2009年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，則【】A．,B．,C.,D.,2．對于非零向量“”是“”的【】A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件3．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則等于【】A．B．C.D.4．如圖1，當(dāng)參數(shù)時，連續(xù)函數(shù)的圖像分別對應(yīng)曲線和,則【】A．B．C．D．5．從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為【】A．85B．56C．49D．286．已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓在區(qū)域D內(nèi)的弧長為【】A．B．C．D．7．正方體的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個數(shù)為【】A．2B．3C．4D．58．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)。若對任意的，恒有，則【】A．K的最大值為2B．K的最小值為2C．K的最大值為1D．K的最小值為1二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上9．某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛兵乓球運(yùn)動，8人對這兩項運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為___.10．在的展開式中，的系數(shù)為___(用數(shù)字作答).11．若，則的最小值為.12．已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中有一個內(nèi)角為，則雙曲線C的離心率為13．一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為。14．在半徑為13的球面上有A,B,C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為；（2）過Ａ，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角（銳角）的正切值為.15．將正分割成個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點(diǎn)各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點(diǎn)A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為，則有，，…，.三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小17．（本小題滿分12分）為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類.這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，.現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項目參與建設(shè)。（I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；（II）記為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。18．（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且（I）證明：平面平面；（II）求直線和平面所成角的正弦值。19．（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素.記余下工程的費(fèi)用為萬元。（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)=640米時，需新建多少個橋墩才能使最?。?0．（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。21．（本小題滿分13分）對于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有,則稱數(shù)列為數(shù)列.（Ⅰ）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷；A組：①數(shù)列是B-數(shù)列,②數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：③數(shù)列是B-數(shù)列,④數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。2009年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及全解全析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（09湖南理）若，，則【D】A．,B．,C.,D.,解:由,，易知D正確.2．（09湖南理）對于非零向量“”是“”的【A】A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件解:，；反之不成立，故選A.3．（09湖南理）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則等于【D】A．B．C.D.解:依題意得，，易知D正確.4．（09湖南理）如圖1，當(dāng)參數(shù)時，連續(xù)函數(shù)的圖像分別對應(yīng)曲線和,則【B】A．B．C．D．解:易知，故可排除C,D,再取特殊值，結(jié)合圖像可得，故選B.5．（09湖南理）從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選3個人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為【C】A．85B．56C．49D．28解:除開丙，由間接法得，故選C.6．（09湖南理）已知D是由不等式組所確定的平面區(qū)域，則圓在區(qū)域D內(nèi)的弧長為【B】A．B．C．D．解:作圖，由，故弧長為，選B.7．（09湖南理）正方體的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個數(shù)為【C】A．2B．3C．4D．5解:如圖，用列舉法知合要求的點(diǎn)的個數(shù)為：的點(diǎn)E、的點(diǎn)F、、D，共4個，故選C.8．（09湖南理）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)。若對任意的，恒有，則【D】A．K的最大值為2B．K的最小值為2C．K的最大值為1D．K的最小值為1解:由恒成立知,故K有最小值，可排除A,C,又由直覺思維得在時，，排除B,因此選D.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.9．（09湖南理）某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛兵乓球運(yùn)動，8人對這兩項運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為_12__.解:設(shè)所求人數(shù)為，則只喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為，故.注：最好作出韋恩圖！或由人.10．（09湖南理）在的展開式中，的系數(shù)為__7__(用數(shù)字作答).解:故有：，得的系數(shù)為7.11．（09湖南理）若，則的最小值為.解:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.12．（09湖南理）已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個內(nèi)角為，則雙曲線C的離心率為.解:設(shè)雙曲線C的左右焦點(diǎn)為，虛軸的上下兩個端點(diǎn)為，由于故,則有,,13．（09湖南理）一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為40。解:設(shè)B層中的個體數(shù)為，則，則總體中的個體數(shù)為14．（09湖南理）在半徑為13的球面上有A,B,C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為12；（2）過Ａ，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角（銳角）的正切值為3.解:由AB=6，BC=8，CA=10得是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，（1）設(shè)斜邊AC的中點(diǎn)為,則，故;（2）作,則，故15．（09湖南理）將正分割成個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點(diǎn)各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點(diǎn)A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為，則有，，…，.解:若依題意頂點(diǎn)A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1，按等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計算則顯然運(yùn)算量較大,故常規(guī)思維不可?。】善厝,B,C處的數(shù)均為（極限法）來思考：則圖2中有個，得；故圖3中有個，得；易知時有個，探討數(shù)列（可參考2006湖南卷:逆序數(shù)）由疊加法推知:個,三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（09湖南理）（本小題滿分12分）在中，已知，求角A，B，C的大小.解：設(shè).由得，所以.又因此.由得，于是.所以，，因此，既.由知，所以，從而或，既或故或。17．（09湖南理）（本小題滿分12分）為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類.這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，.現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項目參與建設(shè)。（I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；（II）記為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。解:記第名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且（Ⅰ）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率 P=（Ⅱ）解法1：設(shè)3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知，B（3，），且=3-。所以P（=0）=P（=3）==，P（=1）=P（=2）==，P（=2）=P（=1）==，P（=3）=P（=0）==.故的分布列是0123P的數(shù)學(xué)期望E=+++=2.解法2:記第名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件，i=1,2,3.由已知，相互獨(dú)立，且P（）=（）=P（）+P（）=+=，所以,即，故的分布列是0123P18．（09湖南理）（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且.（I）證明：平面平面；（II）求直線和平面所成角的正弦值。解：（I）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A，所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面.（2）解法1：如圖所示，設(shè)F是AB的中點(diǎn)，連接DF，DC，CF.由正三棱柱的性質(zhì)及D是的中點(diǎn)知，CD，DF.又CDDF=D，所以平面CDF.而AB∥，所以AB平面CDF.又AB平面ABC，故平面ABC平面CDF。過點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面ABC。連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=AA，不妨設(shè)AA=，則AB=2，DF=，DC=，CF=，AD==，DH===.所以sinHAD==。即直線AD和平面ABC所成角的正弦值為.解法2：如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)，B（，0，0），C（0，1，），D（，，）。易知=(，1，0)，=(0，2，)，=(，，）.設(shè)平面ABC的法向量為,則有解得故可取.所以，==。由此即知，直線AD和平面ABC所成角的正弦值為。

19．（09湖南理）（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素.記余下工程的費(fèi)用為萬元。（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)=640米時，需新建多少個橋墩才能使最?。拷猓海á瘢┰O(shè)需新建個橋墩，則，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64.當(dāng)0<<64時，<0，在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時，>0.在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù).所以在=64處取得最小值，此時故需新建9個橋墩才能使最小。20．（09湖南理）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和.（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由題設(shè)，，即.……①當(dāng)x>2時，由①得……②化簡得當(dāng)時，由①得……③化簡得.故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1.（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時，由②知.……④當(dāng)點(diǎn)P在上時，由③知.……⑤若直線的斜率k存在，則直線的方程為.（ⅰ）當(dāng)k≤，或k≥，即k≤或k≥時，直線與軌跡C的兩個交點(diǎn)都在上，此時由④知，從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-）+（6-）=12-(+).由得.則，是這個方程的兩根，所以+=，∣MN∣=12-（+）=12-.因為當(dāng)所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。（ⅱ）當(dāng)時，直線與軌跡C的兩個交點(diǎn)分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則由④⑤知，.設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E，所以。而點(diǎn)A，E都在上，且由（?。?/p>