2025屆遼寧省三省一區(qū)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省三省一區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】因為，而，】故.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得.故選：A.3.命題“或”的否定形式是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】命題“或的否定形式是且.故選：A4.公差不為的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由題可知，，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.5.已知，則（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，即，所以或.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)定義域可知，，當(dāng)時，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點，即方程在時有解，所以，即在時有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.7.已知集合，集合，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可知，，若，則，若時，則.因為是的必要不充分條件，則集合是集合的真子集，顯然時成立，當(dāng)時，則，且這兩個不等號不能同時取到，故解得且，綜上所述：.故選：B.8.若曲線的一條切線為，則的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)切點，因為，所以，切線方程為，整理得，所以，設(shè)得，又因為時，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列四個條件中，能成為的充分條件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，若，則，是的充分條件，A正確；對于B，若，則，是的必要不充分條件，B錯誤；對于C，當(dāng)時，則，是充要條件，C正確；對于D，，則，即是的充分條件，D正確.故選：ACD.10.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且，記的前項積為，則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因為等比數(shù)列各項均為正數(shù)，所以公比，又，所以數(shù)列遞增或遞減或為常數(shù)列，化簡不等式，得，所以，所以一個大于，一個小于，所以有且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即，故A正確，B正確；又因為，所以，，所以C正確，D不正確.故選：ABC11.下列關(guān)于平面向量的命題，正確的是（）A.已知點在直線AB上，若點為直線AB所在平面內(nèi)任意一點，滿足，則B.向量在向量上投影向量為C.向量滿足，則D.若，則向量與向量共線【答案】BD【解析】對A：當(dāng)點在直線AB上時，和取值不確定，故A錯；對B：向量在向量上的投影向量的數(shù)量為，故向量在向量上的投影向量為，B正確；對C：向量共線時，和不唯一，故C錯；對D：若，則，所以有與共線，即或者，得到或者，所以共線，D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.滿足不等式的的集合為______；【答案】【解析】，得，即，故答案為：.13.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值集合為______；【答案】【解析】因為不等式在上恒成立，令可得，解得，若，則上恒成立，原不等式等價于在x∈0,+∞因為二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱性，當(dāng)，即時，則在上恒成立，符合題意；當(dāng)，即時，則，可知，符合題意；綜上所述：的取值集合為.故答案為：.14.已知函數(shù)有且只有一個零點，則______，若在內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】1【解析】由題，因，則.則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以.因為，當(dāng)時，，且只有一個零點，符合題意；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，又，則結(jié)合，則，使得，與已知矛盾；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則.構(gòu)造函數(shù)，則.,則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則，得在上遞減，則.又，所以，使得，與已知矛盾；綜上可知，．，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，由第一空分析可知，，設(shè)，則.設(shè)，則..得在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若是函數(shù)的一個正極大值點，且的最小值為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，求實數(shù)的取值集合.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)取到極大值，有，解得，當(dāng)時，取到最小正值，即，解得.（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，則，可得，由，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，又，所以和相差最小正周期的整數(shù)倍或者為極值點，根據(jù)周期范圍可得符合題意的有三種情況：（i），則；（ii），則；（iii），則.所以，的取值集合為.16.已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，其前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，其前項和為，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得：，，于是有，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，因此，.假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是50的正約數(shù)，又，則或25，50.當(dāng)時，即時，與矛盾，當(dāng)時，即時，，符合題意，當(dāng)時，即時，無解所以存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列，此時.17.已知中，點在邊BC上，且.（1）當(dāng)面積最大時，求值；（2）當(dāng)周長最大時，求的面積．解：（1）當(dāng)面積最大時，顯然，此時，所以；（2）設(shè)，因為，由余弦定理得：，化簡得：，設(shè)，得，化簡得，所以，解得，所以周長最大值為，此時，由余弦定理解得，所以，所以的面積為.18.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于中心對稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明：；（3）若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）解：（2）證明：的定義域為，設(shè)，，，得，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，所以；設(shè)，，得，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以；綜上所述，成立.（3）解：，設(shè)令，得當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，在時恒成立，下面證明當(dāng)時，在時不恒成立，，設(shè)，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，值域是，當(dāng)時，，使得，此時，，即在時不恒成立；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19.已知數(shù)列中，對，都有，設(shè)，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值．（1）數(shù)列為，滿足：，寫出的通項公式；（2）設(shè)為負整數(shù)，證明：的充要條件是數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（3）設(shè)函數(shù)，已知，求函數(shù)的值域.（1）解：由題意得：，當(dāng)時，，所以；（2）證明：充分性：若是公差為的等差數(shù)列，因為，所以是遞減數(shù)列，所以，必要性：若，假設(shè)是第一個使得的項，則，與矛盾，所以是遞減數(shù)列，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（3）解：因為，所以，且存在，使得，下面證明，假設(shè)中存在小于1的項，則設(shè)是第一個小于1的項，因為，所以，因為，所以時，，所以，則，與矛盾，所以，又因為，所以或，所以的值域是.遼寧省三省一區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】因為，而，】故.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得.故選：A.3.命題“或”的否定形式是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】命題“或的否定形式是且.故選：A4.公差不為的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由題可知，，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.5.已知，則（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，即，所以或.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)定義域可知，，當(dāng)時，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點，即方程在時有解，所以，即在時有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.7.已知集合，集合，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可知，，若，則，若時，則.因為是的必要不充分條件，則集合是集合的真子集，顯然時成立，當(dāng)時，則，且這兩個不等號不能同時取到，故解得且，綜上所述：.故選：B.8.若曲線的一條切線為，則的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)切點，因為，所以，切線方程為，整理得，所以，設(shè)得，又因為時，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列四個條件中，能成為的充分條件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，若，則，是的充分條件，A正確；對于B，若，則，是的必要不充分條件，B錯誤；對于C，當(dāng)時，則，是充要條件，C正確；對于D，，則，即是的充分條件，D正確.故選：ACD.10.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且，記的前項積為，則下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因為等比數(shù)列各項均為正數(shù)，所以公比，又，所以數(shù)列遞增或遞減或為常數(shù)列，化簡不等式，得，所以，所以一個大于，一個小于，所以有且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即，故A正確，B正確；又因為，所以，，所以C正確，D不正確.故選：ABC11.下列關(guān)于平面向量的命題，正確的是（）A.已知點在直線AB上，若點為直線AB所在平面內(nèi)任意一點，滿足，則B.向量在向量上投影向量為C.向量滿足，則D.若，則向量與向量共線【答案】BD【解析】對A：當(dāng)點在直線AB上時，和取值不確定，故A錯；對B：向量在向量上的投影向量的數(shù)量為，故向量在向量上的投影向量為，B正確；對C：向量共線時，和不唯一，故C錯；對D：若，則，所以有與共線，即或者，得到或者，所以共線，D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.滿足不等式的的集合為______；【答案】【解析】，得，即，故答案為：.13.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值集合為______；【答案】【解析】因為不等式在上恒成立，令可得，解得，若，則上恒成立，原不等式等價于在x∈0,+∞因為二次函數(shù)的圖像開口向上，對稱性，當(dāng)，即時，則在上恒成立，符合題意；當(dāng)，即時，則，可知，符合題意；綜上所述：的取值集合為.故答案為：.14.已知函數(shù)有且只有一個零點，則______，若在內(nèi)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】1【解析】由題，因，則.則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以.因為，當(dāng)時，，且只有一個零點，符合題意；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，又，則結(jié)合，則，使得，與已知矛盾；若，則，構(gòu)造函數(shù)，則.構(gòu)造函數(shù)，則.,則在是增函數(shù)，是減函數(shù)，則，得在上遞減，則.又，所以，使得，與已知矛盾；綜上可知，．，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，由第一空分析可知，，設(shè)，則.設(shè)，則..得在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，故，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若是函數(shù)的一個正極大值點，且的最小值為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，求實數(shù)的取值集合.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)取到極大值，有，解得，當(dāng)時，取到最小正值，即，解得.（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，則，可得，由，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，又，所以和相差最小正周期的整數(shù)倍或者為極值點，根據(jù)周期范圍可得符合題意的有三種情況：（i），則；（ii），則；（iii），則.所以，的取值集合為.16.已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，其前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，其前項和為，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得：，，于是有，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，因此，.假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得成等差數(shù)列，則，即，整理得，顯然是50的正約數(shù)，又，則或25，50.當(dāng)時，即時，與矛盾，當(dāng)時，即時，，符合題意，當(dāng)時，即時，無解所以存在正整數(shù)使得成等差數(shù)列，此時.17.已知中，點在邊BC上，且.（1）當(dāng)面積最大時，求值；（2）當(dāng)周長最大時，求的面積．解：（1）當(dāng)面積最大時，顯然，此