2025屆江西省萍鄉(xiāng)市高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故選：C．2.已知集合，，若，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因為，所以，則，故選：B．3.已知直線，與平面滿足，，對于下列兩個命題：①“”是“”的充分不必要條件；②“”是“”的必要不充分條件.判斷正確的是（）A.①，②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①，②都是假命題【答案】A【解析】①若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故①是真命題；②若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故②是真命題．故選：A．4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，可排除BC；，可排除D.故選：A.5.已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，，所以．故選：D．6.已知平面向量，，，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量為．故選：D．7.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)恰有5個零點，所以方程有5個根．設，結合fx圖象可得至多有三根，則方程化為，此方程有兩個不等的實根，，結合的圖象可知，，，令，則由二次函數(shù)的零點的分布情況得：解得．故選:B．8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．若，且對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，可得，解得，所以，所以．當為偶數(shù)時，由，得，所以對任意的偶數(shù)成立，因為單調(diào)遞減，所以當時取最大值，故；當為奇數(shù)時，由，得，所以對任意的奇數(shù)成立，因為單調(diào)遞增，且當是無限接近于12，故．綜上所述，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為，所以指數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，故A錯誤；對于B，因為冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故B正確；對于C，因為，所以，，所以，故C正確；對于D，取，，可得，，不滿足，故D錯誤．故選：BC．10.若函數(shù)圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為，且圖像關于點中心對稱，將的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上有兩個極值點C.的圖像與的圖像關于直線對稱D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】由題知，的最小正周期為，所以，所以，又的圖像關于點對稱，所以，即，，因為，所以，故．令，解得，故在上單調(diào)遞減，故A正確；，令，得，，所以在區(qū)間上有兩個極值點和，故B正確；因為，，所以的圖像與的圖像不關于直線對稱，故C錯誤；，令，解得或，，故曲線在點處的切線斜率為，故切線方程為，即，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若的圖像關于直線對稱，則（）A.的圖像關于軸對稱B.的圖像關于原點對稱C.若恒成立，則或D.【答案】AD【解析】因為函數(shù)的定義域為，的圖像關于直線對稱，通過整體向右平移2個單位長度，所以關于對稱，為偶函數(shù)．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以是上的奇函數(shù)．對于A，由于，所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖像關于軸對稱，故A正確；對于B，，所以為偶函數(shù)，易知不恒成立，所以的圖像不關于原點對稱，故B錯誤；對于C，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C錯誤；對于D，令，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_____．【答案】【解析】（當且僅當，即，時取等號），，（當且僅當，時取等號），即的最小值為.13.用鐵水灌注上、下底面的邊長分別為和的正四棱臺工件，若其側面梯形的高為，則所需鐵水的體積為_____．（灌注過程中鐵水無額外損耗）【答案】【解析】如圖，在正四棱臺中，，，，，分別為側面上的高以及棱臺的高，則，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，過作，垂足為，則，所以，所以該正四棱臺的體積為，即所需鐵水的體積為．14.設，且，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，令，則，且，所以，因為是上的減函數(shù)，所以，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點．（1）證明：，，，四點共面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點，連接，，則，在正方體中，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點共面．（2）如圖，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接，，，則點在上．不妨設正方體的棱長為，則，，，，所以是的中點，所以，，所以是平面與平面的夾角．因為平面平面，所以，所以．16.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長；（2）求四邊形的面積．解：（1）因為，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以四邊形的面積為．17.已知首項為1的正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，記數(shù)列bn的前項和為，證明：．解：（1）因為，，且，所以，解得，當時，由，可得，兩式相減可得，所以，因為，所以，且，所以是首項和公差均為1的等差數(shù)列，即有．（2），所以，兩式相減得，所以，因為，所以．18.已知函數(shù)．（1）證明：的圖象與軸相切；（2）設．（i）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域為0,+∞，所以，令，解得，當時，f'x>0，單調(diào)遞增；當時，f'x<0又f1=0，所以曲線在1,f1處的切線方程為，即的圖象與軸相切．（2）（i），．當時，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，由，得函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增；當時，由，解得；由，解得，所以函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和1,+∞，減區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為0,+∞，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞，減區(qū)間為（0，1）．（ii）在1,+∞上恒成立可轉化為，設，則．令，則，所以函數(shù)φx在1,+又，，則函數(shù)φx在內(nèi)存在唯一的零點，當時，，h'x<0，h當x∈x0,+∞時，，h又，得，則，所以，即實數(shù)的取值范圍為．19.定義：多面體在點處離散曲率為，其中為多面體的一個頂點，（，且）為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面、平面、、平面和平面為多面體的所有以為公共點的面．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，．（1）求四棱錐在頂點處的離散曲率；（2）求四棱錐內(nèi)切球的表面積；（3）若是棱上的一個動點，求直線與平面所成角的取值范圍．解：（1）因為平面，平面，所以，因為，則．因為平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以，即，由離散曲率的定義得．（2）因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，設四棱錐表面積為，則．設四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，所以四棱錐內(nèi)切球的表面積．（3）如圖，過點作交于點，連接，因為平面，所以平面，則為直線與平面所成的角．易知，當與重合時，；當與不重合時，設，在中，由余弦定理得因為，所以，所以，則，所以．當分母最小時，最大，即最大，此時（與重合），由，得，即，所以的最大值為，所以直線與平面所成角的取值范圍為．江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故選：C．2.已知集合，，若，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因為，所以，則，故選：B．3.已知直線，與平面滿足，，對于下列兩個命題：①“”是“”的充分不必要條件；②“”是“”的必要不充分條件.判斷正確的是（）A.①，②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①，②都是假命題【答案】A【解析】①若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故①是真命題；②若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故②是真命題．故選：A．4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，可排除BC；，可排除D.故選：A.5.已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，，所以．故選：D．6.已知平面向量，，，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量為．故選：D．7.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)恰有5個零點，所以方程有5個根．設，結合fx圖象可得至多有三根，則方程化為，此方程有兩個不等的實根，，結合的圖象可知，，，令，則由二次函數(shù)的零點的分布情況得：解得．故選:B．8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．若，且對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，可得，解得，所以，所以．當為偶數(shù)時，由，得，所以對任意的偶數(shù)成立，因為單調(diào)遞減，所以當時取最大值，故；當為奇數(shù)時，由，得，所以對任意的奇數(shù)成立，因為單調(diào)遞增，且當是無限接近于12，故．綜上所述，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，因為，所以指數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，故A錯誤；對于B，因為冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故B正確；對于C，因為，所以，，所以，故C正確；對于D，取，，可得，，不滿足，故D錯誤．故選：BC．10.若函數(shù)圖像的兩相鄰對稱軸間的距離為，且圖像關于點中心對稱，將的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上有兩個極值點C.的圖像與的圖像關于直線對稱D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】由題知，的最小正周期為，所以，所以，又的圖像關于點對稱，所以，即，，因為，所以，故．令，解得，故在上單調(diào)遞減，故A正確；，令，得，，所以在區(qū)間上有兩個極值點和，故B正確；因為，，所以的圖像與的圖像不關于直線對稱，故C錯誤；，令，解得或，，故曲線在點處的切線斜率為，故切線方程為，即，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若的圖像關于直線對稱，則（）A.的圖像關于軸對稱B.的圖像關于原點對稱C.若恒成立，則或D.【答案】AD【解析】因為函數(shù)的定義域為，的圖像關于直線對稱，通過整體向右平移2個單位長度，所以關于對稱，為偶函數(shù)．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以是上的奇函數(shù)．對于A，由于，所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖像關于軸對稱，故A正確；對于B，，所以為偶函數(shù)，易知不恒成立，所以的圖像不關于原點對稱，故B錯誤；對于C，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C錯誤；對于D，令，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_____．【答案】【解析】（當且僅當，即，時取等號），，（當且僅當，時取等號），即的最小值為.13.用鐵水灌注上、下底面的邊長分別為和的正四棱臺工件，若其側面梯形的高為，則所需鐵水的體積為_____．（灌注過程中鐵水無額外損耗）【答案】【解析】如圖，在正四棱臺中，，，，，分別為側面上的高以及棱臺的高，則，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，過作，垂足為，則，所以，所以該正四棱臺的體積為，即所需鐵水的體積為．14.設，且，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，令，則，且，所以，因為是上的減函數(shù)，所以，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點．（1）證明：，，，四點共面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點，連接，，則，在正方體中，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點共面．（2）如圖，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接，，，則點在上．不妨設正方體的棱長為，則，，，，所以是的中點，所以，，所以是平面與平面的夾角．因為平面平面，所以，所以．16.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長；（2）求四邊形的面積．解：（1）因為，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以四邊形的面積為．17.已知首項為1的正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，記數(shù)列bn的前項和為，證明：．解：（1）因為，，且，所以，解得，當時，由，可得，兩式相減可得，所以，因為，所以，且，所以是首項和公差均為1的等差數(shù)列，即有．（2），所以，兩式相減得，所以，因為，所以．18.已知函數(shù)．（1）證明：的圖象與軸相切；（2）設．（i）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域為0,+∞，所以，令，解得，當時，f'x>0，單調(diào)遞增；當時，f'x<0又f1=0，所以曲線在1,f1處的切線方程為，即的圖象與軸相切．（2）（i），．當時，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在和