宜春市豐城市第九中學2024屆高三上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

第23頁/共23頁豐城九中2023-2024學年上學期高三月考數(shù)學試卷時量：120分滿分：150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解對數(shù)不等式求出，進而求出交集.【詳解】，解得，故，因為，所以.故選：D2.若虛部大于0的復數(shù)滿足方程，則復數(shù)的共軛復數(shù)為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題可知：，故，所以共軛復數(shù)為故選B3.古希臘數(shù)學家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）詳細地討論了無理數(shù)的理論，他通過圖來構(gòu)造無理數(shù)，，，，如圖，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中邊角關(guān)系和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】記，由圖知：，，，所以.故選：B.4.設(shè)向量與的夾角為θ，定義，已知，，則（）A. B. C.5 D.25【答案】C【解析】【分析】由，可得，以及向量與的夾角，結(jié)合題意可求得答案【詳解】因為，，所以，，即，所以向量與的夾角為，所以，故選：C5.血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學研究所研制的某種新藥進入了臨床試驗階段，經(jīng)檢測，當患者A給藥3小時的時候血藥濃度達到峰值，此后每經(jīng)過2小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（）A.11小時 B.13小時 C.17小時 D.19小時【答案】B【解析】【分析】利用題意，將給藥時間與檢測次數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，將給藥時間與患者血藥濃度轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，則利用數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】解：檢測第n次時，給藥時間為，則是以3為首項，2為公差的的等差數(shù)列，所以，設(shè)當給藥時間為小時的時候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項為a，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為，故選：B.6.對于一些不太容易比較大小的實數(shù)，我們常常用構(gòu)造函數(shù)的方法來進行，如，已知，，，要比較，，的大小，我們就可通過構(gòu)造函數(shù)來進行比較，通過計算，你認為下列關(guān)系正確的一項是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性，可得，即，化簡即可得答案．【詳解】令，則，當，即，，，所以，在上單調(diào)遞增，因為,所以有，即，所以有，即，所以有．故選：A．7.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，若在上有且僅有3個零點，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)在上有且僅有3個零點列不等式，從而求得的取值范圍，進而求得正確答案.【詳解】由圖可知，由于，所以，令，得，由得，依題意，在上有且僅有3個零點，故當取值最小時，有，解得，所以的最小值為.故選：A8.定義在上的不恒為零的偶函數(shù)滿足，且.則（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】D【解析】【分析】首先等式變形為，再結(jié)合以及偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求和.【詳解】由條件可知，，且，則，所以，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，則.故選：D.二、選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位:℃）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）:①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8.則肯定進入夏季的地區(qū)有（）A.一個都沒有 B.甲地C.乙地 D.丙地【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差的數(shù)字特征，逐個判定，即可求解.【詳解】①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，根據(jù)數(shù)據(jù)得出，家底連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為，其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22，可確定甲地進行夏季；②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24，當5數(shù)據(jù)為，可知其連續(xù)5天的日溫度有低于22，所以不確定；③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，若有低于22，假設(shè)取21，此時方程就超出了，可知其連續(xù)5天的日溫度均不低于22，如：，這組數(shù)據(jù)的均值為26，方差為，但是進一步擴大方差就會超過，所以可判定丙地進入夏季.故選：BD.10.點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，為切點，則（）A.存在點，使得B.弦長的最小值為C.點在以為直徑的圓上D.線段經(jīng)過一個定點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，設(shè)，根據(jù)得，，得，可得A不正確；對于B，根據(jù)四邊形面積關(guān)系列式求出，根據(jù)可求出，可得B正確；對于C，用以為直徑的圓的方程和圓相減得公共弦所在直線方程，可得定點坐標，可得D正確.【詳解】對于A，設(shè)，則，當且僅當時，等號成立，因為，，，，所以，所以，所以，故不存在點，使得，故A不正確；對于B，根據(jù)圓的對稱性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以.故B正確；對于C，因為，，所以既是直角三角形的外接圓的直徑，又是直角三角形的外接圓的直徑，所以點在以為直徑的圓上，故C正確；對于D，設(shè)，則的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因為是圓與圓的公共弦，所以直線的方程為：，當時，，所以直線：過定點，因為定點在圓內(nèi)，所以線段經(jīng)過定點，故D正確.故選：BCD11.如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中點．Q是棱上一動點（不包含端點），則（）A.與平面BPQ有可能平行B.與平面BPQ有可能平行C.三角形BPQ周長的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】對于A，當Q為的中點時，可證得四邊形為平行四邊形，則與互相平分于點，連接可證得∥，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論，對于B，由題意可得與平面BPQ相交，對于C，把沿展開與在同一平面（如圖），則當B，P，Q共線時，有最小值，從而可求得結(jié)果，對于D，，為定值，可得結(jié)論.【詳解】對于A，連接，當Q為的中點時，，因為，∥，∥，，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以與互相平分，設(shè)與交于點，連接，因為P是棱的中點，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面BPQ，故A正確；對于B，，又平面BPQ，BD與平面BPQ只能相交，所以與平面BPQ只能相交，故B錯；對于C，，把沿展開與同一平面（如圖），則當B，P，Q共線時，有最小值，在直角梯形中，，，，，則，所以，所以，所以三角形BPQ周長的最小值為，故C正確；對于D，，因為定值，因為∥，∥，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距離也為定值，所以為定值．所以D正確，故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線面平行的判定和棱錐體的求法，對于選項A解題的關(guān)鍵是證明四邊形為平行四邊形，從而可找到的中點，再利用三角形中位線定理可得線線平行，考查空間想象能力，屬于較難題.12.設(shè)正整數(shù)，其中.記，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的表達式，的表達式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式確定正確答案.【詳解】，所以，所以A選項正確.正整數(shù)，則，所以，所以B選項正確.，所以，所以C選項錯誤.，是首項為，公比為的數(shù)列的前項和，即，所以，所以D選項正確.故選：ABD【點睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】25【解析】【分析】把按照二項式定理展開，可得展開式中系數(shù)．【詳解】的展開式中的系數(shù)為，故答案為：2514.寫出一個同時具有下列兩個性質(zhì)的函數(shù)：______.①的值域為；②當時，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增且值域為，考慮反比例函數(shù)類型即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)同時滿足值域為且當時，，考慮，則且，再將函數(shù)向上平移兩個單位可得，則，且滿足題意.故答案為：15.雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】由圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義，可得關(guān)系式，，從而解出、，利用勾股定理可解.【詳解】內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因為，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故答案為：16.已知正四面體的外接球半徑為3，MN為其外接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體外接球球心為O，把用表示并計算數(shù)量積后可得．【詳解】設(shè)正四面體外接球球心為O，正四面體的外接球半徑為3，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為，一個面的面積為，高為，則，所以，顯然，所以，即．．故答案為：．四、解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求B.（2）是否存在，使得，若存在，求若不存在，說明理由.【答案】（1）或；（2）當時，存在，使得當時，不存在，使得【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用正弦定理化簡已知條件，對進行分類討論，進而求得.【詳解】（1）因，所以，可得或，即或，所以，又因為，所以或.（2）因為，所以.當時，，可得，所以，又因為，所以當時，，可得，所以，無解，綜上，當時，存在，使得當時，不存在，使得18.已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件最大整數(shù)n.【答案】（1）證明見解析（2）99【解析】【分析】（1）由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再由等比數(shù)列的求和公式可得，令，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】，，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）：，，，令，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，可得，所以滿足條件的最大整數(shù)為.19.如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點，與交于點O，將沿折起，使點D到達點P的位置（平面）.

（1）證明：平面平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點Q（不含端點），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明詳見解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）判斷出平面，由此建立空間直角坐標系，利用直線與平面所成角的正弦值確定點的坐標，進而求得三棱錐的體積.【小問1詳解】在原圖中，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.在反著過程中，保持不變，即保持不變，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以兩兩相互垂直，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以，即是的中點.由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，所以.20.已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；（2）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求得的最大值，進而得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導函數(shù)正負可確定單調(diào)性，進而得到，化簡后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)解析式可知，定義域為.（1），在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立令，則，在上單調(diào)遞增，，，解得：，的最大值為.（2）由（1）知：，則，在上單調(diào)遞增.，當時，，，此時，由零點存在定理可知，存在，使得，即，.當時，；當時，，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，（當且僅當，即時取等號）.當時，.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導數(shù)證明不等式的問題；根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立問題進行求解；證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.21.新高考數(shù)學試卷中有多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這四個選項，四個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.某次多項選擇題專項訓練中，共有道題，正確選項設(shè)計如下：第一題正確選項為兩個的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；若第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.（1）求第n題正確選項為兩個的概率；（2）請根據(jù)期望值來判斷：第二題是選一個選項還是選兩個選項，更能獲得較高分.【答案】（1）（2）第二題選一個選項更能獲得較高分【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得到第n題正確選項為兩個的概率與第題正確選項為兩個的概率之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式進行求解即可.（2）根據(jù)題中兩種選擇，結(jié)合數(shù)學期望公式、（1）中結(jié)論進行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)第n題正確選項為兩個的概率為，則，當時，有，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，顯然適合，故.【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)選一個選項的得分為，，，，因此，設(shè)選二個選項的得分為，，，，所以，因為，所以第二題選一個選項更能獲得較高分.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過概率公式得