2009-2011年歷年安徽高考數(shù)學(xué)(理)試卷(答案)

PAGE12009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理）試題第I卷(選擇題共50分)一.選擇題：本大題10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是（B）（A）-15（B）-3（C）3（D）15（2）若集合則A∩B是（D）（A）(B)(C)(D)（3）下列曲線中離心率為的是（B）（A）（B）（C）（D）(4)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是（A）（A）p:＞b+d,q:＞b且c＞d（B）p:a＞1,b>1，q:的圖像不過第二象限（C）p:x=1,q:（D）p:a＞1,q:在上為增函數(shù)（5）已知為等差數(shù)列，++=105，=99.以表示的前項和，則使得達(dá)到最大值的是（B）（A）21（B）20（C）19（D）18（6）設(shè)＜b,函數(shù)的圖像可能是（C）（7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（A）（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的單調(diào)區(qū)間是（C）（A）（B）（C）（D）（9）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是（A）（A）（B）（C）（D）（10）考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（D）（A）（B）（C）（D）二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。(11）若隨機變量～，則=________.解答：(12)以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點A和B，則|AB|=_______.解答：(13)程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出結(jié)果是_______.解答：127（14）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是=________.解答：2（15）對于四面體ABCD，下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。eq\o\ac(○,1)相對棱AB與CD所在的直線異面；eq\o\ac(○,2)由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD的三條高線的交點；eq\o\ac(○,3)若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；eq\o\ac(○,4)分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點；eq\o\ac(○,5)最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱。解答：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)。（16）（本小題滿分12分）在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=。（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積。（16）本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運算求解能力。本小題滿分12分解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以（17）（本小題滿分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的。對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是。同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是。在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量。寫出X的分布列(不要求寫出計算過程),并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）.（17）本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。本小題滿分12分。X123P解：隨機變量X的分布列是X的均值。附：X的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：①②③④⑤⑥A－B－C－DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一個人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個人；在情形⑥之下，A直接感染了三個人。（18）（本小題滿分13分）如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。（I）求二面角B-AF-D的大?。唬↖I）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積。(18)本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）(綜合法)連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OG⊥AF，G為垂足。連接BG、DG。由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD為二面角B-AF-D的平面角。由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=.由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO=.(向量法)以A為坐標(biāo)原點，、、方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).于是設(shè)平面ABF的法向量，則由得。令得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。因為EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而由得。又因為故四棱錐H-ABCD的體積（19）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.(19)本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。解：的定義域是(0,+),設(shè),二次方程的判別式.當(dāng)，即時，對一切都有.此時在上是增函數(shù)。當(dāng),即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數(shù)。當(dāng)，即時，方程有兩個不同的實根,,.+0_0+單調(diào)遞增↑極大單調(diào)遞減↓極小單調(diào)遞增↑此時在上單調(diào)遞增,在是上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.（20）（本小題滿分13分）點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明:點是橢圓與直線的唯一交點；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列。（20）本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得即故P與Q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。（21）（本小題滿分13分）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足（I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；（II）若對一切都有，求的取值范圍。（21）本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。因為所以所有的均大于0，因此與同號。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號。因此，對一切都有的充要條件是或。2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷)理科數(shù)學(xué)測試第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）是虛數(shù)單位，（A） （B） （C） （D）（2）若集合，則（A） （B）（C） （D）（3）設(shè)向量，則下列結(jié)論中正確的是 （A） （B） （C）垂直 （D）（4）若是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足則= （A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2（5）雙曲線方程為，則它的右焦點坐標(biāo)為 （A） （B） （C） （D）（6）設(shè)，二次函數(shù)的圖象可能是（7）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線C到直線的距離為的點的個數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4（8）一個幾何全體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為 （A）280 （B）292 （C）360 （D）372（9）動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知定時t=0時，點A的坐標(biāo)是，則當(dāng)時，動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （A）[0，1] （B）[1，7] （C）[7，12] （D）[0，1]和[7，12]、（10）設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是 （A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．（11）命題“對任何”的否定是．（12）的展開式中，的系數(shù)等于．（13）設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為．（14）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出值．（15）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號）． ①； ②； ③事件B與事件A1相互獨立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．（16）（本小題滿分12分） 設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角A，B，C所對邊長，并且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求（其中）．（17）（本小題滿分12分）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（II）求證：當(dāng)時，（18）（本小題滿分13分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，BF=FC，H為BC的中點.（I）求證：FH//平面EDB；（II）求證：AC⊥平面EDB；（III）求二面角B—DE—C的大小.(19）（本小題滿分13分）已知橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率（I）求橢圓E的方程；（II）求的角平分線所在直線的方程；（III）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由.（20）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0.證明，為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有（21）（本小題滿分13分）品酒師需要定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)設(shè)n=4，分別以表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.（I）寫出X的可能值集合；（II）假設(shè)等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；（III）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有，（i）試按（II）中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）；（ii）你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）B（2）A（3）C（4）A（5）C（6）D（7）B（8）C（9）D（10）D二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．（11）存在（12）15（若只寫，也可）（13）4（14）12（15）②④三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．（16）（本小題滿分12分）本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識，考查綜合運算求解能力.解：（I）因為（II）由可得 ①由（I）知所以 ②由余弦定理知及①代入，得③+②×2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的兩個根.解此方程并由（17）（本小題滿分12分）本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.（I）解：由令的變化情況如下表：—0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，處取得極小值，極小值為（II）證：設(shè)于是由（I）知當(dāng)于是當(dāng)而即（18）（本小題滿分13分）本題考查空間線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷與證明，考查二面角的求法以及利用向量知識解決幾何問題的能力，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力.[綜合法]（1）證：設(shè)AC與BD交于點G，則G為AC的中點，連EG，GH，又H為BC的中點，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG//FH，而EG平面EDB，∴FH//平面EDB.（II）證：由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC，又EF//AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∵EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF=FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC，又FH//BC，∴AC=EG.又AC⊥BD，EGBD=G，∴AG⊥平面EDB.（III）解：EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線于K，則∠FKB為二面角B—DE—C的一個平面角.設(shè)EF=1，則AB=2，F(xiàn)C=，DE=又EF//DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=∴FK=EFsin∠KEF=，tan∠FKB=∴∠FKB=60°∴二面角B—DE—C為60°.[向量法]∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，又EF//AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF=FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABC.以H為坐標(biāo)原點，軸正向，軸正向，建立如圖所示坐標(biāo)系.設(shè)BH=1，則A（1，—2，0），B（1，0，0），C（—1，0，0），D（—1，—2，0），E（0，—1，1），F(xiàn)（0，0，1）.（I）證：設(shè)AC與BD的交點為G，連GE，GH，則平面EDB，HF不在平面EDB內(nèi)，∴FH∥平面EBD，（II）證：又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB.（III）解：設(shè)平面BDE的法向量為則即二面角B—DE—C為60°.（19）（本小題滿分13分）本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式，點關(guān)于直線的對稱等基礎(chǔ)知識；考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力、探究意識與創(chuàng)新意識.解：（I）設(shè)橢圓E的方程為將A（2，3）代入上式，得∴橢圓E的方程為（II）解法1：由（I）知，所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù).設(shè)上任一點，則若（因其斜率為負(fù)，舍去）.所以直線l的方程為：解法2：（III）解法1：假設(shè)存在這樣的兩個不同的點由于M在l上，故①又B，C在橢圓上，所以有兩式相減，得即將該式寫為，并將直線BC的斜率和線段BC的中點，表示代入該表達(dá)式中，得②①×2—②得，即BC的中點為點A，而這是不可能的.∴不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.解法2：假設(shè)存在，則得一元二次方程則是該方程的兩個根，由韋達(dá)定理得于是∴B，C的中點坐標(biāo)為又線段BC的中點在直線即B，C的中點坐標(biāo)為（2，3），與點A重合，矛盾.∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點.（20）（本小題滿分12分）本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識，考查推理論證、運算求解能力.證：先證必要性設(shè)數(shù)列則所述等式顯然成立，若，則再證充分性.證法1：（數(shù)學(xué)歸納法）設(shè)所述的等式對一切都成立，首先，在等式①兩端同乘成等差數(shù)列，記公差為假設(shè)時，觀察如下二等式②，③將②代入③，得在該式兩端同乘將由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切所以的等差數(shù)列.證法2：[直接證法]依題意有①②②—①得，在上式兩端同乘同理可得③③—④得即是等差數(shù)列，（21）（本小題滿分13分）本題考查離散型隨機變量及其分布列，考查在復(fù)雜場合下進(jìn)行計數(shù)的能力，能過設(shè)置密切貼近生產(chǎn)、生活實際的問題情境，考查概率思想在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，考查抽象概括能力、應(yīng)用與創(chuàng)新意識.解：（I）X的可能值集合為{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以中的奇數(shù)個數(shù)等于中的偶數(shù)個數(shù)，因此的奇偶性相同,從而必為偶數(shù).X的值非負(fù)，且易知其值不大于8.容易舉出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II）可用列表或樹狀圖列出1，2，3，4的一共24種排列，計算每種排列下的X值，在等可能的假定下，得到X02468P（III）（i）首先，將三輪測試都有的概率記做p，由上述結(jié)果和獨立性假設(shè)，得（ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結(jié)果的可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測.2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為（A）2（B）-2（C）-（D）（2）雙曲線的實軸長是（A）2(B)(C)4(D)（3）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,（A）-3(B)-1（Ｃ）１（Ｄ）３（４）設(shè)變量，滿足，則的最大值和最小值分別為（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１(5)在極坐標(biāo)系中，點到圓的圓心的距離為（A）2(B)(C)（D)（6）一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48(B)(C)(D)80(7)命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是（A）所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)（B）所有能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)（C）存在一個不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)（D）存在一個不能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)（8）設(shè)集合，則滿足且的集合為（A）57（B）56（C）49（D）8（9）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（A）（B）（C）（D）（10）函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，則m,n的值可能是（A）m=1,n=1（B）m=1,n=2（C）m=2,n=1（D）m=3,n=1第II卷（非選擇題共100分）考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.（11）如圖