七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題06 三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型（解析版）

專題06三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·山西晉城·七年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖1的四邊形，這種形似飛鏢的四邊形，我們形象地稱它為“飛鏢圖”．它實(shí)際上就是凹四邊形，同學(xué)們通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和，即如圖1，．

“智慧小組”通過(guò)互學(xué)證明了這個(gè)結(jié)論：方法一：如圖2，連接，則在中，，即，又：在中，，∴，即．“創(chuàng)新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長(zhǎng)至F，∵和分別是和的一個(gè)外角，…………任務(wù)：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是______；(2)根據(jù)“創(chuàng)新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）(2)見解析【分析】（1）連接之后，構(gòu)成了三角形，從而利用三角形內(nèi)角和的基本性質(zhì)，由此填寫即可；（2）利用三角形的外角定理進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）故答案為：三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）（2）證明：如圖3，連接并延長(zhǎng)至F，∵和分別是和的一個(gè)外角，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及外角定理的應(yīng)用，理解并熟練運(yùn)用這些基本定理是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則．【答案】【分析】首先連接BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判斷出，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，判斷出；最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，用即可求出∠A的度數(shù).【詳解】如下圖所示，連接BC，∵，∴，∵，∴，∴，∵BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵，∴，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)角度的和差計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.例3．（2022秋·廣西八年級(jí)期中）如圖，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：延長(zhǎng)PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，根據(jù)PB、PC是角平分線得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A?∠D，代入即可求出∠P．法二：延長(zhǎng)DC，與AB交于點(diǎn)E．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入計(jì)算即可．【詳解】解：法一：延長(zhǎng)PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD?∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A?∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分線∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A?∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延長(zhǎng)DC，與AB交于點(diǎn)E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD?∠ABD＝58°．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°?（∠ACD?∠ABD）＝19°．故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過(guò)點(diǎn)作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即（幾何證明中后一問(wèn)常常要用到前一問(wèn)的結(jié)論）例5．（2023·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開了探究．小亮：已知，如圖三角形，點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，試探究與，，之間的關(guān)系．小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．（1）請(qǐng)你在橫線上補(bǔ)全小明的探究過(guò)程：∵，（______）∴，（等式性質(zhì)）∵，∴，∴．（______）（2）請(qǐng)你按照小麗的思路完成探究過(guò)程；（3）利用探究的結(jié)果，解決下列問(wèn)題：①如圖①，在凹四邊形中，，，求______；②如圖②，在凹四邊形中，與的角平分線交于點(diǎn)，，，則______；③如圖③，，的十等分線相交于點(diǎn)、、、…、，若，，則的度數(shù)為______；④如圖④，，的角平分線交于點(diǎn)，則，與之間的數(shù)量關(guān)系是______；⑤如圖⑤，，的角平分線交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【答案】（1）三角形內(nèi)角和180°；等量代換；（2）見解析；（3）①；②；③；④；⑤【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷，根據(jù)等量代換的概念即可判斷；（2）想要利用外角的性質(zhì)求解，就需要構(gòu)造外角，因此延長(zhǎng)交于，然后根據(jù)外角的性質(zhì)確定，，即可判斷與，，之間的關(guān)系；（3）①連接BC，然后根據(jù)（1）中結(jié)論，代入已知條件即可求解；②連接BC，然后根據(jù)（1）中結(jié)論，求得的和，進(jìn)而得到的和，然后根據(jù)角平分線求得的和，進(jìn)而求得，然后利用三角形內(nèi)角和定理，即可求解；③連接BC，首先求得，然后根據(jù)十等分線和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得到，然后得到的和，最后根據(jù)（1）中結(jié)論即可求解；④設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，首先利用根據(jù)外角的性質(zhì)將用兩種形式表示出來(lái)，然后得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，移項(xiàng)整理即可判斷；⑤根據(jù)（1）問(wèn)結(jié)論，得到的和，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到的和，然后利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵，（三角形內(nèi)角和180°）∴，（等式性質(zhì)）∵，∴，∴．（等量代換）故答案為：三角形內(nèi)角和180°；等量代換．（2）如圖，延長(zhǎng)交于，由三角形外角性質(zhì)可知，，，∴．（3）①如圖①所示，連接BC，，根據(jù)（1）中結(jié)論，得，∴，∴；②如圖②所示，連接BC，，根據(jù)（1）中結(jié)論，得，∴，∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴，,∴，∵，，∴，∴，∵，∴；③如圖③所示，連接BC，，根據(jù)（1）中結(jié)論，得，∵，，∴，∵與的十等分線交于點(diǎn)，∴，,∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；④如圖④所示，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，∵平分，平分，∴，，∵，，∴,∴,∴，即；⑤∵，的角平分線交于點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定量，外角的性質(zhì)，以及輔助線的做法，重點(diǎn)是觀察題干中的解題思路，然后注意角平分線的性質(zhì)，逐漸推到即可求解．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)處．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得到，再根據(jù)，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠B＝33°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1—∠2的度數(shù)是【答案】66°【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠B，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠B＝33°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+66°，∴∠1﹣∠2＝66°．故答案為：66°．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．例4．（2023春·甘肅天水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個(gè)不相鄰的外角．

(1)猜想并說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；（2）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)與的平分線，，，即可求的度數(shù)；（3）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線.進(jìn)而可以寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）猜想：，理由如下：∵，，∴，（2）∵，，，∴，∵、分別平分與，∴，，∴，∴，（3）、與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：∵、分別是四邊形外角、的角平分線，∴，，由(1)可知:，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角．例5．（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校┤切蝺?nèi)角和定理告訴我們：如圖①三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．(1)【定理推論】如圖②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．由平角的定義可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．(2)【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．①若∠A=80°，∠DBC=150°，則∠ACB=_____°;②若∠A=80°，則∠DBC+∠ECB=______°．(3)【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．①若∠A=80°，∠P=150°，則∠DBP+∠ECP=_____°；②分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點(diǎn)O，如圖⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之間的數(shù)量關(guān)系；③分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑥，若∠A=∠P，求證：．【答案】(1)(2)；(3)；；證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義可得結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式可得結(jié)論；②根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與三角形內(nèi)角和定理列式可得結(jié)論；（3）①連接AP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論可得等式，將兩個(gè)等式相加可得結(jié)論；②設(shè)∠DBO＝x，∠OCE＝y(tǒng)，則∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y(tǒng)，由①得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，即可得到結(jié)論；③延長(zhǎng)BP交CN于點(diǎn)Q，構(gòu)建三角形PQC，由①的結(jié)論得：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義，證明∠MBP＝∠PQC，可得結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B，故答案為：∠A+∠B；（2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°，故答案為：70；②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°，∵∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝260°，故答案為：260；（3）①連接AP，如圖，∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝230°，故答案為：230；②設(shè)∠DBO＝x，∠OCE＝y(tǒng)，則∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y(tǒng)，則：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P．∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案為：∠P＝∠A+100°；③證明：延長(zhǎng)BP交CN于點(diǎn)Q，如圖：∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，又∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP．∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)的推理及運(yùn)用，角平分線的定義，平行線的判定．根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．例6．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，則此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在邊上向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改變，．【分析】（1）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則對(duì)折后與重合，由（2）的結(jié)論可得：，可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（4）如圖，平分，平分，可得，，由對(duì)折可得：，，由（2）的結(jié)論可得：，即，證明，可得．【詳解】（1）結(jié)論：理由：連接，

沿折疊A和重合，∴∵，∴．（2）理由：連接，沿折疊A和重合，∴∵，∴；（3）如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則對(duì)折后與重合，

由（2）的結(jié)論可得：，而，，∴，∴，∵，∴；（4），理由見解析如圖，平分，平分，∴，，由對(duì)折可得：，，由（2）的結(jié)論可得：，即∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)并進(jìn)行解題是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可得，，可求，從而可求，由，，即可求解．【詳解】解：由翻折得：，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，中，，將沿折疊，使得點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)F處，若且，則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】平角的定義，求出的度數(shù)，翻折，得到，等邊對(duì)等角，得到，三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】解：∵中，，∴，∵將沿折疊，使得點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)F處，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，等邊對(duì)等角．解題關(guān)鍵是理清角度之間的等量關(guān)系．3．（2023·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到，，然后列式整理即可得解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得．在中，，在中，，∴，即．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠3【答案】D【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．根據(jù)外角的性質(zhì)，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，從而推出∠1+∠4=∠2-∠3【詳解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①，又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②，由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和外角，解題的關(guān)鍵是記住外角和定理．5．（2023·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期中）如圖，，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在中由三角形外角的性質(zhì)可求得，在中，利用三角形外角的性質(zhì)可求得．【詳解】解：∵是的一個(gè)外角，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義可得，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．7．（2023春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°【答案】B【分析】在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，結(jié)合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出結(jié)論．【詳解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝99°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)求出∠CDE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，折疊后的圖形如圖所示，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和，得，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，即，所以，．【詳解】解：∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，∵，∴，即．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和為，互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角之和為以及折疊的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．9．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是度．【答案】55/五十五【分析】延長(zhǎng)B'E，C'F，交于點(diǎn)D，依據(jù)∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)B'E，C'F，交于點(diǎn)D，由折疊可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D，又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°-110°=250°，∴四邊形AEDF中，∠A=（360°-250°）=55°，故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造四邊形，利用四邊形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算．10．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，，進(jìn)而求出，然后求出四邊形內(nèi)角和，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)得，，．∵，，∴，，∴，，∴．在四邊形中，.∴，即，∴，∴．故答案為：265．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等，確定各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2023·廣東·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖①∠1+∠2與∠B+∠C有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖①△ABC沿DE折疊，得到圖②，填空：∠1+∠2∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠B+∠C+∠1+∠2＝（3）如圖③，是由圖①的△ABC沿DE折疊得到的，猜想∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）∠1+∠2＝∠B+∠C；理由見解析；（2）＝；240°（3）∠BDA+∠CEA＝2∠A；理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可推得∠1+∠2與∠B+∠C的關(guān)系；（2）由折疊的性質(zhì)和（1）的結(jié)論可得∠1+∠2與∠B+∠C的關(guān)系；當(dāng)∠A＝60°時(shí)，先求出∠B+∠C的度數(shù)，再利用前者的結(jié)論即可得出答案；（3）如圖③，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于A′，利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論：∠BDA+∠CEA＝2∠A．【詳解】解：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角是180°，可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝∠B+∠C；（2）由折疊的性質(zhì)知：圖②的∠1+∠2就是圖①的∠1+∠2，而由（1）知：∠1+∠2＝∠B+∠C；∴在圖②中有∠1+∠2＝∠B+∠C；當(dāng)∠A＝60°時(shí)，∠B+∠C＝180°﹣∠A=120°，∴∠B+∠C+∠1+∠2＝120°×2＝240°；故答案為＝；240°（3）∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系為：∠BDA+∠CEA＝2∠A．理由如下：如圖③，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于A′，連接AA′．∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE，∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE，∴∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系為：∠BDA+∠CEA＝2∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.12．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，在中，，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的一條直線與直線、分別交于點(diǎn)、．(1)如圖1，，則______°．(2)如圖2，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系______．

【答案】(1)140(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理先求出，再根據(jù)，代入后得出，即可得出答案；（2）先求出，再得出，進(jìn)而可得出答案；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（2），證明：在中∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和180度是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)20(2)54(3)；理由見解析【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出、，即可得出，根據(jù)，，，即可得出答案；（2）根據(jù)翻折得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，在根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合解析（1）得出，，根據(jù)，，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，則、，∴，即，∵，，，∴，故答案為：20；（2）解：∵將沿，翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：；理由如下：如圖3，由（1）知，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，，∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．14．（2023·四川達(dá)州·中考模擬）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點(diǎn)F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為．已知，則度【答案】（1）①，②，③；【分析】（1）①由可得答案；②由且知，從而得，代入計(jì)算可得；③由，知，代入得，據(jù)此得出，代入可得答案；（2）由知，結(jié)合得，連接OC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可．【詳解】解：（1）①如圖2，在凹四邊形ABOC中，，在凹四邊形DOEF中，，②如圖3，，且，，；③如圖4，由題意知,則代入得解得：，；故答案為①；②；③（）；15.（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．（點(diǎn)A′在△ABC的內(nèi)部）.(1)如圖1，若∠A＝45°，則∠1+∠2＝°．(2)利用圖1，探索∠1，∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【答案】(1)90°(2)∠1+∠2＝2∠A，理由見解析(3)117°【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝90°；故答案為：90°．（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×54°＝117°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書