七年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題03 平行線中的拐點模型之牛角模型（原卷版）

專題03平行線中的拐點模型之牛角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（牛角模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3-∠2=180°【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點F，或延長EB交CD于點F等。例1．（2023·江蘇·七年級期中）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為例2．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）小明觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，則的度數(shù)是()

A． B． C． D．例3．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．例4．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．例5．（2023下·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知，E是平面內(nèi)一點，連接，．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點E在上方時，猜想，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，平分，連接，，若，，的度數(shù)．例6．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點在上，平分，交于點，探究的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長線于點，求的度數(shù)．例7．（2023·廣東七年級課時練習(xí)）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數(shù)學(xué)問題：如圖2，若，則_______________．課后專項訓(xùn)練1．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個直角三角板如圖擺放，其中，，，與交于點，與交于點，若，則的大小為()

A． B． C． D．2．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，于點，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，已知直線，，，則的度數(shù)為（

）

A．42° B．44° C．46° D．48°4．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，，，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）某人把“抖空竹”的一個姿勢抽象成數(shù)學(xué)問題．如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．6．（2023下·湖南常德·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線a，b被直線c，d所截，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·重慶九龍坡·七年級?？计谥校┤鐖D，，，，，則為()

A． B． C． D．8．（2023下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，點E為上方一點，、分別為，的角平分線，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．9．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，，，，則的度數(shù)為．

10．（2022下·西藏那曲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，則，，的關(guān)系是.

11．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）“抖空竹”是我國獨有的一項民族傳統(tǒng)健身項目，歷史悠久，源遠流長，在我國有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊．圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個瞬間，若將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，已知，，，則度．

12．（2023下·寧夏中衛(wèi)·七年級?？计谀┤鐖D所示，，那么°．

13．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，已知，點A在上，點B和D在上，點C在的延長線上，，，則的度數(shù)是．

14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，直線，有一個含的直角三角板的直角頂點A在直線上，若邊與直線的夾角，則邊與直線的夾角．

15．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，點在上，點在上，點在，之間，和的角平分線相交于點，的角平分線交的反向延長線于點，下列四個結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）直線，線段分別與，交于點，，過點作，交直線于點，的平分線交直線于點．若，則的度數(shù)是．17．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖所示，，，，求的度數(shù).18．（2023下·廣東廣州·七年級校考期中）如圖，已知直線，M、N分別是直線上的點．

(1)在圖①中，若，則．(2)在圖②中，請判斷之間的關(guān)系，并說明理由．(3)在圖③中，平分，平分，且，求．19．（2023下·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設(shè)運動時間為t秒．①當(dāng)射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當(dāng)直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝．20．（2022下·河南三門峽·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）“一條彩虹路，盡覽紅葉美，”澠池縣以打造最美旅游公路為重點，弘揚地域文化、彰顯仰韶特色．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個問題：如圖1，已知，，，求的度數(shù)．小明同學(xué)的思路：過點P作，點G在點P的左側(cè)，進而推出，由平行線的性質(zhì)來求，得______．（2）圖2、圖3均是由一塊直角三角尺和一把直尺拼成的圖形，，，與相交于點E，有一動點P在邊上運動，連接，，記，．①如圖2，當(dāng)點P在C，D兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點P在B，D兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由．

21．（2023下·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，的是兩根釘在木板上的平行木條，將一根橡皮筋固定在兩點上，是橡皮筋上一點，將橡皮筋拉緊后，隨意拉動點．(1)當(dāng)在平行木條中間時，請你探索之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(2)若將點拉至木條的上方，且E，A，C三點不共線．上述結(jié)論是否仍成立？若不成立，請?zhí)剿餍碌臄?shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)繼續(xù)將點拉至木條下方，且E，A，C三點不共線，你又能得出怎樣的結(jié)論？（直接寫出結(jié)論）

22．（2023下·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．23．（2023下·廣東汕頭·七年級?？计谥校┨剿鳎盒∶髟谘芯繑?shù)學(xué)問題：已知，AB和CD都不經(jīng)過點P，探索與、的