2025屆重慶市高三上學期11月期中調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市2025屆高三上學期11月期中調(diào)研測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，所以，故選：D3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對A：取，，，，此時，故A錯誤；對B：由，則，又，故，故B正確；對C：取，，，，此時，故C錯誤；對D：取，，，，此時，故D錯誤；故選：B.4.已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】由，則，故，即，則，又，故.故選：A.5.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.6.已知實數(shù)，且，若函數(shù)上存在零點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，易得在0,+∞上單調(diào)遞增，則需，與矛盾，故舍去，當時，易得在0,+∞上單調(diào)遞減，則需，，故A正確；由，則，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.7.設的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】由變形得，所以，得，所以是以B為頂角的等腰三角形，如圖，取中點D，所以，且在直角中，，所以故選：C8.已知實數(shù)a，b，c滿足：，，，則的最大值為（）A.6 B.9 C.10 D.15【答案】C【解析】由，則，又，則，由，則，故，即，則，則，則，，，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知p：“，是奇數(shù)”，q：“，是偶數(shù)”，則（）A.：，是偶數(shù)” B.：“，是偶數(shù)”C.：“，是奇數(shù)” D.：“，是奇數(shù)”【答案】BD【解析】由p：“，是奇數(shù)”，q：“，是偶數(shù)”，則：，是偶數(shù)”，：“，是奇數(shù)”，故B、D正確；A、C錯誤.故選：BD.10.已知等比數(shù)列的公比，其前n項和記為，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題意可得，即，故，對A：，故A正確；對B：，若為奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則，隨的增大而增大，故，故B正確；對C：，當為奇數(shù)時，，且隨的增大而減小，當為偶數(shù)時，，隨的增大而增大，則當時，有最大值，即，當時，有最小值，即，故C錯誤，D正確.故選：ABD.11.設，函數(shù)，則（）A.當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)B.點為函數(shù)圖象對稱中心C.存在，使得函數(shù)圖象關于直線對稱D.函數(shù)有三個零點的充要條件是【答案】BD【解析】易知，對于A，當時，可知恒成立，因此函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；對于B，由可得，即可得對于都滿足，所以點為y=fx圖象的對稱中心，可得B正確；對于C，若函數(shù)y=fx圖象關于直線對稱，則滿足，又，可得，‘整理，該方程無法對任意的恒成立，即C錯誤；對于D，由A選項可知當時，恒成立，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；所以，令，解得或，易知或時，f'x<0，當時，f'因此可得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即在和出分別取得極大值和極小值；若函數(shù)有三個零點，可得，解得；因此充分性成立；當時，可知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且極小值，極大值，由三次函數(shù)性質(zhì)可知此時有三個零點，即必要性成立，所以函數(shù)有三個零點的充要條件是，即D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面直角坐標系中，向量，單位向量滿足，則x的值可以是__________.（寫出一個正確結(jié)果即可）【答案】（或）【解析】由，則，即，即，即有，又，則，則.13.已知為定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則__________.【答案】【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得.14.已知函數(shù)，.若的零點恰為的零點，則a的最大值是__________.【答案】3【解析】設，顯然，集合A非空.當時，顯然，以下設，此時，.易知，當且僅當對任意的，有，即，故整數(shù)最大值為3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知非零等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記的前n項和為，求的最小值.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由可得，即，由可得，即，即有，化簡得，故或，則或，由數(shù)列為非零數(shù)列，故，，故；（2），故當時，有最小值.16.已知函數(shù).（1）討論的奇偶性；（2）若在上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）定義域為，，則，則當時，恒成立，故不可能為奇函數(shù)，，若恒成立，則有，即，此時為偶函數(shù)，綜上所述，當時，為偶函數(shù)，當時，為非奇非偶函數(shù)；（2）令，則，，當時，則，此時在上單調(diào)遞增，符合要求；當時，則，此時在上單調(diào)遞減，符合要求；當時，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故此時不符合要求；綜上所述，.17.中，已知，.（1）證明：；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由,則有，即即，即，故；（2）由，則，化簡得，即或，由，則，則，故，即，則由余弦定理可得，則，即，當且僅當時，等號成立，故，即面積的最大值為.18.已知函數(shù)（）.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，確定函數(shù)零點的個數(shù).解：（1）因為，，所以，當時，，，所以，，則曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)有兩個極值點，則有兩個不等正根，令，當時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，則至多只有一個極值點，不滿足題意；當時，令，得；令，得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當，即時，，即，則在上單調(diào)遞增，無極值點，不滿足題意；當時，，令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，故，即，則，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，從而，即，所以，從而存在，使得，又，所以存在，使得，此時有兩個極值點，滿足題意綜上，所以.（3）在（2）的條件下，設的兩個極值點為，且，則由（2）知，當或時，，即；當時，，即；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，即，所以，則，又，令，由（2）知，所以，即，所以，則，所以，所以在上沒有零點，在上有一個零點，即僅有一個零點.19.已知，表示不超過x的最大整數(shù)，如，，.（1）若，，，且是無窮數(shù)列，求的取值范圍；（2）記.①若，，，求；②設，，，證明：，使得時，.解：（1）若，則不存在，不符合題意，若，則，從而，符合題意，若，設，則不存在，不符合題意，綜上，.（2）①由題意知，且，從而，即，則，所以，由知為偶數(shù)，所以，則.②若，則，若，則，又，從而，且，使得，此時，對，得證.重慶市2025屆高三上學期11月期中調(diào)研測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，所以，故選：D3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對A：取，，，，此時，故A錯誤；對B：由，則，又，故，故B正確；對C：取，，，，此時，故C錯誤；對D：取，，，，此時，故D錯誤；故選：B.4.已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】由，則，故，即，則，又，故.故選：A.5.已知平面上的兩個非零向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故，則，又，故.故選：B.6.已知實數(shù)，且，若函數(shù)上存在零點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，易得在0,+∞上單調(diào)遞增，則需，與矛盾，故舍去，當時，易得在0,+∞上單調(diào)遞減，則需，，故A正確；由，則，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.7.設的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】由變形得，所以，得，所以是以B為頂角的等腰三角形，如圖，取中點D，所以，且在直角中，，所以故選：C8.已知實數(shù)a，b，c滿足：，，，則的最大值為（）A.6 B.9 C.10 D.15【答案】C【解析】由，則，又，則，由，則，故，即，則，則，則，，，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知p：“，是奇數(shù)”，q：“，是偶數(shù)”，則（）A.：，是偶數(shù)” B.：“，是偶數(shù)”C.：“，是奇數(shù)” D.：“，是奇數(shù)”【答案】BD【解析】由p：“，是奇數(shù)”，q：“，是偶數(shù)”，則：，是偶數(shù)”，：“，是奇數(shù)”，故B、D正確；A、C錯誤.故選：BD.10.已知等比數(shù)列的公比，其前n項和記為，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題意可得，即，故，對A：，故A正確；對B：，若為奇數(shù)，則，若為偶數(shù)，則，隨的增大而增大，故，故B正確；對C：，當為奇數(shù)時，，且隨的增大而減小，當為偶數(shù)時，，隨的增大而增大，則當時，有最大值，即，當時，有最小值，即，故C錯誤，D正確.故選：ABD.11.設，函數(shù)，則（）A.當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)B.點為函數(shù)圖象對稱中心C.存在，使得函數(shù)圖象關于直線對稱D.函數(shù)有三個零點的充要條件是【答案】BD【解析】易知，對于A，當時，可知恒成立，因此函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；對于B，由可得，即可得對于都滿足，所以點為y=fx圖象的對稱中心，可得B正確；對于C，若函數(shù)y=fx圖象關于直線對稱，則滿足，又，可得，‘整理，該方程無法對任意的恒成立，即C錯誤；對于D，由A選項可知當時，恒成立，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；所以，令，解得或，易知或時，f'x<0，當時，f'因此可得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即在和出分別取得極大值和極小值；若函數(shù)有三個零點，可得，解得；因此充分性成立；當時，可知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且極小值，極大值，由三次函數(shù)性質(zhì)可知此時有三個零點，即必要性成立，所以函數(shù)有三個零點的充要條件是，即D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面直角坐標系中，向量，單位向量滿足，則x的值可以是__________.（寫出一個正確結(jié)果即可）【答案】（或）【解析】由，則，即，即，即有，又，則，則.13.已知為定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則__________.【答案】【解析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得.14.已知函數(shù)，.若的零點恰為的零點，則a的最大值是__________.【答案】3【解析】設，顯然，集合A非空.當時，顯然，以下設，此時，.易知，當且僅當對任意的，有，即，故整數(shù)最大值為3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知非零等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記的前n項和為，求的最小值.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由可得，即，由可得，即，即有，化簡得，故或，則或，由數(shù)列為非零數(shù)列，故，，故；（2），故當時，有最小值.16.已知函數(shù).（1）討論的奇偶性；（2）若在上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）定義域為，，則，則當時，恒成立，故不可能為奇函數(shù)，，若恒成立，則有，即，此時為偶函數(shù)，綜上所述，當時，為偶函數(shù)，當時，為非奇非偶函數(shù)；（2）令，則，，當時，則，此時在上單調(diào)遞增，符合要求；當時，則，此時在上單調(diào)遞減，符合要求；當時，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故此時不符合要求；綜上所述，.17.中，已知，.（1）證明：；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由,則有，即即，即，故；（2）由，則，化簡得，即或，由，則，則，故，即，則由余弦定理可得，則，即，當且僅當時，等號成立，故，即面積的最大值為.18.已知函數(shù)（）.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，確定函數(shù)零點的個數(shù).解：（1）因為，，所以，當時，，，所以，，則曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)有兩個極值點，則有兩個不等正根，令，當時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，則至多只有一個極值點，不滿足題意；當時，令，得；令，得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當，即時，，即，則在上單調(diào)遞增，無極值點，不滿足題意；當時，，令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，故，即，則，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，從而，即，所以，從而存在，使得，又，所以存在，使得，此時有兩個極值點，滿足題意綜上，所以.（3）在（2