《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程實(shí)施大綱1

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程實(shí)施大綱

目錄

1.教學(xué)理念.............................................................3

2.課程描述.............................................................5

2.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用.......................5

2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢............................................5

3.教師簡介............................................錯誤!未定義書簽。

4.先修課程..............................................................6

5.課程目標(biāo).............................................................6

6.課程內(nèi)容.............................................................6

6.1知識模塊及對學(xué)生要求.............................................7

6.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法......................................7

6.3、課程的難點(diǎn)及解決辦法..........................錯誤!未定義書簽。

7.課程教學(xué)實(shí)施..........................................................8

8.學(xué)生課程要求.......................................................143

8.1學(xué)生自學(xué)的要求.................................................143

8.2課外閱讀的要求.................................................143

8.3課堂討論的要求.................................................143

8.4課程實(shí)踐的要求.................................................143

9.課程考核方式及評分規(guī)程.............................................144

9.1出勤（遲到、早退等）、作業(yè)、報(bào)告等的要求......................144

9.2成績的構(gòu)成與評分規(guī)則說明.......................................144

9.3考試形式及說明（含補(bǔ)考）.......................................144

10.學(xué)術(shù)誠信規(guī)定......................................................145

10.1考試違規(guī)與作弊................................................145

10.2杜撰數(shù)據(jù)、信息等..............................................146

10.3學(xué)術(shù)剽竊等....................................................146

11.課堂規(guī)范..........................................................146

11.1課堂紀(jì)律.......................................................146

H.2課堂禮儀.......................................................147

12.課程資源..........................................................148

12.1教材與參考書..................................................148

12.2專業(yè)學(xué)術(shù)專著..................................................148

12.3專業(yè)刊物......................................................148

12.4網(wǎng)絡(luò)課程資源..................................................148

12.5夕卜I^J149

13.其他必要說明（或建議）...........................................150

14.學(xué)術(shù)合作備忘錄（契約）...........................................151

14.1閱讀課程實(shí)施大綱，理解其內(nèi)容.................................151

14.2同意遵守課程實(shí)施大綱中闡述的標(biāo)準(zhǔn)和期望.......................151

1.教學(xué)理念

從我國的社會主義教育的任務(wù)和教育方針出發(fā)。為我樹立正確的教育價(jià)值觀指明

了方向：（1）要完成科學(xué)知識的講授和社會經(jīng)驗(yàn)的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育。（2）要發(fā)

展學(xué)生的智能，使學(xué)生形成能力，掌握個(gè)人生存和為社會服務(wù)的本領(lǐng)。（3）要重視

學(xué)生操作能力、動于能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)，在理論和實(shí)踐結(jié)合上掌握知識，學(xué)習(xí)

技術(shù)，習(xí)得方法。（4）課堂中要適當(dāng)對學(xué)生進(jìn)行思想教育，逐步使學(xué)生樹立E確的

世界觀、科學(xué)的人生觀、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹立與市場經(jīng)濟(jì)相適應(yīng)的

思想和品格。上述四個(gè)方面的要求作為自己行為的教學(xué)的選取目標(biāo)和原則

學(xué)生通過學(xué)習(xí)，掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論與方法。

通過教師的教學(xué)，學(xué)生要獲得的具體的進(jìn)步和發(fā)展，學(xué)生的進(jìn)步和發(fā)展是衡量

課堂教學(xué)有效性的唯一尺度。每堂課上完，教師應(yīng)該布置作業(yè)，以檢查教學(xué)的有效

性。

教師應(yīng)該首先選取適當(dāng)?shù)慕滩?，結(jié)合我們學(xué)校學(xué)生實(shí)際情況，又和具它高校的

教材有所區(qū)別。我認(rèn)為，對我們學(xué)校的學(xué)生，其學(xué)習(xí)重點(diǎn)不是理論的論證和推導(dǎo)，

而是公式的應(yīng)用和實(shí)踐，應(yīng)選取則重點(diǎn)方法講解和例題演算的教材。選擇好了教材

后，教學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的講解還要取舍，還要參考別的教材，教學(xué)中突出層次性和實(shí)

踐性。

復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)應(yīng)該使大家在學(xué)習(xí)和掌握該課程的基本理論與方法

的基礎(chǔ)上，對后繼課程的學(xué)習(xí)、對提高分析問題和解決問題的能力有所幫助；

其次，教師的教學(xué)不是只求學(xué)生以學(xué)到知識為目標(biāo)，而是希望大家能夠做到

會學(xué)習(xí)、會研究、會應(yīng)用、會思考、會創(chuàng)造，在本科階段完全做到這五個(gè)

方面難免有些苛刻，我們希望我們的教學(xué)能盡量向這五個(gè)方向靠攏，或者能夠?yàn)?/p>

學(xué)生向這方面發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；再次，使學(xué)生不僅了解復(fù)變函數(shù)與積分變換

的科學(xué)知識，還要在學(xué)法上得到某種啟示，將核心放在思路、方法、能力的培

養(yǎng)上，將教學(xué)過程變成一種研究創(chuàng)造的過程，不是簡單的傳輸；最后，鼓勵學(xué)

生積極主動地參與教學(xué)活動，不由老師牽著走，敢于懷疑、研究、創(chuàng)造?？?/p>

之，教師的教學(xué)應(yīng)該盡量做到使學(xué)生不僅掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本概念和基

本理論，而且要掌握該課程在現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用情況，培養(yǎng)學(xué)生一定的實(shí)

踐能力和創(chuàng)新能力。

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是一門理論性和應(yīng)用性都很強(qiáng)的課程。為了搞好本課程

的教學(xué)，課程組在重視傳統(tǒng)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，采取多種方式提高學(xué)生主動學(xué)習(xí)的

積極性，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力，達(dá)到深化理論學(xué)習(xí)，提高應(yīng)用能力的目的。

在教學(xué)過程中，主要有以下幾種教學(xué)方法與手段。

1、注重理論背景和思想方法。復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)容的改革在理論研究的同

時(shí)，要兼顧到應(yīng)用，研究的主要內(nèi)容、特色、體系結(jié)構(gòu)和所要解決的主要問題都要

圍繞有利于學(xué)生的發(fā)展來進(jìn)行。在課堂教學(xué)中，特別強(qiáng)調(diào)理論的應(yīng)用性，盡量減少

對理論的推導(dǎo)證明，但是要求學(xué)生必須了解它的思想和方法。

2、加強(qiáng)與實(shí)際問題聯(lián)系的方法。在講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的一些理論時(shí)，結(jié)

合實(shí)際問題，使學(xué)生真正感受到課程的一些理論與方法的應(yīng)用，充分調(diào)動學(xué)習(xí)的積

極性。如在講Cauchy積分公式時(shí)，讓學(xué)生思考如何測得地心的溫度這一問題，如

果能測得地球表面各點(diǎn)的溫度，則可利用Cauchy積分公式來測得地心的溫度；講

共形映射時(shí)，指出許多地質(zhì)測量等工程技術(shù)人員利月該原理來處理一些不規(guī)則圖形,

如把扇形變換為矩形，而保持各采點(diǎn)的性質(zhì)不變等。

3、采用類比式教學(xué)方法。在教學(xué)過程中注重類比引導(dǎo)，深刻理解復(fù)變函數(shù)與數(shù)

學(xué)分析（或等數(shù)學(xué)）的區(qū)別與聯(lián)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。例

如，在復(fù)變函數(shù)的講授中，引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)變函數(shù)中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概

念與數(shù)學(xué)分析（或等數(shù)學(xué)）中函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念進(jìn)行比較，找出相同

點(diǎn)與不同點(diǎn)，這樣有利于學(xué)生的理解和記憶。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在比較中自己思考，

進(jìn)而得出自己的一些結(jié)論。

4、主體與客體雙向交流的教學(xué)方法。在教學(xué)活動中，多注重學(xué)生主體的意識，尋

找適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)或興奮點(diǎn)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，以便較好的實(shí)現(xiàn)教學(xué)的

目的。在強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主的同時(shí)，也必須加強(qiáng)教師在教學(xué)活動中的主導(dǎo)作用。以教

師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，教與學(xué)的關(guān)系是以學(xué)為主，教服務(wù)于學(xué)，啟發(fā)于學(xué)，促進(jìn)

于學(xué)，只有雙方互動起來，才能搞好教與學(xué)。如在介紹解析函數(shù)的概念時(shí)，教師可稍

加引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生歸納出函數(shù)的解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系，進(jìn)一步加深對柯西一黎曼

方程作用的理解。

5、傳統(tǒng)的教學(xué)手段與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合。在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的

教學(xué)中，我們對教學(xué)模式進(jìn)行了改革，注重現(xiàn)代教育技術(shù)的使用。采用多媒體課件

和傳統(tǒng)的教學(xué)手段相結(jié)合的教學(xué)模式，并把數(shù)學(xué)軟件（如Matlab）輔助教學(xué)的教學(xué)

模式靈活地應(yīng)用到課程的教學(xué)中。利用Matlab求解問題具有規(guī)范、簡潔、靈活等特

點(diǎn)；大大簡化了數(shù)學(xué)問題的求解過程，便于求解一些實(shí)際應(yīng)用中較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問

題；對于理解掌握《復(fù)變函數(shù)與積分變換》理論知識也具有一定的輔助作用。通過

運(yùn)用這些教學(xué)模式講授課程，不僅可以傳授更多新的教學(xué)內(nèi)容，而且可以展示出本

課程更豐富的數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象，以達(dá)到數(shù)學(xué)、物理兩方面的有機(jī)結(jié)合和相互融合，同

時(shí)也提高了課堂的教學(xué)效率。

6、嚴(yán)格日常管理，探索考核方式。課程組有嚴(yán)格的管理制度，包括教師備課、

教案書寫制度，作業(yè)批改記錄制度，教師聽課制度等。教師認(rèn)真填寫教學(xué)日歷，按

照教學(xué)日歷上課，課程組定期組織教學(xué)方法討論，及時(shí)交流討論教學(xué)內(nèi)容?？己说?/p>

方式影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。我們在考核方式上積極探索，試行參照學(xué)生平時(shí)的實(shí)

踐學(xué)習(xí)情況，并且把學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)討論中的積極性、創(chuàng)新性等也融入到考核中，

進(jìn)一步加強(qiáng)《復(fù)變函數(shù)和積分變換》應(yīng)用能力的培養(yǎng)

2.課程描述

2.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用

復(fù)變函數(shù)與積分變換是微積分的后續(xù)課程，是機(jī)電類專業(yè)必修的基礎(chǔ)

課，它在電路理論、信號與系統(tǒng)、通信工程、自動控制等多門專業(yè)課中有

著廣泛的應(yīng)用。該課程不僅為后繼課程的學(xué)習(xí)提供進(jìn)一步的知識和有效工

具,而且該課程的教學(xué)還擔(dān)負(fù)著鍛煉和提高學(xué)生的思能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

的任務(wù)。通過本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換中的

基本理論和方法，為學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課程及實(shí)際應(yīng)用提供必要的數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)，擴(kuò)大學(xué)生繼高等數(shù)學(xué)之后相關(guān)課程的知識面，也是培養(yǎng)學(xué)生推理、

歸納、演繹和創(chuàng)新能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分

變換的知識解決本專業(yè)實(shí)際問題的能力的一門很好的課程，因此學(xué)好

這門課程對學(xué)生來說是非常要的。

2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢

微分方程數(shù)值解法在數(shù)值分析中占有重要的地位，它以逼近論、數(shù)值代數(shù)等學(xué)

科為基礎(chǔ)，反過來又推動這些學(xué)科向前發(fā)展。微分方程數(shù)值解法在科學(xué)計(jì)算、工程

技術(shù)等領(lǐng)域有極其廣泛的應(yīng)用。自上世紀(jì)40年代，它已經(jīng)發(fā)展成一門龐大的計(jì)算

技術(shù)學(xué)科，并早已列為原來計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。1998年高校專

業(yè)目錄有了調(diào)整，原計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)更名為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，教學(xué)計(jì)劃和內(nèi)容也

有些改變。微分方程數(shù)值解法這門課程出現(xiàn)了新的進(jìn)展。

2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性

“復(fù)變函數(shù)”是“高等數(shù)學(xué)”在復(fù)數(shù)域的推廣，它的先修課程是“高等數(shù)

學(xué)”。高等數(shù)學(xué)中的重要概念，如導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等，在

本課程中都有相應(yīng)的定義，但又顯示出新的特點(diǎn)及運(yùn)算方法。

學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)需要高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)的的知識基礎(chǔ)；同時(shí)，復(fù)變函數(shù)

的知識又能進(jìn)一步加深對已學(xué)過的高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識的理解。

所謂積分變換，就是通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)更為簡單

且易于處理的函數(shù)。它以復(fù)變函數(shù)的知識為基礎(chǔ)，且兩者關(guān)系密切。

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，它的后續(xù)課程

是電子信息專業(yè)的相關(guān)專業(yè)課程。它與電子技術(shù)，自動控制等課程有密

切的聯(lián)系，是解決諸如電磁學(xué)、熱學(xué)、振動學(xué)、彈性理論、頻譜分

析的有力工具。

通過本課程的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們初步掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本

理論和方法，為學(xué)習(xí)工程力學(xué)、電工學(xué)，電磁學(xué)、振動力學(xué)、電子技術(shù)

等課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

4.先修課程

學(xué)習(xí)本課程的基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)，數(shù)學(xué)物理方程等

5.課程目標(biāo)

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程既是一門理論基礎(chǔ)課程，又是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力

的工具。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生不僅學(xué)到有關(guān)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且通

過對實(shí)際問題的具體分析，引導(dǎo)學(xué)生從純數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變到數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的緊密

結(jié)合，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際物理問題。

課程目標(biāo)是通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與枳分變換的基礎(chǔ)理論和方

法，為學(xué)習(xí)有關(guān)后繼課程和解決實(shí)際問題奠定必要的基礎(chǔ)；使學(xué)生熟悉基本概念和

定理的幾何背景和實(shí)際應(yīng)用背景，強(qiáng)調(diào)對課程內(nèi)容知識的本質(zhì)理解和實(shí)際工程應(yīng)用；

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高其數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生以后從事各項(xiàng)工作服務(wù)地方奠

定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

6.課程內(nèi)容

本課程的內(nèi)容分為兩部分第一部分由第一至第五章組成，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)

知識。討論了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相互關(guān)系，其主要研究對象是解析函數(shù)。重點(diǎn)內(nèi)容是復(fù)

變函數(shù)積分的各種計(jì)算；柯西(Cauchy)定理、柯西(Cauchy)積分公式的理解與

應(yīng)用；解析函數(shù)的級數(shù)表示；孤立奇點(diǎn)的分類及其留數(shù)的計(jì)算。

第二部分由第八、第九兩章組成，介紹了兩種在工程技術(shù)上十分重要的積分變換，

即Fourier變換和Laplace變換。這一部分內(nèi)容從Fourier級數(shù)出發(fā),介紹了Fourier

積分公式、并由此得到Fourier變換，研究了這個(gè)變換的重要性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，引

入了更加有效的Laplace變換、Laplace逆變換，討論了變換的重要性質(zhì)。

.1知識模塊及對學(xué)生要求

（一）復(fù)變函數(shù)（30學(xué)時(shí)）

1、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（理論4學(xué)時(shí)）

2、解析函數(shù)（理論6學(xué)時(shí)）

3、復(fù)變函數(shù)的積分（理論8學(xué)時(shí)）

4、解析函數(shù)的級數(shù)表示（理論6學(xué)時(shí)）

5、孤立奇點(diǎn)及留數(shù)（理論6學(xué)時(shí)）

（二）積分變換（15學(xué)時(shí)）

1、傅里葉變換（理論8學(xué)時(shí)）

2、抖普折斯變換（理論7學(xué)時(shí)）

6.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

課程重點(diǎn)：

解析函數(shù)，柯西積分定理和柯西積分公式，解析函數(shù)的級數(shù)表示，留數(shù)計(jì)算，

Matlab計(jì)算留數(shù)和積分，分式線性變換，解析函數(shù)在平面場的應(yīng)用，傅里葉變換，

拉普拉斯變換。

課程難點(diǎn)：復(fù)球面及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域，留數(shù)在定積分中的應(yīng)用，洛朗級

數(shù)，共形映射，求傅里葉變換及逆變換，求拉普拉斯換及逆變換。

解決辦法：

1、引入抽象數(shù)學(xué)概念時(shí)，注重實(shí)際例子和兒何直觀相結(jié)合，使學(xué)生有一個(gè)感性

的認(rèn)識。

2、對定理的理解和論證，強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀、力求通俗易懂，強(qiáng)調(diào)定理在實(shí)際

問題中的應(yīng)用。

3、對于理論性內(nèi)容，通過與數(shù)學(xué)分析進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生掌握一套有效的學(xué)習(xí)

方法。對于應(yīng)用性內(nèi)容，通過對實(shí)際問題的具體分析，引導(dǎo)學(xué)生初步掌握分析問題

和解決問題的方法。

4、對于本課程的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，注重精講Matlab程序，指導(dǎo)學(xué)生利用Matlab計(jì)算各

類相關(guān)問題，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

5、對于本課程的難點(diǎn)內(nèi)容，采用輔導(dǎo)、答疑、習(xí)題課和討論課方法解決。

7.課程教學(xué)實(shí)施

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

章節(jié)名稱§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

§1.2復(fù)數(shù)的兒何表示

第1周第1次課講授2學(xué)時(shí)

教學(xué)目使學(xué)生重溫復(fù)數(shù)概念，熟練掌握復(fù)數(shù)與共擾下的運(yùn)算法，了解復(fù)數(shù)平

的及要面，學(xué)會運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示。

求

教學(xué)內(nèi)容提要備注

1引言復(fù)數(shù)的誕生

先從二次方程談起：公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

ax1+Z?x+c=0,(〃H0),則當(dāng)△=/??-4ac<0時(shí)無解，當(dāng)

△=從一4。(?之0時(shí)有解.

一b七[b2-4ac

x=---------

2a

二千多年沒有進(jìn)展：尋找三次方程o?+笈2+3+d=o的一般根式

解.

G.Cardano(1501-1576):“怪才"，精通數(shù)學(xué)，醫(yī)學(xué)，語言學(xué)，文

學(xué)，占星學(xué).他發(fā)現(xiàn)

x(10-x)=40

沒有根，形式地表為

5+7-15^5-7-15

R.Descartes(笛卡兒)：1596T650,法國哲學(xué)家,坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始

人.1637他稱一個(gè)負(fù)數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).

L.Euler(1707T783):瑞典數(shù)學(xué)家，13歲入大學(xué),17歲獲碩士,30歲右眼

失明，60歲完全失明

1748年：Euler公式e冶=cosd+isine

1777年：首次使用〃i〃表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，

地圖制圖學(xué)。

C.Wessel（挪威1745T818）和R.Argand（法國17E8-1822）將復(fù)數(shù)用平

面向量或點(diǎn)來表示。

K.F.Gauss（德國1777-1855）與W.R.Hamilton（愛爾蘭18057865）定

義復(fù)數(shù)。+為為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實(shí)性的懷疑，

“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展.

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的

應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力

工具。

§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)的概念

定義對任意兩實(shí)數(shù)x、yf稱域zRyi為

其中Z2=-l,i稱為虛單位。

復(fù)數(shù)C

復(fù)數(shù)Z的實(shí)部Re（z）=X;虛部Im（z）=y.

（realpart）（imaginarypart）

送復(fù)數(shù)的模izrjf+v/o

送判斷復(fù)數(shù)相等

孫=%,其中

Z|=Z2=%=y21=X]+iy],z2=x2+iy2

z=0<=>Re（z）=Im（z）=0

灑一般，任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。

2.代數(shù)運(yùn)算

灑四則運(yùn)算

定義Z尸汨+5與Z2=在+6的和、差、積和商為：

Zi±Z2=（X1±A2）+2（M土也）

ZiZ2=Ui+l/i）（熱理）=（小*2一+f（EM+小刀）

（工0）

22Z2

z2\Z2IIZ2I

涔運(yùn)算規(guī)律

復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即,

Z1+Z2=Z2+Z1；

Z1Z2=Z2Z1；

（Z1+Z2）+Z3=Z1+（Z2+Z3）；

Z1（Z2Z3）=（Z1Z2）Z3；

Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

3.共匏復(fù)數(shù)_

定義若ZFY+ZK,稱Z=x-iy為z的共加復(fù)數(shù)

在共枕復(fù)數(shù)的性質(zhì)

(1)(Z]±Z2)=4±G(2)Z=Z

__(4)z+z=2Re(z)

(3)(z,z?)=z.'z?_

z-z=2/Im(z)

一1~

(3)zz=Re(z)2+Im(z)2=x2+y2=>—=—

例設(shè)馬

1:=5-5Z,Z2=-3+4Z,

求」,(五)及它們的實(shí)部,虛部.

Z

222

z,_5-5z7+i

三--3+4i

Q+/Y1+i

例2:求口

例3.證明若z是實(shí)系數(shù)方程

anX〃+a"E+--+aIx+a0=0

的根坦丘也是其根.(實(shí)多項(xiàng)式的零點(diǎn)成對出現(xiàn))

例.證明:匕22Z2Z2

4+z2|+|z1-z2|=2(|I|+|2|)

§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示

易見，z=x+iy?一對有序?qū)崝?shù)(x,y),

在平面上取定直角坐標(biāo)系，則任意點(diǎn)P(x,y)——對有序?qū)崝?shù)

(x,y)=>z=x+iy=平面上的點(diǎn)P(x,y)

復(fù)數(shù)z=X+9,可用平面上坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)尸表示.此時(shí)，

x軸一實(shí)軸y軸一虛軸平面一復(fù)平面或z平面

點(diǎn)的表示：z=x+iy—復(fù)平面上的點(diǎn)P(x,y')

立數(shù)z與點(diǎn)洞義.

2.向量表示法

,.?z=x+iy一點(diǎn)尸(x,y)<r^OP={x,y}

「?可用向量而^示z=x+iy.

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z二"。的?；蚪^對值；以正實(shí)軸向量而為始邊,

以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z口1y的輻

角.(2#0時(shí))

模：|z|=|而卜」=+

輻角：，=Argz

z=0<=>OP=0

zwOBI,tan(Argz)=y/x

輻角無窮多：Argz=0=0^+2kn,kWZ,

把其中滿足的。。稱為輻角Argz的主值，

記作%=argz。

z=0時(shí)，輻角不確定。

計(jì)算

arctan—x>0,y^R

x

x=0,y0

argz(z#0)argz=<

arctan—±x<0,)，0

x

x<0,y=0

的公式

在當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

送當(dāng)Z落于第二象限時(shí)，加71

泌當(dāng)Z落于第三象限時(shí)，減冗O

71V,

—<arctan—<-

2x

由向量表示法知

|z2-Zj|一點(diǎn)Z］與Z2之間的距離

由此得:

%+4區(qū)㈤+歸|（三角不等式）

%-小同-同

3.三角表示法

x=rcos0

得z=r(cos夕+isin0)

y=rsin^

指數(shù)表示

再由坳/夕公式：

ei0=cos0+zsin處導(dǎo)

例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式

1)z=-\/\2-2i;2)z=sin—+zcos—.

［解］

1)r=|z|=712+4=4.z在第三象限，因此

「55I

z=4cos(——乃)+isin(——兀)=4e6

_66

2)顯然，r=U|=1,又

7171

7171

練習(xí):寫生z=**3的輻角和它的指數(shù)形式

2

5/3/2/fT\7V2萬

解：argz=arctan—右+乃=arctan(一，3)+乃=一耳+兀=可，

r=|z|=l,z=，叫

平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示；也可以

由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形。

例1將通過兩點(diǎn)Z尸用+力與Z2=X2+>%的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

［解］通過點(diǎn)說,為與(也現(xiàn))的直線可用參數(shù)方程表示為

x=x,-x.),

i121(-00<r<+00)

j=y+，(%-,)?

因此，它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為

Z=Z\+t(Z--Z］).(~oo<t<+oo)

由此得知由?到處的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=zi+t(z2-zi).(0<^<1)

取，二,得知直線段的中點(diǎn)為z二"三

22

例2求下列方程所表示的曲線：

1)|z+i|=2;

2)|z-2z|=|z+2|;

3)Im(/+Z)=4.

解：

1)|z+i|=2

設(shè)z=x+iy,方程變?yōu)?/p>

|x+(y+l)z|=2

yjx2+(y+I)2=2,

儲+(y+1)2=4

2)\z-2i\=\z+2\

幾何上，該方程表示到點(diǎn)2/和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡，所以

方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2/.和-2的線段的垂直平分線，方程

為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。

3)Im(z+z)=4.

設(shè)Z=X+f,那末

z+z=x+-y)i

Im(/+z)=1-y

可得所求曲線的方程為y二-3.

4.復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

用直線將復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z與A相連，必與球面相交于〃點(diǎn)，則球

面上除八點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系，

而A點(diǎn)本身可代表無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記作8.

這樣的球面稱作復(fù)球面.

除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外，還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

擴(kuò)充復(fù)數(shù)域-一引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)8：悶=一

擴(kuò)充復(fù)平面--引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)8.

約定：

a/4、a?、8/、

—=8(aW0),—=0(QW00),-=8(aW00)

084

。?00=00?。=8(〃W0)

?！?0=00±。=oo(tzW00)

注：若無特殊說明，平面均指有限復(fù)平面.

教學(xué)重

點(diǎn)與難有效數(shù)字的計(jì)算，相對誤差計(jì)算

點(diǎn)

討論、

練習(xí)、

作業(yè)

1.3復(fù)數(shù)的乘幕與方根

1.4

章節(jié)名稱

§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

第1周第2次課講授2學(xué)時(shí)

教學(xué)目掌握復(fù)數(shù)的乘塞，求解復(fù)數(shù)的方根

的及要

求

教學(xué)內(nèi)容提要備注

1.乘積與商

定理1'兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。

證明設(shè)z\=r\(cos^i+isin^i)=rieJ<?1

z2=n(cos〃2+?sin〃2)=及e""

貝?1ziZ2=/bn(cos仇+/sin〃i)(cos仇+/sin〃2)

=riz^[cos(，i+仇)+1sin(，i+，2)]

寸me山口.

因此|Z1Z21=riZ2,Arg(Z1Z2)=Argzi+Argz2

幾何意義將復(fù)數(shù)?按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

Argzz,再將其伸縮到|切倍

送定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。

，2

例:設(shè)馬=-1,Z2=i.則：z,z9=-i=e;

71

ArgZ[=7r+2n1,Argz2=—+2m7i,

Argz]z2=Argz]+Argz2=-------F2k冗

(k,m,nGZ)

3乃77

則有----F2(〃2+〃)〃=----+2Z?,

22

即k=m+n+l

定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除

數(shù)的輻角之差。

,0

證明設(shè)4=八網(wǎng),z?=r2e-

由復(fù)數(shù)除法的定義ZFZi/Z\,即Z\Z-Z1

?.?|z||zi|=|Z21及Argzi+Arg2=Argzi(zy0)

二Arg2=ArgZ2-Argzi即：

2=上=殳/(%

Z|4

例1已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為Z1=1和Z2=2+i,求它

的另一個(gè)頂點(diǎn).

解如圖，將向量直逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3或后得到的向量

區(qū)或店的終點(diǎn)Z3或Z；即為所求.根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法，有

/兀?.兀、/、

z3-Z)=(cos——Ffsin—)(z2-z,)

1A/3

I

=(-+T/)(+0

所以

同理，若轉(zhuǎn)角為-g,可得

3

Z；Y+§+4—多

2222

例設(shè)復(fù)數(shù)卬對應(yīng)等邊三邊

2z2,Z3

形的三個(gè)頂點(diǎn)，證明：

Z?+Z2+Z3-Z1Z2-Z2Z3-Z3Z1=O-

證如圖，向量至旋轉(zhuǎn)?得到向量豆，向量

獲旋轉(zhuǎn)?得到向量贏，由于復(fù)數(shù)。的模為1，輻

角為半根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有

I.一乃，,7一1

33

z3-z1=e(Z2—Z|),Z]-Z2=e(z3-z2),

由此得

2-Z&(-Z))(Z|

3-Z2)=Z2-Z2).

所以

z^+z^+z^-zlz2-z2z3-z3zl=0.

2.復(fù)數(shù)的乘嘉

定義刀個(gè)相同的復(fù)數(shù)Z的乘積，稱為Z的刀次幕，

記作Z",即Z〃=ZZ…Z(共〃個(gè))。

設(shè)由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證

n

明zFT(cosnO+isinn0)=re°o

特別：當(dāng)|z|二l時(shí)，即：zJcos加以sinn〃，則有

(cos?！?cosn0+isinn0

一棣模佛(DeMoivre)公式。

定義.由定義得z-w=r-ne-in0

z"

3.復(fù)數(shù)的方根

問題給定復(fù)數(shù)2=re'3求所有的滿足con=z的復(fù)數(shù)8。

當(dāng)今0時(shí)，有〃個(gè)不同的s值與底相對應(yīng)，每一

個(gè)這樣的CD值都稱為z的〃次方根，記口二板

設(shè)3=P-,由〃=z,有=rei0

=pn=r,n(/)=0+2kji(keZ)

.e+2既

=>=Vz=yfre"(Z=0,1,2,…，〃-1)

8+2ATT..8+2攵乃、

="(cos----------+1sin-----------)

nn

幾何上，無的刀個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，底為半徑的圓周上訂個(gè)等分

點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正刀邊形的〃個(gè)頂點(diǎn).

如例=加工7

—4-2k冗—+2kji

=啦(cos------+isin------)供=0,1,2,3)(見圖)

44

例求J二

解因?yàn)橐?二8(cos)+isin;r),

所以口=狀(cos土瞪生+zsin"+2而)*=0,1,2).

當(dāng)k=()時(shí)，3。=2(cos—+zsin—)=14-V3z,

當(dāng)Z=1時(shí)，魴=2(cos+zsin^)=-2,

當(dāng)％=2時(shí)，=2(cos—4-zsin—)=1-V3z

~33

我們知道，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，口只有一個(gè)值-2,而在復(fù)數(shù)域內(nèi)，口有

三個(gè)根，且它們是內(nèi)接7中心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的正三角形的三個(gè)

頂點(diǎn)

§1.4復(fù)平面上的點(diǎn)集

1.區(qū)域的概念

?鄰域

復(fù)平面上以z。為中心，任意3>0為半徑的圓|2-2。|<6(或0<|z

-z。|<力內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的力(去心)鄰域。

記為。(zo⑹即，

U(z0?)={z||z—z°|<5}(tr(Zo?)={z|O<|z—z°|<5})

設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)對任意為屬于G,若存在。(Z0,6),使該

鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱zo是G的內(nèi)點(diǎn).

開集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱G是開集。

?區(qū)域設(shè)D是一個(gè)開集，且D是連通的，稱D是一個(gè)區(qū)域。

連通是指。中任意兩點(diǎn)均可用完全屬于。的折線連接.

邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D,若點(diǎn)P的任何

鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是

D的邊界點(diǎn)；D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。

?閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,有界區(qū)域與無界

區(qū)域若存在R>0,對任意z￡D,均有

z￡G={z/|z|</3,則D是有界區(qū)域；否則無界。

|z-Zo|<"

表示以z0為圓點(diǎn)以〃為半徑的圓內(nèi)所有的點(diǎn).

Rez=almz=￡表示分別平行于y軸和x軸的直線.

Rez>0表示右半復(fù)平面，

Imz<0表示下半復(fù)平面.

<|z—Zo|<7；表示-一個(gè)圓環(huán)，而且是有界的.

它的邊界由兩個(gè)圓周|z-Zo|=4,|z-Zo|=G組成，

如果在其中去掉一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)，它仍然是區(qū)域，

只是邊界增加了一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn).

2.簡單曲線(或Jardan曲線)

平面上一條連續(xù)曲線可表示為：

(a<t<。),實(shí)變函數(shù)xQ)、y(t)GC[a.b]

y=y(t)

令z(好=x(t)+?y(力a<t<b;

則曲線方程可記為：2=z&),a<t<b

若y\t)e切且lx'。)？+[y\t)f.0

則稱該曲線為光滑的

有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.

重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t),W區(qū)b,

對于力i￡(a,吩,12G[a,5],當(dāng)3#2時(shí)，若z(2I)=N(￡2),

稱2(幻為曲線C的重點(diǎn)

定義稱沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡單曲線或

Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(?時(shí)，則稱此曲線C是簡單閉

曲線或Jordan閉曲線

簡單閉曲線的性質(zhì)

任一條簡單閉曲線C：z=z(t),tE：[afb]t把復(fù)

平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有

界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為

C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。

3.單連i甬域與多連i甬域

定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的

內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域.

例如|z\<R(Q0)是單連通的；

0q<口與?是多連通的。

§1.5復(fù)變函數(shù)

1.復(fù)變函數(shù)的定義

設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+?，的非空集合,存在法則

了,使得VzGG,就有一個(gè)或幾個(gè)卬=〃+與之對應(yīng)，

則稱復(fù)變數(shù)卜層復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù))

記作卬=/(Z).

今后無特別聲明，所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。

G—f(z)的定義集合，常常是平面區(qū)域(定義域)

(J={wjIV=/(Z),ZGG)一函數(shù)值集合

?：z=x+iy<->(x,y);w=w+zv<->(〃,v)

：,w=f(z)=f(x+iy)

=u(x,y)+iv(x,y)

故"=u(x,y)v=v(x,y)

w=/(z)=w+zv<->w=u(x,y)v=v(x,y)

例1w=z2=x+iyw=u+iv

則w=(u+iv)=(x+iy)2=x2-y2+2xyi

w=z2u=x2-y2v=2xy

例2

(]A(jA

若已知.f(z)=x1+-------7+iy1一一----y

Ir+y>l廠+

將/(z)表示成z的函數(shù).

1-1-

設(shè)z-x+(y,貝h—一(z十z),)，——(z-z)

22i

/(z)=z+-

z

2.映射的概念

在幾何上，Kz)可以看作

zeG(z平面)的映射(變換).

定義域函數(shù)值集合

稱卬為z的象點(diǎn)(映象)，而z稱為孫的原象。

復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射(變換)

汴在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對

變量u,p與才，y之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變

函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.

灑以下不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)。

例3研究卬=5所構(gòu)成的映射.

必設(shè)z=r(cose+isin夕)=re'0

解

/.z=re~'°

一關(guān)于實(shí)軸對稱的一個(gè)映射

>見圖1-1~1-2

例4研究卬=d"z(a實(shí)常數(shù))所構(gòu)成的映射.

設(shè)z=re>0w=e,az=eiare,e=re,{aW)

w=z/+zv=(cosa+isina)(x+iy)

=(xcosa-ysina)+z(xsina+ysina)即,

fw=xcosa-ysinrz=一，一……一

\一旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖2

[u=xsina+ysina

3.反函數(shù)或逆映射

例設(shè)Z=V^則稱卬=5/1為2="的反函數(shù)或逆映射

_6+2就

???卬=6=1口6=(攵=0,1)???為多值函數(shù),2支.

定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*

zeG產(chǎn)>WEG"

一個(gè)(或幾個(gè))zG卬GG*

則稱Z=w(w)為W=f(z)的反函數(shù)(逆映射).

顯然有vv=/[0(w)]VwsG"船

當(dāng)反函數(shù)單值時(shí)Z=禮f⑶]VzeG"”

當(dāng)函數(shù)(映射)卬=/(z)和其反函數(shù)(逆映射)

z=0(卬)都是單值的，則稱函數(shù)(映射)w=/(z)

是一一的。也稱集合G與集合G.是一一對應(yīng)的。

TT

例己知映射w=z3,求區(qū)域0<argz<—在平面w上的象

3

如已知映射卬=L判斷：z平面上的曲線/+,2=1被

例z

映射成卬平面上怎樣的曲線？

§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

1.函數(shù)的極限

設(shè)卬=/(z),Z￡U(Zo，p),若存在數(shù)A,x/￡〉o,

m慫R,當(dāng)0<|z_z0|<b時(shí),有|/(z)-川<￡,

則稱A為/(z)當(dāng)zfZ。時(shí)的極限,記作lim/(z)=A

ZT/

或當(dāng)zfz()時(shí)，/(z)->4

幾何意義：

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入Z0的充分小去心鄰域時(shí)，它的象點(diǎn)Hz)就落入A的

一個(gè)預(yù)先給定的￡鄰域中.

逛意義中的方式是任意的.與一元實(shí)變函數(shù)相

1)zTzo

比較要求更高

(2)A是復(fù)數(shù)

(3)若f(z)在處有極限，其極限是唯一的.

2.運(yùn)算性質(zhì)

復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：

定理1

iS/*(z)=w(x,y)+zv(x,y)z=x+iyz0=x0+/y0

limu(x,y)=w

)，一>，))0

則(x,)5b

limf(z)=A=%+zv0<=>

ZT%limu(x,y)=v

(x.y)->(.%.舟)0

定理2

若lim/(z)=Alimg(z)=則

NT%ZTZQ

lim[/(z)±g(z)]=limf(z)±limg(z)=A±B

ZTZoZTRZTZO

limf(z)g(z)=limf(z)limg(z)=AB

Zf4Z-＞4ZfZp

lim=3-------(limg(z)H0)=—

z-＞布g(z)limg(z)a飛B

ZTZQ

以上定理用極限定義證

例1證明W=W+)，+“不+)，2)在平面上處處有極限

???/+y,x+y2在平面上處處有極限

例2求*z)=%+%在z.。時(shí)的極限.

???f(z)=2(:一[)在(o,o)處極限不存在.

廠+?

例3

證明在2f()時(shí)的極限不存在

3.函數(shù)的連續(xù)性

若lim/(z)=/(z),則稱/(z)在Zo處連續(xù)；

NT/0

若在區(qū)域。內(nèi)處處連續(xù)，貝I稱＜(z)在加連續(xù);

若z、Zo￡。,且lim/(z)=/(z0),則稱/(z)

2-*2b

在曲線C上點(diǎn)z0處連續(xù).

定理3

設(shè)〃z)=u(x,y)+iv(xt)，)在z0=x0+bo處連續(xù)

lim〃(x,y)=〃(％,)，o)

(.r,)，Lb)

limv(x,y)=v(x0,y0)

(X，)')T(7)，)'O)

例4證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。

、T咱⑴'?'/(z)=argz在原點(diǎn)沒有定義，

證明

故不連續(xù)。

(2)在負(fù)實(shí)軸上

VP(x,0)(x<0)

?/limargz=TC

limargz=一乃

y->0-

argz在負(fù)實(shí)軸

上不連續(xù)。

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù)；

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)。

由以上討論=

P(z)=%+qz+…+在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)是連續(xù)的；

R(z)=也。⑶在復(fù)平面內(nèi)除分母為0點(diǎn)外處處連續(xù).

有界性：

設(shè)曲線C為閉曲線或端點(diǎn)包括在內(nèi)的曲線段

若了9)在。上連續(xù)^3M>0,在曲線上恒有|.f⑶區(qū)M

教學(xué)置

點(diǎn)與難求復(fù)數(shù)的方根，映射的幾何意義

點(diǎn)

討論、練

習(xí)、作業(yè)

第二章解析函數(shù)基礎(chǔ)

章節(jié)名稱§2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第2周第1次課講授2學(xué)時(shí)

掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法

數(shù)學(xué)目

的及耍

求

教學(xué)內(nèi)容提要省?注

(1)導(dǎo)數(shù)定義

定義設(shè)函數(shù)w=/(z)z《D,且zo、zo+AzWD,

如果極限lim/G+Az)-"z。)存在,則稱函數(shù)

AZTOAZ

/⑵在點(diǎn)Z0處可導(dǎo)。稱此極限值為了⑵在Z0的導(dǎo)數(shù)，

記作y(z0)=—=lim/(z()+Az)-/(Zo)

dzzq3"

如果w=/(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱/(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。

冷(1)Azf。是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

^2^(2)z=x+iy,Az=△x+i△y,△f=f(z+△z)-f(z)

例1證明：/(z)=Rez在平面上的任何點(diǎn)都不可導(dǎo).

FARMRe(z+Az)-Re(z)x+Ax-xAx

證明?———.

AzAzAx+zAy+iAy

當(dāng)Az取實(shí)數(shù)趨于附，紂/Az-1；hm2不存在

當(dāng)Az取純虛數(shù)趨于0時(shí),H7AzT0;JX。Az

(2)求導(dǎo)公式與法則

—?實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣

①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c#=(a+/b)z=O.

②(zn)f=nznl(。是自然數(shù)).

A69Z”一Z；

lim---=hm------

Z-布AZZTRZ-Z0

=lim(z-'+…+z『)=yr

-%Z-Zo

③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)y=r(z)±gU),

[f(z)g(z)Y=r(z)g(z)^f(z)g\z)

啕二以幽冬』⑶四

]g(z)」g-(z)

由以上討論n

尸(z)=g+qz+…+4〃z"在整個(gè)復(fù)平面上處處可導(dǎo)；

欠(z)=也在復(fù)平面上(除分母為0點(diǎn)外)處

Q(z)

處可導(dǎo).

④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)]Y=r(w)gf(z),

其中w=g(z)

⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/，(z)=—,其中:W4⑶

。(vv)

與z=Ww)互為單值的反函數(shù)，且S(w)H)。

例2已知/(z)=(z2+5Z)2———,求f'(z)

z-1

解

例3問：函數(shù)f(z)=x+2W是否可導(dǎo)？

解

vlim〃z+—(z)

Az

i.x+Ar+2(j+Ay)z-(x+2yi)

=hm---------:----:---------:——

AZ->OAX+iAy

「Ax+2A>V1當(dāng)△)，=(),-->O時(shí)才-