（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第01課 一元二次不等式及基本不等式（原卷版）

第第頁第01課一元二次不等式及基本不等式一元二次不等式及簡單不等式的解法1、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2、由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))3、．簡單分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0【例1】設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．4【變式1-1】關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【變式1-2】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是()A．m>eq\f(1,4)B．m<eq\f(1,4)C．m<1D．m>1【變式1-3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集為________.方法總結(jié)：解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)計算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?).求出對應(yīng)的一元二次方程的根.(3)利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集考向二含參不等式的討論【例2】(1)解關(guān)于實數(shù)的不等式：．(2)解關(guān)于實數(shù)的不等式：．方法總結(jié)：含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進行分類討論.(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項系數(shù)是否為零，確定不等式是否是二次不等式，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；考向三恒成立問題【例3】若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)【變式3-1】設(shè)a為常數(shù)，對于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0，4)B.[0，4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)【變式3-2】設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為．【變式3-3】(多題)“關(guān)于x的不等式x2－2ax＋a＞0對?x∈R恒成立”的一個必要不充分條件是A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a＜eq\f(1,2)D．a(chǎn)≥0方法總結(jié)：1.一元二次不等式在R上恒成立的條件：不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤02.一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法：(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，若f(x)≥a恒成立，則f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，則f(x)max≤a，即n≤a.3.一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x范圍的方法：解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)，即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.基本不等式及應(yīng)用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2、幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．考向四運用基本不等式求函數(shù)的最值【例4】(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．(2)已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．(3)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．【變式4-1】已知x>1，則y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值為．【變式4-2】（多題）下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A．B．C．D．方法總結(jié)：(1)應(yīng)用基本不等式求值域一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．如果不滿足等號的成立條件就用函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊（或換元）出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．考向五基本不等式中1的運用【例5】若正數(shù)，滿足，則的最小值是（）A.B.C.D.【變式5-1】已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．【變式5-2】已知是正實數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．B．9C．D．2【變式5-3】正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項使得，則的最小值是（

）A．2B．C．D．不存在方法總結(jié)：(1)利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代換的方法可以求解形如【問題2】中的“已知兩正數(shù)之和為定值，求兩數(shù)倒數(shù)和的最值”或“已知兩正數(shù)倒數(shù)之和為定值，求兩正數(shù)和的最值”問題,是直接求解二元函數(shù)值域的一種方法．(3)解決問題時關(guān)注對已知條件和所求目標(biāo)函數(shù)式的變形，使問題轉(zhuǎn)化成可用“1”代換求解的模型考向六運用消參法解決不等式問題【例6】已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，則y的最大值為()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【變式6-1】已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是______．【變式6-2】已知，則_________．【變式6-3】已知，，，則的最小值為（

）A．13B．19C．21D．27【變式6-4】（多題）若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．方法總結(jié)：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值一元二次不等式及基本不等式隨堂檢測1.已知集合，則=A． B． C． D．2.若不等式的解集為，則二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為（）A.-1，-7B.0，-8C.1，-1D.1，-73.在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.B.C.D.4.已知，且，則的最小值為（

）A．B．C．D．5.下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A．B．C．D．6.（多題）已知實數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為16B．的最大值為9C．的最大值為9D．的最大值為7.已知不等式的解集