中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練-專題01 平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)概念（知識串講+12大考點(diǎn)）（全國版）解析版

專題01平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)概念考點(diǎn)類型知識一遍過（一）平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征（1）各象限點(diǎn)的特征：第一象限（+，+）；第二象限（—，+）；第三象限（一，一）；第四象限（+，一）．（2）特殊位置點(diǎn)的特征：若點(diǎn)P在x軸上，則b=0；若點(diǎn)P在y軸上，則a=0；若點(diǎn)P在一、三象限角平分線上，則a=b；若點(diǎn)P在二、四象限角平分線上，則a+b=0．（3）坐標(biāo)的對稱點(diǎn)特征點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P’（a，一b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P’（一a，b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P’（一a，一b）．（4）點(diǎn)P（a，b）、點(diǎn)M（c，d）坐標(biāo)關(guān)系變化①點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為．到原點(diǎn)的距離為．②將點(diǎn)P沿水平方向平移m（m>0）個(gè)單位后坐標(biāo)變化情況為：點(diǎn)P沿水平向右方向平移m（m>0）個(gè)單位后坐標(biāo)為（a+m，b）；點(diǎn)P沿水平向左方向平移m（m>0）個(gè)單位后坐標(biāo)為（a-m，b）；③將點(diǎn)P沿豎直方向平移n（n>0）個(gè)單位后坐標(biāo)變化情況為：點(diǎn)P沿豎直方向向上平移n（n>0）個(gè)單位后坐標(biāo)為（a，b+n）；點(diǎn)P沿豎直方向向下平移n（n>0）個(gè)單位后坐標(biāo)為（a，b-n）．④若直線PM平行x軸，則b=d；若直線PM平行y軸，則a=c；⑤點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離：PM=⑥線段PM的中點(diǎn)坐標(biāo)：（）（二）函數(shù)及自變量的取值范圍（1）常量與變量：在某一變化過程中，始終保持不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．（2）函數(shù)的定義：一般的，在某個(gè)變化過程中如果有兩個(gè)變量x、y，對于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么x是自變量，y是x的函數(shù)．（3）函數(shù)的表示方法：①解析式法；②圖象法；③列表法．（4）函數(shù)解析式（用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做解析式）與變自量的取值范圍：（5）描點(diǎn)法畫圖像的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線（6）函數(shù)自變量取值范圍①函數(shù)表達(dá)式是整式，自變量的取值是__全體實(shí)數(shù)__；②函數(shù)表達(dá)式是分式，自變量的取值要使得__分母不等于0__；③函數(shù)表達(dá)式是偶次根式，自變量的取值要使得__被開方數(shù)__為非負(fù)數(shù)；④來源于實(shí)際問題的函數(shù)，自變量的取值要使得實(shí)際問題有意義、式子有意義.函數(shù)的有關(guān)知識及其圖象：（三）函數(shù)圖像的分析與判斷分析實(shí)際問題判斷函數(shù)圖象的方法：①找起點(diǎn)：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應(yīng)到圖象中找對應(yīng)點(diǎn)；②找特殊點(diǎn)：即交點(diǎn)或轉(zhuǎn)折點(diǎn)，說明圖象在此點(diǎn)處將發(fā)生變化；③判斷圖象趨勢：判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.考點(diǎn)一遍過考點(diǎn)1：用坐標(biāo)表示位置典例1：（2022下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）象棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的益智游戲．如圖，是一局象棋殘局，已知表示棋子“馬”和“車”的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4,3，?2,1，則表示棋子“炮”的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A．3,3 B．3,2 C．0,3 D．1,3【答案】D【分析】根據(jù)棋子“馬”和“車”的點(diǎn)的坐標(biāo)可得出原點(diǎn)的位置，建立起平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵表示棋子“馬”和“車”的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4,3，?2,1，∴可得平面直角坐標(biāo)系如圖所示：

∴棋子“炮”的點(diǎn)的坐標(biāo)為：1,3．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023上·浙江嘉興·九年級?？奸_學(xué)考試）若正整數(shù)x，y滿足，x2?y2=64A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由平方差公式可知x2?y2=【詳解】解：∵x2?y∴x+y=32x?y=2或x+y=16解得x=17y=15或x=10∴滿足條件的正整數(shù)對x,y的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用、解二元一次方程組，應(yīng)明確兩整數(shù)之和與兩整數(shù)之積的奇偶性相同是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是某校的平面示意圖，圖中小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，每個(gè)主要位置恰好落在整格點(diǎn)，若實(shí)驗(yàn)樓的坐標(biāo)為?1,3，校門的坐標(biāo)為?6,0．則圖書館的坐標(biāo)是（

）

A．?3,?3 B．?2,?3 C．0,?3 D．1,?3【答案】B【分析】直接利用已知點(diǎn)坐標(biāo)得出原點(diǎn)位置，進(jìn)而建立平面直角坐標(biāo)系即可解答．【詳解】解：由實(shí)驗(yàn)樓的坐標(biāo)為?1,3，校門的坐標(biāo)為?6,0，可建立如圖所示坐標(biāo)系：

則圖書館的坐標(biāo)是?2,?3．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)位置并建立直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022下·湖北恩施·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若點(diǎn)A可表示為（2，30°），點(diǎn)B可表示為（3，150°），則點(diǎn)D可表示為（

）A．（4，75°） B．（75°，4） C．（4，90°） D．（4，60°）【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠AOD=∠BOD=60°，進(jìn)而得出∠DOC的度數(shù)，利用A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出2，4代表圓環(huán)上數(shù)字，角度是與CO邊的夾角，根據(jù)∠DOC的度數(shù)，以及所在圓環(huán)位置即可得出答案．【詳解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，∴∠AOB=120°，∵OD為∠BOA的平分線，∴∠AOD=∠BOD=60°，∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，∵A點(diǎn)可表示為（2，30°），B點(diǎn)可表示為（3，150°），∴D點(diǎn)可表示為：（4，90°）．故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A點(diǎn)，B點(diǎn)所表示的意義是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：求點(diǎn)的坐標(biāo)典例2：（2023上·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┤鐖D所示的象棋盤上，若“帥”位于點(diǎn)1,?3上，“相”位于點(diǎn)3,?3上，則“炮”位于點(diǎn)（）

A．?1,1 B．?1,2 C．?2,0 D．?2,2【答案】C【詳解】此題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)“帥”與“相”所在位置的坐標(biāo)可建立直角坐標(biāo)系，然后寫出“炮”所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)即可，解題的關(guān)鍵是正確理解平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)．【點(diǎn)睛】根據(jù)“帥”位于點(diǎn)1,?3上，“相”位于點(diǎn)3,?3上可建立如圖的直角坐標(biāo)系，

，∴“炮”位于點(diǎn)?2,0，故選：C．【變式1】（2023上·四川德陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3，且△ABD與△ABC全等，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）

A．?4,3 B．?4,2C．?4,2或?4,3 D．4,2或?4,2或?4,3【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中的軸對稱問題，根據(jù)對稱性分情況討論即可，掌握數(shù)形結(jié)合的思路是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)△ABD1≌△ABC時(shí)，△ABD和

∴點(diǎn)D1的坐標(biāo)是?4,3當(dāng)△ABD2≌△BAC，過D2作D△ABD2邊AB上的高D2G與△BAC的邊∴D2G=CH=4，∴OG=2，∴點(diǎn)D2的坐標(biāo)是?4當(dāng)△ABD3≌△BAC過△ABD3邊AB上的高D3G與△BAC的邊∴D3G=CH=4，∴OG=2，∴點(diǎn)D3的坐標(biāo)是4綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是D1?4,3，D2故選：D．【變式2】（2022下·上海嘉定·七年級校考期末）如圖，卡通形象“大白”深受大家喜愛，將“大白”放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果右眼B的坐標(biāo)是?3，3，那么這只“大白”的左眼A的坐標(biāo)是（A．?2，3 B．?3，4 C．【答案】C【分析】根據(jù)右眼B的坐標(biāo)是?3，3，向左平移一格即可得出點(diǎn)【詳解】解：∵B的坐標(biāo)是?3，3，左移1個(gè)單位得到點(diǎn)∴A?4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，從平移角度考慮點(diǎn)的坐標(biāo)更簡便．【變式3】（2022上·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中放置了一個(gè)面積為5的正方形，如圖所示，點(diǎn)B在y軸上，且坐標(biāo)是0,2，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A．2,1 B．3,1 C．1,3 D．1,2【答案】B【分析】如圖，作輔助線；證明△OBC≌△ECD，得到DE=OC，CE=OB；求出OC、OB的長度，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E；

∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，而∠BOC=90°，∴∠OBC+∠OCB=∠OCB+∠DCE，∴∠OBC=∠DCE；在△OBC與△ECD中，∠OBC=∠ECD∠BOC=∠CED∴△OBC≌△ECD(AAS∴DE=OC，CE=OB；由題意得：BC2=OB2∴OC=1，DE=1，CE=2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,1)．故選：B．【點(diǎn)睛】該題以平面直角坐標(biāo)系為載體，以坐標(biāo)與圖形的關(guān)系、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為考查的核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．考點(diǎn)3：判斷點(diǎn)所在的象限典例3：（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P?1,2023B．點(diǎn)M在第二象限，且到x軸和y軸的距離分別為4和3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為?4,3C．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Px,y位于坐標(biāo)軸上，那么D．已知點(diǎn)P?5,6，Q?3,6，則直線【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)所在的象限、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離、點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)所在的象限、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離、點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、點(diǎn)P?1,2023B、點(diǎn)M在第二象限，且到x軸和y軸的距離分別為4和3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為?3,4，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Px,y位于坐標(biāo)軸上，那么xy=0D、已知點(diǎn)P?5,6，Q?3,6，則直線故選：C．【變式1】（2023上·北京·九年級北京八中?？计谥校┮阎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖象，可以判斷開口方向，對稱軸的位置和拋物線與y軸交點(diǎn)位置，記憶方法：開口向下，a<0，開口向上，a>0，b的符號結(jié)合對稱軸位置即可判定，c的符號可直接讀?。驹斀狻坑深}可知，拋物線開口向下；∴a<0；∵對稱軸x=?b2a>0∴b>0；∵拋物線交y軸負(fù)半軸；∴c<0；∴a<0，bc<0；∴點(diǎn)(a,bc)位于第三象限；故選C【變式2】（2023上·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pa,b關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)Q?2,3，點(diǎn)P所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的軸對稱變換可得P2,3【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pa,b關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)Q∴P2,3又∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2>0，縱坐標(biāo)3>0，∴點(diǎn)P所在的象限是第一象限，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)所在的象限、點(diǎn)坐標(biāo)的軸對稱變換，熟練掌握點(diǎn)坐標(biāo)的軸對稱變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀c(diǎn)Ax,y滿足二元一次方程組x?2y=5x+4y=?13的解，則點(diǎn)A在第（A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】先解方程組，后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定位置即可．【詳解】∵x?2y=5x+4y=?13解得x=?1y=?3∴A?1,?3故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解方程組，點(diǎn)的坐標(biāo)與象限，熟練掌握解方程組，坐標(biāo)與象限的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：象限點(diǎn)的應(yīng)用——含參典例4：（2023上·安徽黃山·九年級統(tǒng)考期中）若拋物線y=?2x+m?12?3m+6的頂點(diǎn)在第二象限，則mA．m<1 B．m<2 C．m>1 D．1<m<2【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能夠熟練的利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，利用y=?2x+m?12?3m+6，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為1?m,?3m+6【詳解】解：∵y=?2x+m?1∴頂點(diǎn)為1?m,?3m+6，∴頂點(diǎn)在第二象限，∴1?m<0，?3m+6>0，∴1<m<2，故選：D．【變式1】（2023下·山東德州·七年級?？计谥校┮阎c(diǎn)M25?5a,9?3a在第四象限，化簡a?52+A．8 B．2a C．2 D．?2【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式組求出a的范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：25?5a＞∴3＜∴a?5＜∴原式=5?a+a?3=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練正確求出a的范圍，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2】（2023上·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┮阎c(diǎn)P2,?3與點(diǎn)Qx,y在同一條平行于y軸的直線上，且Q在第四象限，它到x軸的距離為5，則Q關(guān)于A．2,?5 B．2,5 C．?2,5 D．?2,?5【答案】D【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，根據(jù)平行于于y軸的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，得到x=2，再根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離以及點(diǎn)的象限特征，得到y(tǒng)=?5，最后利用關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)P2,?3與點(diǎn)Qx,y在同一條平行于∴x=2，∵Qx,y在第四象限，它到x∴y=?5，∴Q2,?5∴Q2,?5關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?5故選：D．【變式3】（2023上·廣東深圳·八年級深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校中學(xué)部?？计谥校┮阎狿點(diǎn)坐標(biāo)為(a,2a?6)，且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則a的值是（

）A．2 B．6 C．2或6 D．?2或?6【答案】C【分析】根據(jù)到兩坐標(biāo)軸的距離相等列出絕對值方程再解方程即可．【詳解】解：∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,2a?6)，且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴|a|=|2a?6|，∴a=2a?6或a=6?2a，解得：a=6或a=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題，列出絕對值方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：坐標(biāo)與圖形典例5：（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,?2，B2,?4，(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A(2)求△ABC的面積；(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。嫵鰣D形，不寫畫法．【答案】(1)畫圖見解析(2)5(3)畫圖見解析【分析】本題考查作圖—軸對稱變換，軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是：（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，（2）利用割補(bǔ)法列式計(jì)算；（3）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1，連接BA1交x軸于點(diǎn)P，連接PA【詳解】（1）解：如圖，△A（2）S△ABC（3）如圖，連接A1B，交x軸于點(diǎn)．【變式1】（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A(2)已知點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，若△ABP的面積為32，求點(diǎn)P(3)若△ABD是第一象限內(nèi)以AB為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1，0(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)3,2或1,3【分析】本題主要考查軸對稱變換，等腰直角三角形的判定，以及三角形的面積：（1）直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（2）先確定△ABP的高為1，根據(jù)面積為12，由三角形面積公式可得底邊長為3，從而可確定點(diǎn)P（3）先作出以AB為腰的等腰直角三角形，從而可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)【詳解】（1）如圖，△A（2）如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1，0或（3）如圖，點(diǎn)D的坐標(biāo)3,2或1,3【變式2】（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于P，Q兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．下圖中的P，Q兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?3,1)，①在點(diǎn)E(0,3)，F(xiàn)(3,?3)，G(2,?5)中，為點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”的是；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(m,m+6)，且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)若T1(?1,?k?3),T【答案】(1)①E、F；②(?3,3)(2)1或2【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，此題屬于閱讀理解類型題目，首先讀懂“等距點(diǎn)”的定義，而后根據(jù)概念解決問題，難度較大，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，培養(yǎng)了閱讀理解、遷移運(yùn)用的能力．（1）①找到x、y軸距離最大為3的點(diǎn)即可；②先分析出直線上的點(diǎn)到x、y軸距離中有3的點(diǎn)，再根據(jù)“等距點(diǎn)”概念進(jìn)行解答即可；（2）先分析出直線上的點(diǎn)到x、y軸距離中有4的點(diǎn)，再根據(jù)“等距點(diǎn)”概念進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）①∵點(diǎn)A(?3,1)到x、y軸的距離中最大值為3，∴與A點(diǎn)是“等距點(diǎn)”的點(diǎn)是E、F．②當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)中到x、y軸距離其中至少有一個(gè)為3的點(diǎn)有(3,9)、(?3,3)、(?9,?3)，這些點(diǎn)中與A符合“等距點(diǎn)”的是(?3,3)．故答案為①E、F；②(?3,3)；（2）T1①若4k?3≤4時(shí)，則4=?k?3或解得k=?7（舍去）或k=1．②若4k?3>4時(shí)，則解得k=2或k=0（舍去）．根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義知，k=1或k=2符合題意．即k的值是1或【變式3】（2023上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)分別是A0,5，B?5,3，(1)試在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B(2)在圖中作出點(diǎn)P，使PB+PC的值最小，且點(diǎn)P在y軸上．(3)已知點(diǎn)D?2a?1,3a+1，且直線BD∥y軸，求D【答案】(1)B1(2)見解析(3)D【分析】本題考查了坐標(biāo)的對稱及其作圖，線段和最小值的作圖，平行坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算，（1）根據(jù)橫不變，縱坐標(biāo)相反，確定對稱點(diǎn)，后依次連接即可．（2）作出點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M，連接CM，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．（3）根據(jù)直線BD∥y軸，得到?2a?1=?5，計(jì)算即可．【詳解】（1）∵A0,5，B?5,3，∴A10,?5，B1畫圖如下：則△A1B（2）∵A0,5，B?5,3，∴點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M5,3連接CM，交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（3）∵D?2a?1,3a+1，B?5,3，直線∴?2a?1=?5，解得a=2．故點(diǎn)D?5,7考點(diǎn)6：坐標(biāo)規(guī)律典例6：（2023上·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，有一系列有規(guī)律的點(diǎn)，它們分別是以O(shè)為頂點(diǎn)，邊長為正整數(shù)的正方形的頂點(diǎn)，A10，1、【答案】(7【分析】本題考查了規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)：通過特殊到一般解決此類問題，利用前面正方形的邊長與字母A的腳標(biāo)數(shù)之間的聯(lián)系尋找規(guī)律．根據(jù)已知條件得出坐標(biāo)之間每三個(gè)增加一次，找出第20個(gè)所在位置即可得出答案．【詳解】解：∵∴數(shù)據(jù)每隔三個(gè)增加一次，20÷3得6余2，故第20個(gè)數(shù)據(jù)坐標(biāo)一定有7，且正好是3個(gè)數(shù)據(jù)中中間那一個(gè)，依此規(guī)律，點(diǎn)A20的坐標(biāo)為(7故答案為：(7，【變式1】（2023下·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與坐標(biāo)軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點(diǎn)依次為A1，A2，A3，A4，…，則頂點(diǎn)【答案】（506，-506）【解析】略【變式2】（2023上·黑龍江佳木斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABCDEF的邊AB與y軸正半軸重合，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，AB=2，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，那么經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【答案】?3,2【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)引起的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及它在坐標(biāo)系中的位置，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律求出旋轉(zhuǎn)2023次后頂點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．【詳解】解：延長ED交x軸于點(diǎn)Q，如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=2，∴∠BCO=∠DCQ=30°，∴BO=DQ=1∴OC=QC=3∴OQ=OC+QC=23，EQ=ED+DQ=2+1=3∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為23將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,?23；第二次旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?23,?3，第三次旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3,23，第四次旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)由此可得點(diǎn)E每旋轉(zhuǎn)四次即回到原來位置，即四次一循環(huán)，2023÷4=505??3，所以，正六邊形經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3,23故答案為：?3,2【變式3】（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，彈性小球從P2,0出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第一次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第二次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2…；第n次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則【答案】0,2【分析】本題考查的是點(diǎn)的坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形變化-對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)分別寫出點(diǎn)P1的坐標(biāo)為、點(diǎn)P2的坐標(biāo)、點(diǎn)P3【詳解】由題意得，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為5,3點(diǎn)P2的坐標(biāo)為3,5點(diǎn)P3的坐標(biāo)為0,2點(diǎn)P4的坐標(biāo)為2,0點(diǎn)P5的坐標(biāo)為5,3∵2023÷4=505?3，∴點(diǎn)P2023的坐標(biāo)為0,2故答案為：0,2．考點(diǎn)7：函數(shù)的定義典例7：（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）下列是關(guān)于變量x，y的關(guān)系式：①4x?3y=2②y=x；③y=5x；④2x?y2=0.其中A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④【答案】B【解析】略【變式1】（2023上·安徽合肥·八年級合肥38中?？茧A段練習(xí)）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念即可解答．【詳解】解：由函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．則只有D選項(xiàng)符合題意故選：D．【點(diǎn)睛】題主要考查了函數(shù)的概念，在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一本的值與其對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)．【變式2】（2022上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）下列式子：①y=3x?5x②y=12③y=x?1④y2=x⑤y=x．其中A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)以下特征進(jìn)行判斷即可：①有兩個(gè)變量；②一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對應(yīng)，即單對應(yīng)．【詳解】解：①y=3x?5x，y是x的函數(shù)；②y=12，y不是③y=x?1，y是x④y2=x，當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，有兩個(gè)y值與之對應(yīng)，故y不是⑤y=x．y是x所以其中y是x的函數(shù)的個(gè)數(shù)是3，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022下·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)校聯(lián)考期中）彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y(cm)與所掛的物體的重量x(kg)間有下面的關(guān)系：x(kg)012345y(cm)1010.51111.51212.5下列說法不正確的是（

）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cmC．所掛物體質(zhì)量為7kg時(shí)，彈簧長度為13.5cm D．y與x的關(guān)系表達(dá)式是y=0.5x【答案】D【分析】由表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)x與y滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖表求出表達(dá)式，然后逐個(gè)分析四個(gè)選項(xiàng)，可得出最終結(jié)果．【詳解】∵根據(jù)圖表觀察x與y滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)y=kx+b，代入（0,10）和（2,11）兩點(diǎn)，得：b=102k+b=11解得：k=0.5b=10∴y與x的關(guān)系表達(dá)式是y=0.5x+10，A、y隨x的增加而增加，x是自變量，y是因變量，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；B、由圖表知，物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、由表達(dá)式知，當(dāng)x=7時(shí)，y=13.5，即所掛物體質(zhì)量為7kg時(shí)，彈簧長度為13.5cm，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、y與x的關(guān)系表達(dá)式是y=0.5x+10，D選項(xiàng)錯誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題，能夠根據(jù)所給的表進(jìn)行分析變量的值的變化情況，同時(shí)求出表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8：函數(shù)的關(guān)系式典例8：（2023下·天津?yàn)I海新·八年級統(tǒng)考期末）若點(diǎn)Px,0是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，它與x軸上表示3的點(diǎn)的距離是y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為(

A．y=x?3 B．y=3?x C．y=?x?3 D．y=【答案】D【分析】根據(jù)距離的非負(fù)性判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x?3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，距離的非負(fù)性，熟練掌握距離的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，已知BC=8，BC邊上的高線AD=5，動點(diǎn)C′由點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B移動（不與點(diǎn)B重合），設(shè)CC′的長為x，△ABC′的面積為S，則S

A．S=52x B．S=5x C．S=【答案】D【分析】首先設(shè)CC′的長為x，得出BC【詳解】解：設(shè)CC′的長為x，則BC∵S△AB∴s=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是讀懂題意，建立函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．【變式2】（2023下·福建廈門·八年級廈門市檳榔中學(xué)?？计谥校┮阎獌蓚€(gè)變量x和y，它們之間的三組對應(yīng)值如下表所示：x?202y31?1那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式可能是()A．y=?x+1 B．y=x2+x+1 C．y=1【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．表格中的三組x、y的對應(yīng)值均滿足y=?x+1，因此選項(xiàng)A符合題意；B．表格中x=0，y=1滿足y=x2+x+1，但x=?2C．表格中的三組x、y的對應(yīng)值均不滿足y=1D．表格中的三組x、y的對應(yīng)值均不滿足y=?2x，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)關(guān)系式，理解函數(shù)的定義以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．【變式3】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）油箱中存油40升，油從油箱中均勻流出，流速為0.2升/分鐘，剩余油量（升）與流出時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系是（）A．Q=0.2t B．Q=40?0.2t C．Q=0.2t+40 D．Q=0.2t?40【答案】B【分析】利用油箱中存油量減去流出油量等于剩余油量，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意得：流出油量是0.2t，則剩余油量：Q=40?0故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了列函數(shù)解析式，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．考點(diǎn)9：自變量的取值范圍典例9：（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=x+22的自變量x的取值范圍是【答案】x≥?2/?2≤x【分析】本題考查了函數(shù)的自變量、二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性求解即可得．【詳解】解：∵x+2≥0，∴x≥?2，即函數(shù)y=x+22的自變量x的取值范圍是故答案為：x≥?2．【變式1】（2023上·上海長寧·八年級上海市西延安中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=xx?3的定義域是【答案】x>3/3<x【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由y=x∴x?3>0，解得：x>3，故答案為：x>3．【變式2】（2022下·湖北武漢·九年級?？甲灾髡猩┮阎獃=x?10x+6，求自變量x【答案】x>?6且x≠1【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，零指數(shù)冪的底數(shù)不等于0列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：x?1≠0x+6>0解得：x>?6且x≠1，故答案為：x>?6且x≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，一般從三個(gè)方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，考慮被開方數(shù)為非負(fù)．【變式3】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)y=1?x+1x+2自變量【答案】?2<x≤1【分析】由分母不為0結(jié)合被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)可得{1?x≥0【詳解】解：由題意得：{1?x≥0由①得：x≤1,由②得：x>?2,所以不等式組的解集為：?2<x≤1.所以函數(shù)y=1?x+1x+2故答案為：?2<x≤1.【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握“求解函數(shù)自變量的取值范圍的方法”是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)10：函數(shù)值計(jì)算典例10：（2023上·安徽合肥·八年級合肥38中?？计谥校┪覀冇袝r(shí)會將關(guān)于x的函數(shù)表示為fx=x21+x2，其中f（1）就表示當(dāng)x=1時(shí)的函數(shù)值，即f1=12【答案】15/0.2【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，求函數(shù)值，求代數(shù)式的值；（1）將x=1（2）根據(jù)x=n和1n明確x=n和1n【詳解】f(==1故答案為：15（2）f(n)+f(====1，∴f1+f2+f(=f1==n?1故答案為：n?1【變式1】（2022上·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤绻鹒x=13【答案】?【分析】將x=4代入fx【詳解】解：∵fx∴f4故答案為：?3【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值、二次根式的分母有理化，熟練掌握求函數(shù)值的方法是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022上·浙江杭州·八年級?？计谥校┤艉瘮?shù)y=x2+3x≤44x(x>4)，則當(dāng)函數(shù)值y=20【答案】?17或【分析】將y=20分別代入函數(shù)解析式，求出x的值，然后根據(jù)取值范圍得出x的值．【詳解】解：當(dāng)x≤4時(shí)，則x2解得：x=±17，∵17>4∴x=?17當(dāng)x>4時(shí)，解得：x=5，符合題意，∴綜上所述：x=?17或x=5故答案為：?17或5【點(diǎn)睛】本題主要考查的是求解函數(shù)自變量值，屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)取值范圍確定自變量的值是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022上·安徽合肥·八年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=2x2+4(x≤3)3x(x>3)，當(dāng)函數(shù)自變量【答案】61或?1/?1或1【分析】根據(jù)函數(shù)自變量的范圍，將x=?1代入2x2+4，根據(jù)【詳解】解：當(dāng)函數(shù)自變量x=?1時(shí)，∵∴y=2當(dāng)x≤3時(shí)，y=6時(shí)，解得：x=1或x當(dāng)x>3，6=3x解得：∴x=1或x故答案為：40，1或?1．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)自變量的值或函數(shù)值，根據(jù)平方根的定義解方程，注意自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)11：實(shí)際問題與函數(shù)圖像典例11：（2022下·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）金魚公園是白銀市的主要城市公園，是白銀市市民和外來游客健身、休閑、娛樂的主要場所．周末小斌在這個(gè)公園里某筆直的道路上騎車游玩，先前進(jìn)了a千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回bb<a千米，再前進(jìn)c千米，則他離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的關(guān)系的示意圖是（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)前進(jìn)時(shí)離起點(diǎn)的距離s增加，休息時(shí)離起點(diǎn)的距離s不變，返回時(shí)離起點(diǎn)的距離s減少，再前進(jìn)時(shí)路程增加，即可求解．【詳解】解：由題意得，離起點(diǎn)的距離s先增加，然后不變，再減少，最后又增加，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象，理解題意，掌握路程與時(shí)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）小明和小張是鄰居，某天早晨，小明7：40先出發(fā)去學(xué)校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后來發(fā)現(xiàn)上學(xué)時(shí)間快到了，就跑步到學(xué)校；小張比小明晚出發(fā)5分鐘，乘公共汽車到學(xué)校．如圖是他們從家到學(xué)校已走的路程y（米）和小明所用時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)圖象．則下列說法中不正確的是（

）A．小張乘坐公共汽車后7：48與小明相遇B．小張到達(dá)學(xué)校時(shí)，小明距離學(xué)校400米C．小明家和學(xué)校距離1000米D．小明吃完早餐后，跑步到學(xué)校的速度為80米/分【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象中各拐點(diǎn)的實(shí)際意義求解可得．【詳解】解：A、小張乘公共汽車的速度為：1000÷15?5360÷100=3.6（分），故小張乘坐公共汽車后7點(diǎn)48分36秒與小明相遇，故此選項(xiàng)符合題意；B、小張到達(dá)學(xué)校時(shí)，小明距離學(xué)校1000?360?80×15?12C、由圖象可知，小明家和學(xué)校距離1000米，故此選項(xiàng)不符合題意；D、小明吃完早餐后，跑步到學(xué)校的速度為：1000?360÷故選：A．【變式2】（2022下·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）函數(shù)y=x?1的圖像大致是（A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)畫圖像的基本步驟，畫圖判斷即可．【詳解】∵函數(shù)y=x，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖像的畫法，熟練掌握畫圖像的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一段筆直的公路AC長20千米，途中有一處休息點(diǎn)B，AB長15千米，甲以15千米/時(shí)的速度勻速跑至點(diǎn)B，原地休息半小時(shí)后，再以10千米/小時(shí)的速度勻速跑至終點(diǎn)C；乙以12千米/時(shí)的速度勻速跑至終點(diǎn)C，下列選項(xiàng)中，能正確反映甲、乙兩人出發(fā)后2小時(shí)內(nèi)運(yùn)動路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別求出甲乙兩人到達(dá)C地的時(shí)間，再結(jié)合已知條件即可解決問題．【詳解】解；由題意得：甲跑到B地所花費(fèi)的時(shí)間為：15÷15=1h，甲在B地休息的時(shí)間為0.5h，甲從B地跑到C地花費(fèi)的時(shí)間為：20?15÷10=0.5乙跑到C地所花費(fèi)的時(shí)間為：20÷12=5由此可知正確的圖象是A，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象，路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意求出兩人到達(dá)C地的時(shí)間，屬于中考?？碱}型．考點(diǎn)12：動點(diǎn)問題典例12：（2023上·河北邢臺·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，邊長為42，∠A=45°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q沿射線BA的方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也立刻停止運(yùn)動，連接PQ．△APQ的面積為y，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為x(0≤x≤8)秒，則能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是（

A． B．C． D．【答案】