《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程實(shí)施大綱45學(xué)時(shí)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程實(shí)施大綱

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)施大綱”是課程學(xué)習(xí)的大綱，是教師在開(kāi)課前必須

向?qū)W生提供的一種基本的教學(xué)文件。課程實(shí)施大綱規(guī)范了教師與學(xué)生的職責(zé)，規(guī)

定了教學(xué)必須達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的工具、師生溝通的橋梁和教學(xué)質(zhì)量保

障的工具。為確?！氨究普n程實(shí)施大綱”編制的規(guī)范性、科學(xué)性，特制定本原則

性意見(jiàn)。

1.教學(xué)理念

隨機(jī)現(xiàn)象無(wú)處不在，滲透于口常生活的方方面面，概率論就是通過(guò)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)

律從而指導(dǎo)人們從食事物表現(xiàn)看到起本質(zhì)的一門(mén)科學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)在人們的生活中也在發(fā)揮重

要作用，如果沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)，人們?cè)谒鸭Y料和進(jìn)行各項(xiàng)大型的數(shù)據(jù)搜集工作是非常困難的。

通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)方法的研究，是我們處理各種數(shù)據(jù)更加簡(jiǎn)便。

2.課程描述

2.1課程的性質(zhì)

概率統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科，其理論和方法的應(yīng)用遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、

工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)藥衛(wèi)生以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門(mén)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是工科、理科專(zhuān)業(yè)及

管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的重要的基礎(chǔ)課程，在考研數(shù)學(xué)中的比重大約占22%左右。

2.2課程在學(xué)科專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用

學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)以及進(jìn)一步深造、隨機(jī)思維能力的增強(qiáng)和統(tǒng)計(jì)素

質(zhì)的培養(yǎng)起重要作用

2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中，如預(yù)測(cè)

和濾波應(yīng)用于空間技術(shù)和自動(dòng)控制，時(shí)間序列分析應(yīng)用于石油勘測(cè)和經(jīng)濟(jì)管理，馬爾科夫過(guò)

程與點(diǎn)過(guò)程統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用于地震預(yù)測(cè)等，同時(shí)他又向基礎(chǔ)學(xué)科、工科學(xué)科滲透，與其他學(xué)科

相結(jié)合發(fā)展成為邊緣學(xué)科，這是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的?個(gè)新趨勢(shì)。

2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性

概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性;數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究樣本數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析和推斷

的各種統(tǒng)計(jì)方法，這其中又包含兩方面的內(nèi)容:試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)推斷。試驗(yàn)設(shè)計(jì)研究合理而

有效地獲得數(shù)據(jù)資料的方法;統(tǒng)計(jì)推斷則是對(duì)■已經(jīng)獲得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析，從而對(duì)所關(guān)心

的問(wèn)題做出盡可能精確的估計(jì)與判斷。判斷的結(jié)果，小的可以對(duì)具體產(chǎn)品質(zhì)量作結(jié)論，大的

可以影響政府部門(mén)的方針和決策。例如上一次世界性石油危機(jī)期間許多國(guó)家的政府部門(mén)都請(qǐng)

統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究國(guó)家石油庫(kù)存的安全線及石油價(jià)格對(duì)整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的運(yùn)作的影響等等

4.先修課程

高等數(shù)學(xué)

5.課程目標(biāo)

學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)以及進(jìn)一步深造打基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)思維

的能力和統(tǒng)計(jì)素質(zhì)。

6.課程內(nèi)容

5.1課程的內(nèi)容概要

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中得基本概念、基本原理和基本方法，

概率論主要包括隨機(jī)事件的概率，事件的獨(dú)立性與條件概率，全概率公式和貝頁(yè)斯公式，函

數(shù)及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征；統(tǒng)計(jì)部分主要包括統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布，參數(shù)估計(jì)等。

5.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)是隨機(jī)變量的分布及其函數(shù)的分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、點(diǎn)估計(jì)；難點(diǎn)為隨機(jī)變量的

分布及其函數(shù)的分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、抽樣分布和點(diǎn)估計(jì)。

5.3學(xué)時(shí)安排

隨機(jī)事件與概率：4學(xué)時(shí)

條件概率、全概率公式，貝頁(yè)斯公式，事件的獨(dú)立性：4學(xué)時(shí)

離散型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分布函數(shù)：4學(xué)時(shí)

連續(xù)性隨機(jī)變量，幾個(gè)常用的連續(xù)性隨機(jī)變量：4學(xué)時(shí)

二維隨機(jī)變量邊緣分布與獨(dú)立性：4學(xué)時(shí)

一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布：4學(xué)時(shí)

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的方差，隨機(jī)變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：6學(xué)時(shí)

中心極限定理：1學(xué)時(shí)，習(xí)題課：1學(xué)時(shí)

樣本及抽樣分布：4學(xué)時(shí)

點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：6學(xué)時(shí)

講區(qū)間估計(jì)：2學(xué)時(shí)

假設(shè)檢驗(yàn):2學(xué)時(shí)，復(fù)習(xí)及習(xí)題課

第一講課時(shí)/課次：教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）

緒論，隨機(jī)事件2/12015-16-2

教學(xué)目標(biāo)

一、初步了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程的主要內(nèi)容；

二、介紹該門(mén)課程的學(xué)習(xí)方法；

三、掌握隨機(jī)事件的概念及事件的關(guān)系與運(yùn)算

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)：

一、隨機(jī)試驗(yàn)的概念；

二、樣本空間、樣本點(diǎn)的概念；

三、隨機(jī)事件的概念隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算：

重點(diǎn)：

“事件的關(guān)系”與“集合的關(guān)系”這兩個(gè)關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)換；

難點(diǎn)：

隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算；

教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法

一、介紹該門(mén)課程的主要內(nèi)容、歷史沿革；（講授）

二、介紹該門(mén)課程的學(xué)習(xí)方法；（講授）

三、隨機(jī)現(xiàn)象（案例），隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間樣本點(diǎn)（案例，提問(wèn)，講授）

例1-1Ei：拋一枚均勻硬幣，觀察其正反面出現(xiàn)的情況；

E2:將一枚硬幣連拋三次，觀察其正而出現(xiàn)的次數(shù)；

E上擲一顆骰子，觀察可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

日：記錄電話交換臺(tái)?分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)

E5:在一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命；

氏：將一枚硬幣連拋兩次，考慮正反面出現(xiàn)的情況.

通過(guò)上例引出隨機(jī)試驗(yàn)的的三個(gè)特點(diǎn)、樣本空間樣本點(diǎn)的概念

四、隨隨機(jī)事件的概念事件之間的運(yùn)算關(guān)系（案例，講授）

1.包含和相等關(guān)系

2.事件的和

3.事件的積

4.互斥事件（互不相容事件）

5.互逆事件（對(duì)立事件）

6.事件的差

事件的關(guān)系與運(yùn)算即為集合之間的關(guān)系從集合的運(yùn)算規(guī)則可以得到相應(yīng)的事件的運(yùn)算

法則：

（1）交換律AUB=BUA,AB=BA；

（2）結(jié)合律（4ijB）nc=4u（〃nc），

（Arw）nc=4n（3nc）；

（3）分配律Au（4nc）=（AU4）n（Auc）,

（4）德摩根（De-Morgan）公式反而X二瓦

結(jié)合律、分配律和德摩根公式還可以推廣至任意有限個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)事件的情況.

例1-2從一批產(chǎn)品中每次取出一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)（每次取后不放回），事件4表示第i次取

顯然，頻率具有下列性質(zhì)：

（1）（非負(fù)性）0<￡（4）<1；

（2）（規(guī)范性）fn（fl）=1；

（3）（可加性）若4,4,…，4為兩兩互斥事件，則

力僅A）=/（A）+〃4）+

i.概率的統(tǒng)計(jì)定義

定義1?2在相同條件下進(jìn)行〃次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為〃A，事件A發(fā)生的頻

率為￡（4）=〃力?如果當(dāng)〃充分大時(shí),.力（A）穩(wěn)定地在一常數(shù)值〃得附近擺動(dòng)，則稱(chēng)〃為

事件A的概率，記作P（4）=〃.

由概率的統(tǒng)計(jì)定義與頻率的性質(zhì)，易見(jiàn)概率具有以下性質(zhì)：

（1）（非負(fù)性）O<P（A）<1；

（2）（規(guī)范性）P（Q）=1；

（3）（可加性）若4,4,…，4為兩兩互斥事件，則

dOa）=p（A）+P（4）+…+P（A.）

由概率的定義可知，概率是衡量事件發(fā)生可能性大小的量.概率的統(tǒng)計(jì)定義雖然直觀，

但在實(shí)用上，不可能對(duì)每一事件都做大量的的重復(fù)試驗(yàn)，從中得到頻率的穩(wěn)定值，因此不便

于實(shí)際計(jì)算使用.另外，從數(shù)學(xué)上看，有些說(shuō)法也不嚴(yán)密，不便于理論研究上使用.

二、概率的公理化定義及其性質(zhì)

前蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颍↘olmogorov）從頻率的穩(wěn)定性與概率的統(tǒng)計(jì)定義得到啟發(fā),

于1933年提出了如下概率的公理化定義.

定義1-3隨機(jī)試驗(yàn)￡的樣本空間為Q,如對(duì)于果上的每個(gè)事件A,總有唯一確定得實(shí)

數(shù)尸（4）與之對(duì)?應(yīng)，并且滿足下列二條性質(zhì)：

（1）（非負(fù)性）O<P（A）<1；

（2）（規(guī)范性）P（Q）=1：

（3）（可列可加性）若A，&，???，A”,.??為兩兩互斥事件，則

P(CM)=P(4)+P(A2)+,?=￡P(guān)(4)

\,=l71=1

稱(chēng)P(4)為事件A的概率.

概率的公理化定義看起來(lái)抽象，但它反映了事件概率的本質(zhì).需要指出的是：P(A)可

視為事件4的函數(shù)，值域?yàn)椋?)』］,定義域?yàn)槿w事件的集合.

從概率的公理化定義可以導(dǎo)出概率的重要性質(zhì)

性質(zhì)1P(O)=(),即不可能事件的概率為0

性質(zhì)2(有限可加性〕44,…，A〃為兩兩互不相容事件，即從4則

=P(A)+P(/)+…p(4)=汽p(4)(i-i)

加4;=|

性質(zhì)3A,3為兩個(gè)事件，

(1)P(A-B)=P(A)-P(AB)；(1-2)

(2)若8uA,則P(A—8)二尸(A)—P(3)且P(3)KP(A).

性質(zhì)4p0)=1—P(A)(1-3)

性質(zhì)5(加法公式)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).(1-4)

推論1P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

-p(AB)-p(AC}-P(BC)+P(ABC)(1-5)

P|UA|=Ep(A)-E^(AA)+EP(AAA)—…+(—i)"Tp(A&?.4)

V,=l//=1l<i<j<nI<I<J<JI<M

(1-6)

例1-4已知p(A)=0.5,P(M)=0.2,P(B)=0.4,求

(1)0(AB),(2)P(A-B),(3)P(A\JB)，⑷

例1-5某市有甲，乙，丙三種報(bào)紙，訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有

10%的人同時(shí)定甲，乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲內(nèi)或乙丙報(bào)紙?求從該市任選一人，他至少訂

有一種報(bào)紙的概率.

三、古典概型

定義1-4若隨機(jī)試驗(yàn)E滿足以下條件:

(1)樣本空間。只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，即。={叫，?，…，例}:

(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的，即「({0})=。({例})=?一=2({4})，

則稱(chēng)此試驗(yàn)為古典概型，或稱(chēng)等可能概型.

設(shè)事件A包含攵個(gè)基本事件，即

A={g}U{?U…{例},P({?})=，,(i=1,2「.,〃)

則有

P⑷牙(卜4}UM}U…{4})=P?UP{4}…UP{4}

111k

=-H1-----1—=——.

nnnn

由此，在古典概型中，如果樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為〃，事件A由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，則

事件A的概率為

PM1=-=A所包含樣本點(diǎn)數(shù)

I尸〃一_C中樣本點(diǎn)數(shù)(1-7)

例1-6設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率.

解設(shè)事件A:“取到一紅一白”

N(Q)=C；N(A)=C；C；

故2缶)二駕=。

或5

例1-7將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：

(1)每盒恰有一球的概率是多少？

(2)空一盒的概率是多少？

解:設(shè)A:“每盒恰有一球”，B:“空一盒”

N(Q)=3，N(A)=3!

尸⑷嗡2

(1)

9

(2)P(4)=1-P｛空兩合｝-P｛全有球｝

,33!2

=-7-7=3'

例1-830名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求:

(1)每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；

(2)3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率

解設(shè)事件A:“每組有一名運(yùn)動(dòng)員"；事件B:“3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組

N(C)=C*a；=]0!I；10!

N（A）=3!&喘爆N（B）=3xq4C：

3127!

=^1='9!9!9!=21

⑴P'(A)N(Q)30!203

10!10!10!

c27!

/、3x

P(R)=N⑻.710!10!_18一

Q)'N(Q)-30!_203'

10F10!10!

作業(yè)安排及課后反思

習(xí)題二，P15-16,2,4,10,11

本講參考資料

本課程使用教材P7-10,12J3

第三講課時(shí)/課次：教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）

條件概率與獨(dú)立性

2/32015-16-2

教學(xué)目標(biāo)

一、掌握條件概率的概念，并會(huì)應(yīng)用條件概率乘法公式計(jì)算概率；

二、掌握的事件獨(dú)立性的概念，會(huì)用事件的獨(dú)立性計(jì)算概率

三、掌握伯努利概型

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)：

一、條件概率；

二、乘法公式；

三、事件的獨(dú)立性；

四、伯努利概型

重點(diǎn)：

乘法公式的應(yīng)用，事件的獨(dú)立性的概念，伯努利概型

難點(diǎn)：

乘法公式的應(yīng)用，事件的獨(dú)立性的概念，伯努利概型

教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法

一、條件概率

引例一一引出條件概率的定義

定義1?5設(shè)45為兩個(gè)事件，且尸（A）＞0,則稱(chēng)

P（AB\

尸⑻G二焉不2（1-8）

P（A）

為事件A發(fā)生的條件下，事件8的條件概率.

易驗(yàn)證尸（叫A）符合概率定義的三條公理，故對(duì)概率已證明的結(jié)果都適用于條件概率，

例如，對(duì)于任意事件與，鳥(niǎo)，有

尸（4U84A戶戶（用A）+P（&|A）—P（8四|A）.

又如，對(duì)于任意事件8,有

P（B|A）=I-P（B|A）

一、乘法公式

由條件概率的定義，不難推出如下乘法公式.

乘法公式P（A5）=尸（3|A）P（A）,P（A）＞0（1-9）

P（AB）=P（A[3）P（8）,P（B）＞0（1-10）

p（A4..A）=p（A）p（A2|A”（4|A4）...p（4iAAAi）,（i-ii）

其中，P（A）＞O,（Z=1,2,

例1-10一批產(chǎn)品共10件,1其中3件次品，每次從中任取一件不放回，問(wèn)第三次才取得

正品的概率等于多少？

解A表示第一次取到次品；A?表示第二次取到次品；4表示第三次取到正品

a77

尸（A）=而尸（闋A）=5P（闋A4）=W

則根據(jù)乘法公式

尸（A&A）=尸（A）P（4|A）尸（A|A4）=OO5B3

二、事件的獨(dú)立性

一般地，P（8|A）wP（8）,但在特殊條件下也有例外，先看下面例子.

例1-11設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中有放回地抽取兩次，每次取一個(gè)用A

表示“第一次抽取得紅球”，8表示“第二次取得紅球”，求。（8|A）,P（B）.

2

解P（B|A）=P（B）=-.

顯然，上例中P（同A）=P（8）,由此可以得到P（A8）=P（A）P（3）,此時(shí)稱(chēng)事件A,B

相互獨(dú)立.

定義1-6設(shè)A8為兩個(gè)事件，如果滿足

尸（A8）=P（A）P（3）（1-12）

則稱(chēng)事件A8相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)A,B獨(dú)立.

需要說(shuō)明，在實(shí)際應(yīng)用中，判斷事件的的相互獨(dú)立，往往不是根據(jù)上述定義，而是從實(shí)

際意義加以判斷.

顯然，當(dāng)事件把互獨(dú)立，且尸（力＞0時(shí)，有

P（3|A）=P（3）

定理1-1以下四命題等價(jià)

（1）事件A8相互獨(dú)立.（2）事件A］相互獨(dú)立.（3））事件氐8相互獨(dú)立.（4）事件45

相互獨(dú)立.

證明這里僅證（1）與（2）等價(jià)，其他情況可以類(lèi)似加以證明.由于

A8與A不互不相容，于是有尸（A）二尸（A8）+P（45），

若4,8相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（3）

故P（4）=P（A）-P（AB）=P（4）-P（A）P（B）

=P（A）（1-P（B））=P（A）P（B）

由定義知，事件A否相互獨(dú)立.

若A,吊相互獨(dú)立,則「（A7）=P（A）P⑻

故P（A8）=P（A）-P（A5）=P（A）-P（A）P⑻

二P（A）（1-P⑻）=P（A）P⑻

由定義知，事件AB相互獨(dú)立

綜上，（1）與（2）等價(jià).

證畢.

例1-12從一付52張（不含大小王）的撲克牌中任意抽取一張，A表示抽出一張A,B表

示抽出一張黑桃，問(wèn)A與B是否獨(dú)立？

解一

尸(A)4=1，P(B)=封4P(AB)高

521352452

得到P(AB)=P(A)P(8),故A與B獨(dú)立.

事件相互獨(dú)立的概念可以推廣到有限多個(gè)事件上

定義1?6設(shè)A,民C為三個(gè)事件，如果滿足

P{AB)=P(A)P(B)P(4C)=R4)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(4)P(B)P(C)

則稱(chēng)A8,C為相互獨(dú)立事件.

上述定義中若AB,。僅滿足前三個(gè)式子，則稱(chēng)4,8,C兩兩獨(dú)立，需要指出的是：相

互獨(dú)立必然兩兩獨(dú)立，反之不一定.

例1-13從分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的4張卡片中隨機(jī)抽取?張,以事件A表示“取到1

或2號(hào)卡片、事件B表示“取到1或3號(hào)卡片〃;事件C表示“取到1或4號(hào)卡片則事件A,B,C

兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.

事實(shí)上

KA)=P(B)=P(C)=—NAB)=RBC)=P(AC)=-

24

P(ABC)△工P(A)P(B)HO.

4

進(jìn)一步可以定義〃個(gè)事件的獨(dú)立性

定義1-7設(shè)〃個(gè)事件4,4,…，4,對(duì)于任意火(2444〃)個(gè)事件4,%，…，&

(l<zl<z2<...</Z:</?),如果滿足

P(AA???4)=P(4)P(A2)??P(4)

則稱(chēng)事件A，A2,…，4相互獨(dú)立.

同樣，事件A，4,…，A〃相互獨(dú)立則它們必然兩兩獨(dú)立，反之不一定對(duì).

例1-14若每個(gè)人血清中含肝炎病毒的概率為0.4%,今混合來(lái)自不同地區(qū)的100個(gè)人

的血清，求此血清中有肝炎病毒的概率.

解用4表示第，個(gè)人的血清中含有肝炎病毒，100,則

一(AU&U…UAoo)=i(AU4U…九)=1-P伍不…而

=1-P⑷P㈤…4篇)=1-(1-0.4%)，(K)x0.3302

三、伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)

在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，且任何一次試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果都不受其他各次試驗(yàn)結(jié)果的影

響，稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為重夏獨(dú)立試驗(yàn)，若在〃次重生獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩

個(gè)：A或X,則稱(chēng)〃次重更獨(dú)立試驗(yàn)為〃重伯努利試驗(yàn).

定理1-2設(shè)在一次試驗(yàn)中4發(fā)生的概率為p,(O<〃<l),則在〃重伯努利試驗(yàn)中事件

A發(fā)生女次的概率為

P{4發(fā)生人次}=C：pk(1-p)z,僅=0,1,2,…力

(證略)

例1-15某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.3,重夏射擊10次，求恰好命中3

次的概率.

解10次射擊為10重伯努利試驗(yàn)，在?次試驗(yàn)中擊中目標(biāo)為事件A,

則P{A發(fā)生3次}=G?.33(1-0.3)2*0.2668

作業(yè)安排及課后反思

習(xí)題三，P27-29,2,11,12,20

本講參考資料

本課程使用教材P17J9,22-26

第四講課時(shí)/課次：教學(xué)日期(學(xué)年/學(xué)期)

全概率與貝葉斯公式

2/42015-16-2

教學(xué)目標(biāo)

一、掌全概率公式，并會(huì)應(yīng)用全概率公式計(jì)算概率；

二、掌握貝葉斯公式，會(huì)用貝葉斯公式計(jì)算概率

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)：

一、全概率公式；

二、貝葉斯公式；

重點(diǎn)：

全概率公式；貝葉斯公式

全概率公式；貝葉斯公式

教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法

一、全概率公式

全概率公式是概率論的重要公式之一，它解決問(wèn)題的基本思想是把復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化

為簡(jiǎn)單事件的概率的運(yùn)算.基本方法是：將復(fù)雜事件化為兩兩互不相容事件之和，再利用概

率的的可加性.

定理1-3設(shè)8隨機(jī)試驗(yàn)E中的任一事件，事件A，4,…，4是E的一個(gè)完備事件組,

即44=0(，/力(如圖1-2)且尸(4)>o,i=i,2，…,〃，則有

1=1

夕⑻二力P(a4)P(A).(i-i3)

上述公式稱(chēng)為全概率公式.

證由已知條件有砂田研日什網(wǎng)川網(wǎng)也…樹(shù)眼).

由于4a所以BA，BA2,…，”兩兩互不相容，根據(jù)概率的有限可加性和

乘法公式得

P")=P(陰)+。(％)+…+夕(%,)

='(網(wǎng))

1=1

二￡p(引a)p(4),

i=l

證畢.

需要指出的是，我們可以將事件8視為“結(jié)果”，A，A?,…，4則視為導(dǎo)致結(jié)果8發(fā)

生的“原因”，稱(chēng)p(a)為先驗(yàn)概率.

全概率公式中，把求p(8)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求2(用4)和P(A)的問(wèn)題.看似復(fù)雜化了，

但在很多情況下，直接求p(8)很不容易，而諸P(同4)和P(AJ卻往往容易得到，從而

使求P(B)的問(wèn)題得到解決.在使用全概率公式時(shí)關(guān)鍵是選取完備事件組，而且完備事件組

中每個(gè)事件的概率及條件概率容易計(jì)算.

例1-16某機(jī)床廠從三個(gè)不同的軸承制造廠購(gòu)進(jìn)一批軸承，從第一廠、第二廠、第三

廠分別進(jìn)貨為5()%、3()%和20%.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)得知三廠的產(chǎn)品次品率分別為2%、3%和

4%.問(wèn)該機(jī)床廠購(gòu)進(jìn)這批軸承的次品率是多少？

解設(shè)“取到的軸承是第i廠制造”為事件4。=1,2,3)“取出的一只軸承是次品”

為事件8.由全概率公式

P(B)=P(MA)P(A)+P(M&)P(4)+P(8|4)P(4)

其中2(A)=0.5,P(4)=0.3,P(Aj=0.2

P(B|4)=0.02,,尸(8|4)=0.03,P(A,)=0.04,

于是0(B)=0.02x0.5+0.03x0.3+0.(Mx0.2=0.027.

二、貝葉斯(Bayes)公式

在全概率公式中，我們將事件8視為“結(jié)果”，A，4,…，4則視為導(dǎo)致結(jié)果B發(fā)生

的“原因”.有時(shí)我們還想知道結(jié)果B的發(fā)生到底主要由什么原因引起，即需求P(a|B),

稱(chēng)之為驗(yàn)后概率.

在例1-17中，可將機(jī)床廠購(gòu)進(jìn)次品軸承視為“后果”，其“原因”來(lái)至三個(gè)軸承制造

廠的產(chǎn)品，為討論三個(gè)軸承廠的產(chǎn)品對(duì)這批軸承次品率的影響的大小，需要計(jì)算p(4忸)，

這時(shí)需要使用貝葉斯(Bayes)公式.

定理1-4設(shè)3為一事件且P(3)>0,事件A，4,…，4構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且

P(4)>o,i=l,2,…』,則有

.⑻二哄二：(柩)尸⑷.…)

尸⑻￡P(guān)(8|AJP(A)

7=1

證由條件概率公式,得

尸（4忸）=P(AB)

P(B)

又由乘法公式P（A8）二尸（8|A）p（A）,由全概率公式P（B）二支P（B|4）P（A）

;=|

將這兩個(gè)關(guān)系式代入上式，即得證.

例1-17繼續(xù)討論例1-17.若從機(jī)床廠購(gòu)進(jìn)的這批軸承中任取一只，這只軸承是次品，問(wèn)

此次品由每家軸承廠制造的概率分別為多少？

解計(jì)算P（A|B）,P（&⑻和P（A|8）,在例1口9中已經(jīng)計(jì)算出P（8）=0.027,

因此

P(A⑻一■(同A)尸(A)_o.02x0.5

111；P(B)0.027B0.370

P(B|A)P(.42)_0.03x0.3

P(&忸”。0.333

P(B)0.27

P(B|AjP(Aj0.04x0.2

P(4|8)=x0.297

P(B)0.27

作業(yè)安排及課后反思

習(xí)題三，P27-29,7,8,9

本講參考資料

本課程使用教材P19-22

第五講課時(shí)/課次：教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）

隨機(jī)變量的概念、離散型

2/5205-16-2

隨機(jī)變量

教學(xué)目標(biāo)

一、掌握隨機(jī)變量的概念

二、掌握離散型隨機(jī)變量的分布律

三、掌握常用的幾種離散型隨機(jī)變量

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)：

一、隨機(jī)變量的概念；

二、離散型隨機(jī)變量的分布律；

三、常用的幾種離散型隨機(jī)變量

重點(diǎn)：

離散型隨機(jī)變量的分布律；

難點(diǎn)：

隨機(jī)變量的概念

教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法

一、隨機(jī)變量的概念

對(duì)一隨機(jī)試驗(yàn)，其結(jié)果可以是數(shù)量性的，也可以是非數(shù)量性的.對(duì)這兩種情況，都可以

把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化.

例2-1設(shè)有10件產(chǎn)品，其中5件正品，5件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，問(wèn)這3件產(chǎn)

品中的次品數(shù)是多少？

例2-2在一批電子元件中任取一只測(cè)試，其使用壽命單位為h）是一個(gè)變量，它的

可能取值為［0,+8）上的任意實(shí)數(shù)，樣本空間為。=｛?｝二｛可3工0｝,則X可看作定義在

的函數(shù)

X=X（0）=o

例2-3擲一枚均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.

從上面例子中變量X的共同特點(diǎn)加以概括抽象，得出隨機(jī)變量的定義.

定義2-1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間。=｛。｝,如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)有一個(gè)

實(shí)數(shù)x（。）與之對(duì)應(yīng)，得到一個(gè)定義在C上的單值實(shí)值函數(shù)X（0）,稱(chēng)x（。）為隨機(jī)變量.

簡(jiǎn)記為X.

通?？梢园央S機(jī)變量分為兩種類(lèi)型：離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量，如果隨機(jī)變

量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則此類(lèi)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變后；反之，

為非離散型隨機(jī)變量，在非離散型隨機(jī)變量中最重要的并且應(yīng)用最廣泛的是連續(xù)型隨機(jī)變

量.下面將分別介紹離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.

二、離散型隨機(jī)變量的分布律

定義2-2如果隨機(jī)變量X的所有可能取值只有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)，則稱(chēng)X為離散

型隨機(jī)變量.

上節(jié)例2-1,例2-3中的隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，例2-2的隨機(jī)變量不是離散型隨

機(jī)變量.

定義2?3若隨機(jī)變量X的所有可能取值為外,當(dāng)，…占，…，事件｛X=5｝的概率為〃《,

則稱(chēng)

尸｛X=x&｝=0,4=1,2,???（2-1）

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律.

離散型隨機(jī)變量的分布律通?？蓪?xiě)成如下表格形式

X??????

x2

P??????

PlPiPk

顯然，關(guān)于凡，具有以下兩條性質(zhì)

(1)(非負(fù)性)PA20,左=1,2,…(2-2)

(2)(規(guī)范性)(2-3)

例2-4討論例2-1中隨機(jī)產(chǎn)品中次品件數(shù)X，它所有可能取值是0,123.則X的分布

律為

5

*x=o}=￡=看尸{X=1}=等=

5oINn

i

*X-2}_筍亮P{XT-短

-12

CIOlZCIO

三、常用的幾個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布

1.0-1分布8(1,p)

P{X=x}=p'(1—p)J,x=04(2-4)

常寫(xiě)成表格形式

X01

pp

1-p

其中則稱(chēng)X服從參數(shù)為〃的0-1分布.

2,二項(xiàng)分布

若隨機(jī)變最X的分布律為

P{X=A}=C；y(l—p尸次=0,1,2,…,〃(2-5)

其中〃為正整數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為修〃的二項(xiàng)分布，記為p)

例2-5從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,

并且遇到紅燈的概率都是173.

(1)設(shè)X為汽車(chē)行駛途中遇到的紅燈數(shù)，求X的分布律.

(2)求汽車(chē)行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.

解由題意，X?川6,,；),于是，X的分布律為：

(1)P{XWQ電1(Tk=0,1,…,6

(2)P{X>5}=P{X=5}+P{X=6}

3.泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量X的分布律為

2k

p{x=攵}=—"Z=o,l,2,….(2-6)

k!

其中2>0,則稱(chēng)X服從參數(shù)為2的泊松分布，記為X?P（2）.

例2-6,某市的120電話每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為5的泊松分布，求每分鐘接

到的呼叫次數(shù)大于4的概率

解設(shè)每分鐘120電話接到的呼叫次數(shù)為X,則X~P（5）,4=5

P{X>4）=1-P{X<4）

=l-(P{X=0}+P(X=l}+P{X=2}+P{X=3)+P{X=4})

5弓外

=1-?0.55952

I-noKk'?7

歷史上泊松分布是作為一項(xiàng)分。的近似引入的，在實(shí)際問(wèn)題中服從或近似服從泊松分。

的隨機(jī)變量也很常見(jiàn)，例如，一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，某地區(qū)發(fā)生的交通事故次數(shù)；一紡錠在某一

時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的斷頭數(shù)；一段時(shí)間間隔內(nèi)某放射物放射的粒子數(shù)：一段時(shí)間間隔內(nèi)某容器內(nèi)

的細(xì)菌數(shù)等等.

在二項(xiàng)分布的概率計(jì)算中，如果〃很大，計(jì)算量將十分大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)〃較大，

〃較?。ㄒ话阏f(shuō)來(lái)〃>20,〃<0.1）可以使用下列公式：

C?（"P廣；=""=0,1,2,…,〃（2-7）

其中

例2-7某人射擊的命中率為0.02,他獨(dú)立射擊500次，試求其命中次數(shù)不少于2的概

率.

解設(shè)命中次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X?5（500,,0.02）,所求概率為

P{X>2}=\-P{X<2}=l-P{X=0}-P{X=l}

其中A=np=10

IQO-10

P{X=0}=C?(x)(0.02)°(0.98)^?——k0.00004

0*

100-10

P{X=1(=0^(0.02)(0.98)499?-0.00045

因此P{X>2}?1-0.00004-0.00045=0.99951.

作業(yè)安排及課后反思

習(xí)題四，P46-48,1,2,57,11

本講參考資料

本課程使用教材P30-38

第六講課時(shí)/課次：教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）

隨機(jī)變量及分布函數(shù)，連2/6205-16-2

續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度

教學(xué)目標(biāo)

一、掌握隨機(jī)變量分布函數(shù)

二、掌握連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)點(diǎn)：

一、隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念；

二、隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)；

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度概念及性質(zhì)

重點(diǎn)：

分布函數(shù)的概念，概率密度概念

難點(diǎn)：

分布函數(shù)的概念，概率密度概念

教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法

一、分布函數(shù)的定義

定義2-4設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)XE（70,~F8）,令

F（X）=P{X<^}（2-8）

稱(chēng)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).

由分布函數(shù)方(力的定義可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)。力(avb)南

P{X<a}=F(a),

P{X>a}=\-F(a)

P[a<X<b}=P{X<b}-P{X<a}=F(b)-F(a).

因此，如果已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)/(x)就能確定X落在區(qū)間(。,目的概率.在這個(gè)意

義上，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

分布函數(shù)是普通的實(shí)值函數(shù)，起定義域?yàn)镵,值域?yàn)閇0,11通過(guò)分布函數(shù)，能夠用微積

分的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)變量.

二、分布函數(shù)的性質(zhì)

隨機(jī)變量X的分布函數(shù)尸⑺具有下列性質(zhì)

(1)(單調(diào)性)尸(x)是變量x的單調(diào)不減函數(shù)，即當(dāng)王</時(shí)，有/(力)<尸(%).

(2)(有界性)0WE(x)41(YO<X<+8),且

產(chǎn)(-00)=limF(x)=0,F(+oc)=limF(x)=l

X—>-XJX—>-WC

(3)(右連續(xù)性)一(力右連續(xù),即b(x+0)=b(力.

反之，若函數(shù)尸(“滿足性質(zhì)(1)?(3),則尸(可必是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

例2-8設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律如下表所示

X|012

~P050302-

求X的分布函數(shù)

解X的所有可能取值為0,1,2,而X￡(fO,~F8),這3個(gè)點(diǎn)將實(shí)軸分為4個(gè)部分

S，0),[0,1),[L2),(2,+oo]

當(dāng)(—8,0)時(shí)，事件{XWx}為不可能事件，因比"x)=P{XKx}=0

當(dāng)xw[0,1)時(shí),事件{X?x}={X=0},因此尸(x)=P{X4x}=尸{X=0}=0.5

當(dāng)[1,2)時(shí)，事件{XVx}={X=0}U{X=l},因此

F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+03=0.8

當(dāng)XE(2,+8]時(shí)，{X<x}={X=0}\J{X=]}\J{X=2},因此

F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=l}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=l

故

0,0

0.5,0<x<l

F(x)二

0.8,l<x<2

\,x>2

一般，設(shè)有離散型隨機(jī)變量X的分布律為

X

馬入

P

Pi…

PTPk

那么它的分布百3數(shù)為

0,x<x]

<x<x2

P]+P，X<X<Xy

-=.22

?(2-9)

?

P1+P2+…+"，￡

或簡(jiǎn)寫(xiě)為尸⑺二Z2(2-10)

其中工區(qū)表示對(duì)滿足土工人的一切下表k求和?離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯

./X

函數(shù)，分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn)，跳躍高度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值

的概率；

反之，如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，則該隨機(jī)變量必為離散型.

例2-9向［0,1］區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在［0,1］區(qū)間內(nèi)任一子

區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù).

解F(x)=P{X<x\?X是落在［0,1］內(nèi),Wxe(-oo,+co)

當(dāng)式<0時(shí)，{X4必二中,因此/(x)=P{X<%}=0.

當(dāng)OKxKl時(shí)，由題意可得{XKx}={0〈XKx},F(jr)=P{X<x}=Jlr

其中女為比例常數(shù).

當(dāng)X>1時(shí)，{X<x}=QzF（x）=P{X<x}=l

因?yàn)槭υ趚=l右連續(xù),所以尸（1+0）=尸（1）,故&=1

綜上所述，X的分布函數(shù)為

0,x<0

F（x）=，x,（）<x<1

l,x>1

廠（x）處處連續(xù).

從例2-9可看出尸（X）為連續(xù)函數(shù)，有別于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，下一節(jié)將討論連續(xù)

型隨機(jī)變量

三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義2?5設(shè)尸（X）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，如昊存在非負(fù)函數(shù)/（X）,使得對(duì)任意

X￡（YO,+O0）,都有

產(chǎn)（工）=匚/（，）力（2-11）

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)/（x）稱(chēng)為X概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度.

概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì)

（1）（非負(fù)性）/（X）>O;（2-12）

（2）（規(guī)范性）[：/。）公=1.（2-13）

可以證明，滿足上述兩條性質(zhì)的/（X）必是某一隨機(jī)變量的密度函數(shù).

定理2-1設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）,/（力依次為X的分布函數(shù)和概率密度，

則

（1）外力在（-00,+<?）上連續(xù)；

（2）在/（X）的連續(xù)點(diǎn)X處,F（x）=/（%）;

（3）X取任一實(shí)值得概率為零，即P{X=〃}=0

（4）若。<人，則

P[a<X<b}=P{a<X<b}=P{a<X<b}=P{a<X<b]

=F（/?）-F（?）=￡/（A-）6ZY

例2-10設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

,A,|A|<1

yj\-x2

0,

(1)確定常數(shù)。；

[11、

(2)X落在一一，一的概率:

I22）

(3)X的分布函數(shù)/（X）.

解⑴由概率密度的規(guī)范性，有

+1-jJ==-dLv=2?arcsinx.c71

n=2〃x——=TUI

002

1

所以a=—

7T

(2)

22)

2p.1fZr=-arcsinx22711

Jo=-X—=—

71兀463

717?0

當(dāng)工＜一1時(shí)，F(xiàn)（x）=j'0Jr=0

當(dāng)一IKxvl時(shí)，F(xiàn)(x)=j'f(x)dx

f01冗

=|0dx+6Z￥=-(arcsinx+-

J-00

TJ1-工22

當(dāng)了之]時(shí)，F(xiàn)lx)=￡=￡O^r+—/公+「0公=1

VT7J,

所以X的分布函數(shù)

0,x<-l

尸(x)=?-arcsinx+-,-l<x<l

712

1,x>]

作業(yè)安排及課后反思

習(xí)題四，P46-48,3,12,13,15

分布函數(shù)，分布律，概率密度三個(gè)概念的區(qū)別聯(lián)系

本講參考資料

本課程使