2025屆江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得，即，則.故選：B.3.已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】由，得，而，因此，所以.故選：C.4.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，因為函數(shù)的奇函數(shù)，所以，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.故選：A.5.從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（）A.15 B.40 C.55 D.70【答案】C【解析】從8名學(xué)生中任選4名有種，沒有甲乙的選法有種，所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數(shù)為.故選：C.6.一個正四棱臺油槽可以裝汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面邊長分別為60cm和40cm，則它的深度為（）A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm【答案】B【解析】設(shè)四棱臺的高為，上底面的面積為，下底面的面積為，所以，解得：故選：B.7.當時，函數(shù)與的圖象有4個交點，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于A，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有2個交點，A不是；對于B，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有4個交點，B是；對于C，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有6個交點，C不是；對于D，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有8個交點，D不是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，且，當時，，則（）A.-7 B.25 C.57 D.102【答案】C【解析】，，.所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.的系數(shù)為10 B.第4項的二項式系數(shù)為10C.沒有常數(shù)項 D.各項系數(shù)的和為32【答案】BC【解析】展開式第項，，對A，令，即時，，的系數(shù)為，A錯；對B，第4項的二項式系數(shù)，B對；對C，因為，則展開式無常數(shù)項，C對；對D，時，各項系數(shù)和不是，則D錯，故選：BC.10.在長方體中，，，點P是底面上的一點，且平面，則（）A. B.平面C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，故，A正確；B選項，，所以與不垂直，則平面不成立，B錯誤；C選項，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，令得，，所以，因為平面，所以與垂直，即，故，，故當時，取得最小值，最小值為，C正確；D選項，由C選項，，即點在直線上，由勾股定理得，故四邊形為正方形，將矩形和等腰直角沿著折到同一平面內(nèi)，如圖，連接，與的交點即為使得最小的點，的最小值為，過點作⊥，交于點，故，由勾股定理得，D正確.故選：ACD.11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯誤；對于C，當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對于D，函數(shù)的圖象對稱軸為，當與關(guān)于直線對稱時，的最大值與最小值的差最小，此時，，當為偶數(shù)時，，而，當為奇數(shù)時，，而，最大值與最小值的差為1；當或時，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當或時均可取到等號，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如果隨機變量，且，那么________.【答案】【解析】由對稱性可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為5，所以，所以.13.如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形的弧上任取一點A，作扇形的內(nèi)接平行四邊形，使點B在上，點C在上，則該平行四邊形面積的最大值為________.【答案】【解析】過點分別作分別垂直于點，則，，又，所以，所以，所以平行四邊形的面積和長方形的面積相等，設(shè)，，則，，，所以，所以四邊形的面積，所以，因為，所以，故當即時，面積取得最大值為.14.已知函數(shù)，若，，則正整數(shù)a的最小值為______.【答案】5【解析】依題意，，當從大于0的方向趨近于0時，函數(shù)的值趨近于負無窮大，而當時，，則必有在上恒成立，于是且，則，，求導(dǎo)得，當時，，在上單調(diào)遞增，若，即時，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即不符合題意；當，即時，恒成立，則，令，，由恒成立，得，則，又，因此正整數(shù)，又當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，符合題意，所以正整數(shù)a的最小值為5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，求的值.解：（1）當時，，求導(dǎo)得，由，可得，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當時，有極大值為；當時，有極小值為.（2）由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得，，整理得，又，于是，則，解得，所以.16.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若四邊形內(nèi)接于圓O，，，求面積的最大值.解：（1）因為，所以，又因為在中，所以，所以，所以，所以，即.因為，所以.（2）法一：在中，，，所以，設(shè)，則.所以，，所以，因為，所以，所以，所以當，即時面積的最大值為.法二：在中，已知，所以，所以，所以，所以，（等號當時取得）所以面積的最大值為.法三：在四邊形的外接圓內(nèi)考慮，因為，，則，則的外接圓直徑為，是圓上動點，所以面積取最大值時高最大，即點到距離最大，此時最大距離為圓心到距離加半徑2，在直角三角形中可知，圓心到距離為，所以高的最大值為，所以面積的最大值為.17.銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.小明是一位數(shù)學(xué)愛好者，記得自己隨機用了的前6個數(shù)字（1，1，3，4，5，9）設(shè)置個人銀行儲蓄卡密碼.（1）求密碼中兩個1不相鄰的概率；（2）若密碼的前三位出現(xiàn)1的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，的前6個數(shù)字的不同排列有種，兩個1相鄰的有種，所以密碼中兩個1不相鄰的概率.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布為：012數(shù)學(xué)期望18.在四棱錐中，底面是梯形，，，平面平面，，.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）若線段上存在一點E，使得截面將四棱錐分成體積之比為的上下兩部分，求點P到截面的距離.（1）證明：取的中點，連，，由，，得四邊形為平行四邊形，由，得平行四邊形為矩形，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面.又平面，則，由，，得，由，，得，則，即，而，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由，，，平面，得平面，平面，則，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，即與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)截面交于，由，面，面，得平面，又平面，平面平面，則，依題意，，則，設(shè)，則，，，，到的距離，截面的面積為，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，取，得，則到平面的距離，于是，解得，所以點到截面的距離為.19.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域都為R，設(shè)直線：是曲線的任意一條切線，切點橫坐標為，若，當且僅當時“=”成立，則稱函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（1）判斷是否滿足“性質(zhì)”，并說明理由；（2）若f'x是單調(diào)增函數(shù)，證明：滿足“性質(zhì)”；（3）若函數(shù)滿足“性質(zhì)”，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）滿足“性質(zhì)”，理由如下：因為，設(shè)曲線的一條切線切點為，則直線的方程為：，因為，當且僅當時“”成立，由的任意性可知，滿足“性質(zhì)”.（2）設(shè)直線是曲線的任意一條切線，切點為，則直線的方程為：，設(shè)，則，因為是單調(diào)增函數(shù)，則當時，，遞減，；當時，，遞增，；即對任意，都有.由的任意性可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（3）①當時，因為，設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，由（2）可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.②下證當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.方法一：設(shè)直線與曲線切于點，則直線的方程為：，設(shè)，根據(jù)“性質(zhì)”的定義，要證不滿足“性質(zhì)”，只要證存在.因為，設(shè)，則，設(shè)，則遞增，且，所以當時，，遞減；當時，，遞增；因為，，所以存在，使得，且當時，，取，則當時，，遞減，即遞減，此時，，在上遞減，所以，所以當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.綜上，實數(shù)的取值范圍為.方法2：考慮曲線在處的切線.，導(dǎo)函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，所以時，，單調(diào)遞減，又，所以時，，單調(diào)遞減，又，所以時，，即不恒成立，所以當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.綜上，實數(shù)的取值范圍為.江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得，即，則.故選：B.3.已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】由，得，而，因此，所以.故選：C.4.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，因為函數(shù)的奇函數(shù)，所以，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.故選：A.5.從5名男生和3名女生中選出4人參加一項創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（）A.15 B.40 C.55 D.70【答案】C【解析】從8名學(xué)生中任選4名有種，沒有甲乙的選法有種，所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數(shù)為.故選：C.6.一個正四棱臺油槽可以裝汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面邊長分別為60cm和40cm，則它的深度為（）A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm【答案】B【解析】設(shè)四棱臺的高為，上底面的面積為，下底面的面積為，所以，解得：故選：B.7.當時，函數(shù)與的圖象有4個交點，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于A，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有2個交點，A不是；對于B，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有4個交點，B是；對于C，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有6個交點，C不是；對于D，當時，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，它們有8個交點，D不是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，且，當時，，則（）A.-7 B.25 C.57 D.102【答案】C【解析】，，.所以，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.的系數(shù)為10 B.第4項的二項式系數(shù)為10C.沒有常數(shù)項 D.各項系數(shù)的和為32【答案】BC【解析】展開式第項，，對A，令，即時，，的系數(shù)為，A錯；對B，第4項的二項式系數(shù)，B對；對C，因為，則展開式無常數(shù)項，C對；對D，時，各項系數(shù)和不是，則D錯，故選：BC.10.在長方體中，，，點P是底面上的一點，且平面，則（）A. B.平面C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，故，A正確；B選項，，所以與不垂直，則平面不成立，B錯誤；C選項，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，令得，，所以，因為平面，所以與垂直，即，故，，故當時，取得最小值，最小值為，C正確；D選項，由C選項，，即點在直線上，由勾股定理得，故四邊形為正方形，將矩形和等腰直角沿著折到同一平面內(nèi)，如圖，連接，與的交點即為使得最小的點，的最小值為，過點作⊥，交于點，故，由勾股定理得，D正確.故選：ACD.11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯誤；對于C，當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對于D，函數(shù)的圖象對稱軸為，當與關(guān)于直線對稱時，的最大值與最小值的差最小，此時，，當為偶數(shù)時，，而，當為奇數(shù)時，，而，最大值與最小值的差為1；當或時，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當或時均可取到等號，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如果隨機變量，且，那么________.【答案】【解析】由對稱性可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為5，所以，所以.13.如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形的弧上任取一點A，作扇形的內(nèi)接平行四邊形，使點B在上，點C在上，則該平行四邊形面積的最大值為________.【答案】【解析】過點分別作分別垂直于點，則，，又，所以，所以，所以平行四邊形的面積和長方形的面積相等，設(shè)，，則，，，所以，所以四邊形的面積，所以，因為，所以，故當即時，面積取得最大值為.14.已知函數(shù)，若，，則正整數(shù)a的最小值為______.【答案】5【解析】依題意，，當從大于0的方向趨近于0時，函數(shù)的值趨近于負無窮大，而當時，，則必有在上恒成立，于是且，則，，求導(dǎo)得，當時，，在上單調(diào)遞增，若，即時，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即不符合題意；當，即時，恒成立，則，令，，由恒成立，得，則，又，因此正整數(shù)，又當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，符合題意，所以正整數(shù)a的最小值為5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，求的值.解：（1）當時，，求導(dǎo)得，由，可得，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當時，有極大值為；當時，有極小值為.（2）由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得，，整理得，又，于是，則，解得，所以.16.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若四邊形內(nèi)接于圓O，，，求面積的最大值.解：（1）因為，所以，又因為在中，所以，所以，所以，所以，即.因為，所以.（2）法一：在中，，，所以，設(shè)，則.所以，，所以，因為，所以，所以，所以當，即時面積的最大值為.法二：在中，已知，所以，所以，所以，所以，（等號當時取得）所以面積的最大值為.法三：在四邊形的外接圓內(nèi)考慮，因為，，則，則的外接圓直徑為，是圓上動點，所以面積取最大值時高最大，即點到距離最大，此時最大距離為圓心到距離加半徑2，在直角三角形中可知，圓心到距離為，所以高的最大值為，所以面積的最大值為.17.銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.小明是一位數(shù)學(xué)愛好者，記得自己隨機用了的前6個數(shù)字（1，1，3，4，5，9）設(shè)置個人銀行儲蓄卡密碼.（1）求密碼中兩個1不相鄰的概率；（2）若密碼的前三位出現(xiàn)1的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，的前6個數(shù)字的不同排列有種，兩個1相鄰的有種，所以密碼中兩個1不相鄰的概率.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布為：012數(shù)學(xué)期望18.在四棱錐中，底面是梯形，，，平面平面，，.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）若線段上存在一點E，使得截面將四棱錐分成體積之比為的上下兩部分，求點P到截面的距離.（1）證明：取的中點，連，，由，，得四邊形為平行四邊形，由，得平行四邊形為矩形，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面.又平面，則，由，，得，由，，得，則，即，而，平面，因此平面，而平面，所以.（2）解：由，，，平面