不存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則雙曲線離心率的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求取最大值時(shí)的值；(3)設(shè)，求．16．已知數(shù)列滿足.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．18．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上在第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，軸，，．(1)求的方程；(2)過作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．19．已知平面上動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，動點(diǎn)的軌跡為曲線.直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)若直線的方程為，求的面積；(2)若的面積為，證明：和均為定值.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】是雙曲線上一點(diǎn)，所以，所以，由雙曲線定義可知，所以或者，又，所以，故選：C2．【正確答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去）．因?yàn)椋?，即，所以，所以或或所以的值為或或，所以的最小值為．故選：A．3．【正確答案】A【詳解】由題意得點(diǎn)Px,y到點(diǎn)A?2,0與點(diǎn)的距離之差的絕對值為3，且，故動點(diǎn)P的軌跡方程是以A?2,0與為焦點(diǎn)的雙曲線，故，所以，所以雙曲線的方程為.故選：A.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，即可根據(jù)向量法求解點(diǎn)面距離.【詳解】由于平面的方程為，所以平面的法向量，在平面上任取一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到平面距離.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】直四棱柱，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由底面為矩形，，，且，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而，由點(diǎn)到平面的距離為，得，解得，于是，，而，向量在向量方向上的投影長為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：D6．【正確答案】B【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知，，則，，，.因?yàn)?，所?,因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，.由，即，令，則，，則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以..，.所以則.則二面角的正切值的取值范圍是故選：B.7．【正確答案】A【詳解】由題可得已知圓的圓心，半徑為，如圖，由圖可知圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，傾斜角為，此時(shí)圓心到直線的距離，不符合，當(dāng)時(shí)，直線斜率為，此時(shí)，整理得，解得，因?yàn)椋?，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A.8．【正確答案】C【詳解】如圖，設(shè)是母線的中點(diǎn)，是中線，又也是中線，

設(shè)，則是重心，設(shè)的中點(diǎn)為，即橢圓的中心，設(shè)，，，作平面平面，，，．對橢圓如圖建系，，故，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，知，，于是，，．故選：C.9．【正確答案】AB【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，此時(shí)，曲線是一條直線，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，因?yàn)椋藭r(shí)，曲線是一個(gè)圓，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)曲線是圓時(shí)，其半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值為，因此，當(dāng)曲線是圓時(shí)，它的面積的最小值為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，當(dāng)曲線是面積為的圓時(shí)，其半徑為，即，解得或，D錯(cuò).故選：AB.10．【正確答案】ABD【分析】先求出，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義及三角形的面積公式即可判斷B；求出的最大值即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合基本不等式中“1”的整體代換即可判斷D.【詳解】由橢圓C：，得，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，所以，對于A，的周長為，故A正確；對于B，在中，由余弦定理得，，即，則，所以，所以的面積為，故B正確；對于C，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓得上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓得上下頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)為等邊三角形，故的最大值為，所以橢圓C上不存點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以的最小值為，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】A.由“和”的定義得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖形可得點(diǎn)Px,y的軌跡為邊長是的正方形，其面積為2，選項(xiàng)A正確.B.∵點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，∴，∴，令，由函數(shù)解析式可知fx在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取到最小值2，選項(xiàng)B正確.C．∵點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分析單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)，都滿足使得“和”最小的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.由點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)，則，由可得“和”的最大值為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【分析】利用求解即得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，而不滿足上式，所以.故13．【正確答案】【分析】由已知得，，，長度為2，且兩兩夾角已知，可用三個(gè)向量表示出，表示出模長即可得到最小值.【詳解】由題意知，ABCD，CDEF都是正方形，則，且，，所以即為二面角的平面角，即.因?yàn)椋O(shè)，則，且，，則則，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為.所以，.所以，線段MN長的最小值為.14．【正確答案】【詳解】由題意得點(diǎn)在雙曲線外部或在雙曲線上，則，得.假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)弦與雙曲線交于點(diǎn)Ax1,y由點(diǎn)Ax1,兩式作差得，，∴.∵不存在該中點(diǎn)弦，∴直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)，則，，∴，∵，∴，即.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)6(3)【詳解】（1）由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，則，則，故，故通項(xiàng)公式．（2）結(jié)合（1）可得，當(dāng)時(shí)，取最大值．（3），由，得，即時(shí)有，時(shí)有，若，，若時(shí)，，綜合上述．16．【正確答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）變形得到，得到為等比數(shù)列；（2）在（1）基礎(chǔ)上得到，利用分組求和，錯(cuò)位相減法求和得到答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又，故為等比?shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2；（2）由（1）可知，，故，，故，令①，則，其中②，①-②得，，故，.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，利用弦長公式計(jì)算出，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式建立等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題知，，由拋物線的定義知，，，的方程為．（2）由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，由題易知，，，，到直線的距離為，，解得，直線的方程為或．19．【正確答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題知曲線的方程為，進(jìn)而直線的方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦長公式得，原點(diǎn)到直線的距離為，再計(jì)算面積即可；（2）先考慮直線斜率存在時(shí)的情況，設(shè)其方程為，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式得，再計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）解：動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為，到