2023-2024學(xué)年北京某中學(xué)高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)診斷考試含解析

2023年北京第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)診斷考試含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.設(shè)了“）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xS呻（x）=2.->,則/3=

A.13B.一

1C.1D.3

參考答案：

A

略

2.在空間給出下面四個命題（其中m、n為不同的兩條直線，a、0為不同的兩個平面）

①m_La,n〃a?m±n

②m〃n,n〃a?m〃a

③m〃n,n±3,m〃a?a_LB

④mCln二A,m〃a,m〃B,n//a,n〃B?a〃B

其中正確的命題個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

參考答案：

C

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；平面與平面之間的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)線面垂直、線面平行的性質(zhì)，可判斷①；由m〃n,n〃a?m〃a或m?a可

判斷②；

③根據(jù)兩平行線中的一個垂直于平面，則另一個也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判

斷③

④由已知可得平面a,B都與直線m,n確定的平面平行，則可得a〃B,可判斷④

【解答】解：①由線面垂直及線面平行的性質(zhì)，可知m_La,n±a得巾〃儲故①正確；

②m〃n,n//a?m//a或口？a,故②錯誤

③根據(jù)線面垂直的性質(zhì)；兩平行線中的一個垂直于平面，則另一個也垂直于平面可知：若

m〃n,n±P,則m_LB,又小〃^!?。，。，故③正確

④由mAn=A,m//a,n//a,m//B,n〃B可得平面a,B都與直線m,n確定的五面

平行，則可得a〃B,故④正確

綜上知，正確的有①③④

故選C

【點評】本題的考點是間中直線一直線之間的位置關(guān)系，考查了線線平行與線線垂直的條

件，解題的關(guān)鍵是理解題意，有著較強(qiáng)的空間想像能力，推理判斷的能力，是高考中常見

題型，其特點是涉及到的知識點多，知識容量大.

/V2

2A-y=1(。>。力>0)

3.己知拋物線丁=4彳的準(zhǔn)線過雙曲線Jy'的左焦點且與雙曲線交于

3

A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，且AAOB的面積為5,則雙曲線的離心率為

3

A.2B.4C.3D.2

參考答案：

D

4.已知全集U二口|工>0},A/=(x|/<2x),則G"=

A.{”C2}B,{^\x>2}c,3x40或x22}D.

{x|0<x<2}

參考答案:

A

略

5.函數(shù)了㈤:1nx有兩個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍是

C.卜"）D.（TN）

參考答案：

B

6.如果數(shù)列SJ（4€R）對任意稼/WN*滿足/+.=%?%,且%=8,那么。10等于

（）

A.1024B.512

C.510D.256

參考答案：

A

7.如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體是體

積為（)

A.6C.12D.18

參考答案:

B

8.關(guān)于函數(shù)(XGR)的反函數(shù)，正確的

是)

J—4-2,x>0

小/"2"之。尸⑶

(A)有反函數(shù)

[V4-X>2.X<0(B)有反函數(shù)

廣⑶1場2.出。

(C)有反函數(shù)“Tin

(D)無反函數(shù)

參考答案:

B

anaIcosa=?ae(a?).

9.已知5'，則Eia=(

43

A,方

B.4

43

C.3D.彳

參考答案:

A

試題分析：由題設(shè)(sina+cosa)a=—,^J2sinacosa=--,i^(sioa-cosa)2=1+—=—,SrtA

25252525

7i?434

sina—cosa,與sioa+cosa=—聯(lián)IZ解之可得sina=—,cosa=——,故tana,應(yīng)選A.

55553

考點：同角三角函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用.

10.三棱錐P-ABC中,PA_L平面ABC,ACXBC,AC=BC=1,PA=5P,則該三棱錐外接球的

表面積為()

B.&

A.5”C.20”

D.4%

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三樓錐稱之為鱉嚅(bienao).已知

在鱉麻"-/6C中，心1平面加C,UA=AB=BC=2,則該鱉脯的外接球的表面積

為.

參考答案：

12M

12.不等式X2-5X+6^0的解集為.

參考答案；

{x|2<x<3)

由X2-5X+6W0,得*-9(X-2)M0,從而的不等式X2-5X+6《0的解集為

{x|2W3)

【點評】本題考查一元二次不等式的解法，考查簡單的運(yùn)算能力.

13.執(zhí)行右邊的程序框圖，若P=1°,則輸出的5=

開始~

/輸入p?7

參考答案:

81

由程序框圖可知該程序是計算$=1+3+…+（方一］）.當(dāng)P=10時，由月+1210得

(1+17)X9_

S=1+3+…+(2x97)---------ORI1

力29,所以所求的2

14,對于三次函數(shù)/⑶二一+我+cx+d（a*0）,給出定義設(shè)f（彳）是函數(shù)y=/㈤

的導(dǎo)數(shù)，廣⑶函數(shù)八力的導(dǎo)數(shù)，若方程/'?）=°有實數(shù)解%,則稱點（/J5））為

函數(shù)y二/?）的“拐點”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐

點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)

/(x)=-x5--+3彳一2

3212請你根據(jù)上面探究結(jié)昊，解答以下問題:

/(x)=-xJ--x3+3x--

(I)函數(shù)3212的對稱中心坐標(biāo)為

1、2、3、./,2012、

j(-----)?，(------)+j(-----)+…?J(------)

(2)計算2003201320132013=

參考答案:

(二.1)

對稱中心2......3分；20122分

略

a&Q馬cos(cv--)=—$in(--=--/,

15.若2,22,22,則8式仁+向的值等于_

參考答案：

,2

2

16.如圖，3。是半徑為2的圓。的直徑，點戶在3c的延長線上，刃是圓。的

切線，點力在直徑3c上的射影是OC的中點，則/觸尸二；

PBPC=

參考答案:

H12

6'"

點A在直徑BC上的射影E是0C的中點，可得々。？=6（7,所以N3F=30\在

RtLAOP^,AP=2出,所以由切割線定理可得做箕*=力2=（2回2=12。

3335J53

17.觀察下列等式：；p?2+3?6、1+2+3+4-10；...,根據(jù)上述規(guī)

律，第界個等式為.

參考答案：

口+2$+）2）1

2

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.某校為了了解A,B兩班學(xué)生寒假期間觀看《中國詩詞大會》的時長，分別從這兩個班

中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將他們觀看的時長（單位：小時）作為樣本，繪制成莖葉

圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.

（1）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學(xué)生平均觀看的時

間較長；

（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a,從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨

機(jī)抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b,求a>b的概率.

4班3班

90

41112

02156

13

參考答案:

【考點】莖葉圖.

【分析】（1）計算A、B班樣本數(shù)據(jù)的平均值，比較即可得出結(jié)論;

(2)由A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，

B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個；

利用列舉法求出從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個的基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概

率.

【解答】解：(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為5(9+11+14+2°+31)二”，

由此估計A班學(xué)生平均觀看時間大約為17小時；

B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為8(1：1+12+21+25+26)=",

由此估計B班學(xué)生平均觀看時間較長；

(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個,分別為：9,11,14；

B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b有3個，分別為：11,12,21：

從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個共有：9種不同情況，分別為：

(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),

(11,21),(14,11).(14,12),(14,21)；

其中a>b的情況有(14,11),(14,12)兩種，

_2

故a>b的概率為P=§.

19.(12分)

其

設(shè)A,8為曲線C：)=4上兩點，A與3的橫坐標(biāo)之和為4.

(1)求直線A8的斜率；

(2)設(shè)M為曲線。上一點，C在何處的切線與直線平行，且求直線A8

的方程.

參考答案：

(1)

設(shè)牛1M.夙1Tjj,

心口"彳=*=1

則!-4巧4

斗■/小

(2)設(shè)I4),則C在M處的切線斜率X~X?2

..”2

則43),又AM1BM,

LiV-i

工?A_QJ—

"2"2…"2

二a-2肛短)=乜口或仁"4_]

1616

即ygf卜”?。

又設(shè)AB：y=x+m

代入/1/

得/.也-仁一。

3+X,￥T=T?

-4m+8+20=0

.,?m=7

故AB：x+y=7

/(x)=(l+l)[l+ln(x+l)]

20.(本小題12分)已知函數(shù)x,設(shè)

g(x)=?/f(x)(x>0)

(1)是否存在唯一實數(shù)aw(九州+1),使得g(a)=O,若存在，求正整數(shù)m的值;

若不存在，說明理由。

(2)當(dāng)x>0時，/(x)>*恒成立，求正整數(shù)n的最大值。

參考答案:

解：⑴由"?'得gW=x-l-ln(x+l)(x>0),

則*1'因此g。)在(OR內(nèi)單調(diào)遞增。

4分

因為以2);l-E3<0,g(3)=2(l-ln2)>0,

即g(x)=0存在唯一的根ae(23),于是掰=2,6分

(2)由/*)>片得，且xe?"Ko)恒成立，由第(1)題知存在唯一的實

數(shù)ae(2?3),使得g(a)=O,且當(dāng)時，以力<0,/'(x)<0；當(dāng)x>a時，

g(x)>0J'(x)>0,因此當(dāng)x=?時，/(>)取得最小值

/⑷=(a+12MM"明

a....................9分

由g(a)=0,得aT-ln(a+l)=0,即1+Eg+l)=a,于是/(a)=a+l

又由得〃a)e(3,4),從而月43,故正整數(shù)n的最大值為3。12

分

21.黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一，為

堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點扶貧村扶貧.此幫扶單位為了了解某地區(qū)貧

困戶對其所提供的幫扶的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個貧困戶，得到貧困戶的滿意度評分如

下：

貧困戶貧困戶貧困戶貧困戶

評分評分評分評分

編號編號編號編號

178118821793193

273128622833278

381139523723375

492147624743481

595159725913584

685167826663677

779178827803781

8841?82288338/6

963197629743985

1086208930824089

用系統(tǒng)抽樣法從40名貧困戶中抽取容量為10的樣本，且在第?分段里隨機(jī)抽到的評分?jǐn)?shù)

據(jù)為92.

（1）請你列出抽到的10個樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)；

（2）計算所抽到的10個洋本的均值G和方差

（3）在（2）條件下，若貧困戶的滿意度評分在（了一品竟之間，則滿意度等級為X

級”.運(yùn)用樣本估計總體的思想，現(xiàn)從（I）中抽到的10個樣本的滿意度為“級”貧困戶中

隨機(jī)地抽取2戶，求所抽到2戶的滿意度均評分均“超過80”的概率.

（參考數(shù)據(jù)：麻”5.他、33，5.7<05“5力）

參考答案：

3

（1）92,84,86,78,89,74,83,78,77,89；（2）83,33；（3）10.

【分析】

（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)貝I，第一組編號為4,則隨后第九組編號為4號好-1）,即可確定

系統(tǒng)抽抽取的樣木編號，從而得到對應(yīng)的樣木的評分?jǐn)?shù)據(jù).

（2）利用平均數(shù)公式以及方差公式即可求得.

（3）先確定樣本中符合月級的人數(shù)以及A級的人當(dāng)中80分以上的人數(shù)，利用古典概型公

式即可求出對應(yīng)概率.

【詳解】(1)通過系統(tǒng)抽抽取的樣本編號為：4,8,12,16,20,24,28,32,36,40

則樣本的評分?jǐn)?shù)據(jù)為:92.84,86,78,89,74,83,78,77,89.

(2)由(1)中的樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)可得

x=—(92+84+86+78+89+74+83f78+77189)^83

10,則有

10

所以均值工=83，方差一-33.

⑶由題意知評分在⑻-后用+⑶)即(7726.的74)之間滿意度等級為2級”，

由(1)中容量為10的樣本評分在0726,8879之間有5人，

從5人中選2人共有10種情況，而80-分以上有3人，

從這3人選2人共有3種情況，

P-A

故10

【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣，平均數(shù)和方差的計算以及古典概型，屬于中檔題.

遮

22.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2,且經(jīng)過點M(4,1),直線

1：y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B.

(I)求橢圓的方程；

(II)求m的取值范圍；

(III)若直線1不過點M,求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.

參考答案：

解：(I)設(shè)橢圓的方程為a,b2,

_V3

???橢圓的離心率為°-2,

.*.a2=4b:1,

又???M(4,1),

o十一1--+=1

???&-,解得苗:5,窿20,故橢圓方程為205.…(4分)

22

y_=1

(II)將y=x+m代入205一，并整理得

5x2+8mx+4m2-20=0,

;直線1：y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B

/.△=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得?5VmV5.…(7分)

(HI)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為一和k2,只要證明ki+k2=0.

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y：),

+__8m二4m2-20

根據(jù)(I1)中的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得：叼町一9'盯n一一—.

__--

y!1y21(yt1)(x2-4)+(y21)(x「4)

kl+k2+

-X1*4X2-4~(x1-4)(x2~

上式的分子一(Xi+m-1)(x>-4)+(x#m-1)(x1-4)

=2x1X2+(m-5)(X1+X2)-8(m-1)

2(4W2-20)8m(m-5)0,

-------------------------8(in-1)=0A

二55

所以ki+k2=0,得直線MA,MB的傾斜角互補(bǔ)

???直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.…(12分)

考點：直線與圓錐曲線的淙合問題.

專題：計算題；壓軸題.

立

分析：(I)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的離心率為2,得出a2=4b)再根據(jù)M：4,

1)在橢圓上,解方程組得b?=5,a2=20,從而得出橢圓的方程;

(II)因為直線1：y=x+ir交橢圓于不同的兩點A,B,可將直線方程與橢圓方程消去y得

到關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根，從而△>(),解得-5<mV5；

(ITT)設(shè)出A(X.,y.),B(x2,y2),對(II)的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系得：

+二—題二4m2-20