《高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 第3版》 劉金林 習(xí)題及答案 第3章（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）習(xí)題解答

習(xí)題解答

習(xí)題3.1

1.驗(yàn)證羅爾定理本函數(shù)/(x)=xln(2—幻在區(qū)間［0,1］上的正確性.

解:因?yàn)?(x)=xln(2-工)在區(qū)間［0J上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

/(0)=/(I),所以由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)4￡(0,1)，使得

re)=in(2-g)-1=o.

2-4

X

而/'(x)=ln(2—x)--=知/'(0)=1112>0,/71)=-1<0,由連續(xù)函

2-x

數(shù)的介值定理知，確實(shí)存在自￡(0,1)使得re)=ln(2—J)-一三二0.

2g

2.證明對(duì)函數(shù)/(X)=px2+/+，?在區(qū)間［%,廝+?］上應(yīng)用拉格朗

日中值定理時(shí)所求得的〈總是位于區(qū)間［%,而+入門(mén)的中點(diǎn).

2

證明：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=px+辦+廠在閉區(qū)間［%,玉)十八月上連續(xù),在

開(kāi)區(qū)間“0，/+-)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)

(x0,x0+Ar)，使得/(公+?)-/(%)=/'(。)叔，即

22

［p(x0+Ax)+q(x。+Ax)+r］-［px0+qx0+r］=Qpg+q)\x.

化簡(jiǎn)上式得：

Ar

［〃(2Xo+Ax)+q］=2〃J+4，故€=/十5.

3.函數(shù)/。)=/送(用=/+］在區(qū)間化2］上是否滿足柯西中值定

理的條件？若滿足條件，求出定理中的

解容易驗(yàn)證/(x)=J,g(x)=x2+］在區(qū)間［1,2］上滿足柯西中值定

理的條件.

而/⑵-/⑴J?

又f(x)=3x2,gf(x)=2x即

g⑵—g⑴g'G)

23-13_3^2化簡(jiǎn)上式得：L=%,故&=匕

22=

(2+1)-(1+1)^7329

4.不用求出函數(shù)/(用的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程/'(幻=0有幾個(gè)根？并指出

它們所在的區(qū)間.

(1)/(x)=(x—l)(x—2)(%—3)(%—4)

解容易驗(yàn)證/*)在區(qū)間［1,2］上滿足羅爾定理的條件，因此存在

。w(l,2)為了'(x)=0的根；類(lèi)似地/(X)在區(qū)間［2,3］、［3,4］上也滿足羅

爾定理的條件，因此分別存在(2,3)、4￡(3,4［為/'")=0的根.由

于/'*)得最高次數(shù)為3,因此/'。)=0只有三個(gè)根.

(2)/(x)=exsinx

解容易驗(yàn)證/(x)=e'sinx在區(qū)間［〃乃,(〃+1)萬(wàn)|上滿足羅爾定理的

條件，因此存在4￡(〃7,5+1)/)為/'(幻=0的根(無(wú)數(shù)個(gè))；其中

7?=0,±1,±2,.

5.設(shè)實(shí)數(shù)4，q,…，?！M足〃0+&?+&■+…+烏一=0,證明方

23〃+1

2

程/+a1x+a2x+…+a〃x”=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

證明：作輔助函數(shù)f(x)=4/+幺/+&丁++衛(wèi)五川，則fQ)

23n+\

在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(0)=0,

/(1)=4+"+&++—=0.所以/.(1)滿足羅爾定理的條件.乂

237?+1

2

f\x)=a()+a］x+a2x+.?+altx"?由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)

&￡(0,1)使得((4)=0.即方程&+。3+生/+…+4/"=0在

(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

6.利用中值定理證明下列不等式：

(1)arctana-arctanb<a-h(0<Z?<tz)；

證明⑴設(shè)/(x)=arctanx,則於)在仍，a］上連續(xù)，在(b,a)內(nèi)可導(dǎo)，由

拉格朗日中值定理，存在全(瓦。),使

j(a)-fib)=ff(^(a-b\即arctana-arctanb=丁二(。一〃)，

而0<—二<1,所以aretcina-arctanb<a-b.

l+T

(2)〃b"-'(a-b)<an-bn<〃優(yōu)”(a-b)(0<b<a,〃>1)；

證明(2)設(shè)凡則/U)在阻上連續(xù)，在(Ea)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日

中值定理，存在"3,〃)、使

Aa)-f(b)=ff^(a-b\即惦〃」3-母

因?yàn)閚bn-\a-b)<n^n-\a-b)<iuf-\a-b),

所以汕"」(a-b)<an-bn<na,vA(a-b).

/c、工2一項(xiàng)八一M〃、%、

(3)一,<tanx2-tanx}<-、(0<內(nèi)〈占〈一)；

cos'$~cos"x2~2

證明(3)設(shè)/(x)=tanx,則/(x)在［內(nèi)，二連續(xù)，在(X，/)內(nèi)可

導(dǎo)，由拉格朗日中值定理,存在炎(王，士)，使

)-/(%)=廣-仙

即tanx-tan玉=———(馬一玉)，

2cos'J~

222

cosX]cos百cosx2’

XX

LL22~\與L小萬(wàn)、

所以0＜tanx2-tanx[＜-（0＜項(xiàng)＜%，＜一）.

cos--cosx2~2

(4)ex>ex(x>1).

證明(4)設(shè)，(力=，，則f(x)在［1,劃上連續(xù)，在(1,x)內(nèi)可導(dǎo)，由

拉格朗日中值定理，存在"(1,x),使

fM-/(l)=r?)(x-1),即：產(chǎn)一e=4(》一1),

因?yàn)樗?>c,從而

ex-e>e(x-1)=ex-e

所以ex>ex(x>1).

7.(1)證明：arcsinx+arcco&￥=—(-1<x<1)；

2

證明設(shè)/(x)=arcsinx+arccosx,因?yàn)?/p>

f\x)=,——J三0,(-1<x<1)

所以/(x>C,其中C是一常數(shù).取x=0,得到

/(O)=arcsin0+arccos0=0+—=—；

又/(-1)=arcsin(-1)+arccos(-1)=-y+^=y，

7171

/(I)=arcsin1+arccos1=—+0=—

22

71

因此arcsinx+arccosx=—(-1<x<l)；

2

(2)若在區(qū)間(a,b)內(nèi)有/'(x)=g'(x),證明在此區(qū)間內(nèi)

f(x)=g(x)+C(C為任意常數(shù)).

證明:設(shè)尸(x)=/(%)-g(x),因?yàn)?/p>

FXx)=/'")-g'。)三0,所以F(x)三C,其中。是一常數(shù).

因此/(x)=g(x)+C(C為任意常數(shù)).

8.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且

/U|)=f(X2)=/(x3)?其中。＜為＜冗3＜6，證明：至少存在一

點(diǎn)欠（再，為），使得廣?=0.

證明：由題意可知/（x）在區(qū)間值,%］上連續(xù)，在（X，%）內(nèi)可導(dǎo)，且

/（為）=/（電）?由羅爾定理，存在。￡（X|，W），使/'（。）=。.類(lèi)似地也

存在$￡（外，丹）,使尸（$）=0.進(jìn)一步,可知/（功在區(qū)間/使21上滿

足羅爾定理?xiàng)l件，因此存在專(zhuān)￡?,乙）（=（3,&），使得/〃e）=o.

9.設(shè)函數(shù)/（X）在閉區(qū)間m/i上滿足羅爾定理的條件，且/（幻不恒

等于常數(shù)，證明：在（。，坊內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得了‘（4）>（）.

證明：因?yàn)?（〃）=/（》），且/（X）不恒等于常數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)

c￡（a,b）,使得

/⑹//（。）=/S）.不妨設(shè)/⑹>/（〃）=/（〃），顯然/0）在閉區(qū)間

［。工］上滿足拉格朗日中值定理，于是至少存在一點(diǎn)?！辏?,c）u（。,》），使

得

（?JO/⑷〉0.

c-a

同理可證/（c）<f（a）=f（b）的情形.

10.設(shè)函數(shù)/（幻在閉區(qū)間［。,回上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（。,。）內(nèi)可導(dǎo)，且

/（〃）=/0）=0,證明：至少存在一點(diǎn)自￡（。，力，使得

/?+"C）=0.

證明：設(shè)2X）=T/（X）,顯然尸。）在閉區(qū)間&切上滿足羅爾定理,

于是至少存在一點(diǎn)4￡（。,切，使得/’修）=0,而尸（x）=/3+M7x），

從而/c)+4re)=o.

11.設(shè)函數(shù)/(X)在閉區(qū)間僅，加上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(。泊)內(nèi)可導(dǎo)

(0<a<b),證明：至少存在一點(diǎn)4￡(。，。)，使

—=守?)1*.

a

證明：令g(x)=lnx,易見(jiàn)/(x)、g(x)在閉區(qū)間［。乃］上連續(xù),在開(kāi)

區(qū)間(出〃)內(nèi)可導(dǎo)，且,(X)=LHO,因此f(x)、g(x)滿足柯西中值定

X

理，于是至少存在一點(diǎn)4￡(凡〃)，使得干也)小1)二斗豆.即

g(b)-g(a)g(J)

a

12.證明：若函數(shù)/(x)在(一8,+8)內(nèi)滿足關(guān)系式/")=/(?,

且/(0)=1,那么/(力=".

證明：作輔助函數(shù)F(x)=""(x),易見(jiàn)尸(X)在(一8,+00)內(nèi)連續(xù)可

導(dǎo)，并且

F(x)=""'(x)—""(X)三0,

所以尸(幻三C,其中C是一常數(shù)，即""(x)=C,/(x)=CZ.又由

/(0)=1知C=l.所以

f(x)=ex.

13.假設(shè)函數(shù)/(x)在x=。的某鄰域內(nèi)具有〃階導(dǎo)數(shù)，且

/(0)=/'(0)=…=丁”7(0)=0,試用柯西中值定理證明：

一/("(0<^<1).

x"/?!

證明：已知/（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有〃階導(dǎo)數(shù)，在該鄰域內(nèi)任意

取一點(diǎn)x,由柯西中值定理得

/*）=/（劃一/（0）=八"

其中。介于之間.

/~Xr~0H—〃端-0/

又了?)./'?)-八0)—尸C)

其中&介于之間?

譚t〃(久-_0。)n(n-l)^-2Q4

依此類(lèi)推，得

C〃T）_《1）一/（'1）（。）_

其中S介于0&I之間.

〃喝i一叫心一0）-加

記多二夕￥（0＜。＜1）,因此/'”）（&）=/""（6x）（0＜夕＜1）.

xn〃！n\

習(xí)題3.2

1.利用羅必達(dá)法則求下列極限:

(1)limg-%("0)；

J,y/x-y/a

1

解：原式=lim3y=——=.

f13

2y[x

sinx-sina

(2)lim----------

fx-a

丘〃h—cosx

解：原式=hm----=cosa.

x->a|

/c、..ln(l+x)-x

(3)hm------——；

1。COSX-1

—1

解：原式=lim±H—=lim——-——=lim---=1.

so-sinxv->0(l+x)sinx(l+x)x

…「Insinx

(4)hm------------r

喈(%一2x)2

解：原式=lim—————=-lim~CSCX=--

一四2(4一2幻?(-2)4..￡28

22

,「、1.ln(l+x2)

(5)lim-----------

secr-cosx

2x

解：原式=lim-----上匕2------

10secxtanx+sinx

x..cos2x..2,

==lim-----lim------——lim----7=1.

sinxJ。1+cos-xio1+x"

.Insin3x

(6)ltim-------

1。+Insinx

3cos3x

解：原式=同皿工=3lim竺漢包￡

x>o+cesx1->o*sin3xcosx

sinx

sinxcosx,

=3lim-----=3lim-------=1.

—o'sin3xXTO*3cos3x

z_...x+x2+…+x"一〃

(7)hm------------------

ix-1

l+2x+3x2+〃x"T,3

解：原式二hm-------------------=1+2+

,V->11

(8)limInx-ln(x-1)：

x->r

1

s..In(x-l)

解：原式=hm：---=hm-^~

x->r1XT1——1

Inxxln2x

Ain2xIn2x+2\nx八

=-lim------=-lim------------=0.

fx-1I'I

2

(9)limx(ex-1)

.V—>0O

22

ex-(-------)2

exiH

解：原式=lim---=lim-----—=limex-2=2

A->X1X->001KT8

AX2

(10)lim(-----)；

ax-l\nx

解:原式=lim巫上=]im一見(jiàn)J

-(DEXiinx+d)，

x

xlnxlnx+11

=hm-----------=hm---------=—

xlnx+(x-l)Ilnx+1+12

K

cos-X

(11)lim(l-x)2；

.r->r

cos-Aln(l-i)limcos-xln(l-v)

解：原式二lime2;「，又

..乃i/[、「In(l-x)2..i_v

hmcos—xln(l-x)=hm-------=——hm-------------

2x->l_7tjrx->l-717t

sec—xsec—xtan—x

222

2TC

ccos-—X

"im------2_

乃,f(l-x)sin^x

c71.71

2cos—xsin—x

=lim----------------------

x->r.71、7l71

-sin—Z(11-x)—cos—x

所以，原式=e°=l.

___i_

(12)limW-D

xf0+

InxInx

-----------Inn-----------

解：原式=limJnM-D=eD+ln(/-l),又

x->o+

\nx「v

hm-------=hm——

-o+In(，-1)D-ex

p*-I1pJ

lim--=lim---=1,

XTO'xeAXTO,ex+xex

所以，原式=/=e.

(13)lim(-),anv；

10'X

-limtanxlnx

解：原式五e(cuò)-,又

1

,,,「Inx

limtanxlnx=lim-----=lim——^―

.v->0*COtXXTO--CSC'X

sin".v_2sinxcosx八

=-hm-----=-lim------------=0,

XTO'xA->O+1

所以，原式=e°=l

(14)lim(l+x)cct2^；

x70

解：原式s.rin,、l>mcot2Aln(l+x)

=limeM2xln(l+.r)=0go，又

A-->0

1

..C1八、「ln(l+x)￡

limcot2xln(l+x)=lim-J---i--m--葉x

ioX->Otan2x2msec-2x2

所以，原式=&

72XJ.

1-Y-€~

(15)lim-----------

a。sin42x

2.2.2

解：原式二lim'—=lim~X+X^'=limX(e"~1)

D4sin2xcos2xD4siir2xr->o4sinlx

x*(—x2)1

=lim-------=----.

.D4(2X)332

3

(16)lim(2A+3X+5V)-V；

X->+8

3

lim-ln(2x+3x+5x)

-ln(2v+3x+5v)

>4*00X

解：原式:limex

.V->4-o0

3

lim-ln(2x+3v+5v)

XT+00X

cr2-2+3—3+575

=3lim-----------------------

x*2、+3、+5、

23

(-)rIn2+(-/In3+In5

=3lim---------------------------=31n5,

…令+("

所以，原式=*5=125.

,.1

x~sin—

2.驗(yàn)證極限lim-------工存在，但不能用羅必達(dá)法則計(jì)算出來(lái).

-0sinx

2.1

x1廠,in一

解：原式二lim—^?limxsin—=l-O=O,所以，極限lim--------工存

￥-*°sinx3。xiosinx

在.但是

(x2sin—)z2xsin--cos—

Iim--------=lim----------..........-

(sinx)"cosx

不存在，不能用羅必達(dá)法則.

皿用

3.設(shè)/")=，x'，其中g(shù)(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，并且

0,x=0

g(0)=g'(0)=0,g〃(0)=a，求廣(0).

g(x).

解：/(0)_lim/⑴-/⑼=|ini------=lim^2

A->0X—0KT。X—0KT。X~

==-limg，M-g，(0)=-gff(0)=-a.

X2x2i0x-022

習(xí)題3.3

1.將多項(xiàng)式/(外=/-5/+2工+4展開(kāi)成x-3的多項(xiàng)式.

32

解:因?yàn)?(3)=-44,r(3)=(4x-15x+2)|x=3=-25

/〃⑶=(12/_30x)lz=18,〃⑶=(24x-30)lz=42,

廣）⑶=24

所以/（幻二/一5戈3+2工+4按十一3的品展開(kāi)的多項(xiàng)式為

=/(3)+/(3)(x-3)+(x-3/+(x-3>+與詈(x-3)4

/>?J?I?

=-44-25*-3)+9。-3尸+7(x-3)3+(x-3)4

2.應(yīng)用麥克勞林公式，按x的得展開(kāi)函數(shù)/(x)=(f-3x+l)3.

22

解：因?yàn)?(0)=1,f\0)=[3(^-3x+1)(2J-3)]|x=0=-9

/'"(0)=[6(X2-3X+1)(2X-3)2+6(X2-3X+1)2]|廠。=60,

2

r(0)=[6(2x-3尸+36(x—3x+l)(2x-3)]|v_0=-270,

(4)2

/(0)=172(2x-3)+72,-3x+1)1|x=0=720,

/⑸(O)=[288(2x-3)+72(2x-3)]|“o=-1080,/⑹(0)=720

所以按x的事展開(kāi)的多項(xiàng)式為

/(X)=(X2-3X+1)3

=/（。）+八。）》專(zhuān)為+空八/⑸(0)4玉+.必6

4!5!6!

=l-9x+30/-45/+3(1?_9x5+x6

3.求函數(shù)/（幻=5缶21的2〃階帶有拉格朗E型余項(xiàng)的馬克勞林公

式.

解：因?yàn)?(x)='-'cos2x,從而

22

￡,、22^In-l

—X4+—X64-..+(-l)，，-，-------

?4!6!(2〃)！

22ncos[20x+(2n+l)-]

2r2?+l(o〈e〈i)

(2n+l)!

4.求函數(shù)/(x)=arcsinx的帶有拉格朗口型余項(xiàng)的3階馬克勞林公

式.

9x15x3

(4)

/(x)=(13嚴(yán)(14產(chǎn)

從而/(x)的3階馬克勞林公式為

L/⑷(公)4

/(x)=/(0)++I人r

-+Z32)X3

139(夕()+6(。X)34

=x+-AT----------1rX(0<6><1)

3!4![1一(以)2『2

5.求函數(shù)/(X)=Inx按無(wú)-2的事展開(kāi)的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的〃階泰

勒公式.

解：因?yàn)?(”)*)=(T)〃[”—"J⑺(2)=?(一1尸5-1)!

x2n

所以Inx=/⑵+/'(2)(x-2)+3—21+空3++

q^(x-2)〃+a(x—2)〃]

n\

=ln2+"2T(x-2了+21—+

22-3-23

彳品。-2)〃+如-2)〃].

6.求函數(shù)/(x)=xer的帶有皮爾諾型余項(xiàng)的〃價(jià)馬克勞林展開(kāi)式.

解：因?yàn)?⑺(％)=(〃+x)，，f")(O)=%從而

M=/（o）+r（o）x+與之2

=x+x1+-X3+---+——!——x"+o(x)n.

2!(〃-1)!

7.求常數(shù)A。、％、&的值以及R(x)的表達(dá)式，使下式成立

1

----=%+A(4+1)+A)(x十7十R(x).

x+2

解：設(shè)/(幻=一，則")(幻=>察7,/(-1)=1，

x+2(x+2)

r(-i)=-i,r(-i)=2,r(-n=-6,

所以~^—=/(—1)+r(-D(x+l)+(x+1)?+R(x)

x+22!

=l-(x+l)+(x+l)2+/<(x)

因此4=1,/4|=-1,A2=1,

蛆）=工-1+。+1）-（冗+1）2=-立2

x+2x+2

8.應(yīng)用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差:

（1）^30：（2）In1.2；（3）sin18°

解：（1）因?yàn)?（幻=后7=（1+幻3

3981

-(--1)(--2)(1-3)

6(幻=33+3（1+》、,介于0,x之間）,

1.

所以

3l+-?---(-)2+—(-)3?3.10724,

3999819

-(--0(--2)(--3)i_]

-2-^——2-----——(1+)4(1)4,（J介于0,g之間），因此

N=4!9

1(1-晨-2)(1-3)匚[

80

333(1+方針<“88x10-5.

4!-3"

(2)In1.2；

解：(2)因?yàn)?(x)=ln(l+x)=工一(/

&(x)=_：d.(]+[)「(J介于O,x之間)，所以

inl.2=ln(l+0.2)=0.2---0.22+-0.23?0.18267,而

23

|用=---0.24-------rlK—0.24=4xIO”.

114(i+a4

(3)sin18°；

TT

isinC+4?不)

34

解：(3)因?yàn)?(x)*sinx=元---x,Z?3(x)=------j~—x,

(J介于0,尢之間)，

所以sinl8()=sin—?—)3?0.3090,

10103!10

sinQ+4-gjr)

國(guó)=---------2-(—)4<-(—/?IJxlO-4.

4!-104!10

9.利用麥克勞林公式求下列極限

一、1.ersinx-x(14-x),八「e2'-cosA/?

(1)lim---------------；(1)hm---------------

?sojrsinx―。x

解：（1）用帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，得

exsinx-x(l+x)

I比33

gd+o(九3)]

「e'sinx-x(l+x)

lim---------------=lim

5x~sinx工->°X3

（2）用帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，得

e于-cos-/?

=(1-—X3H——--X6+(7(X6))-(1--X3+—X6+6>(X6))

24-2!2!4!

=—x6-—X6+^(A6)=—X6+O(X6)

4-2!4!12

高%+。，)

1

=——；----

Z。X612

習(xí)題3.4

1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（1）y=3x-x3；

解：（1）函數(shù)y=3x-x3的定義域?yàn)閄￡（-oo,+8）,且

y=3-3x2=3（l-x）（l+x）,令y'=0,得駐點(diǎn)玉=-1,々=1,列表得

X(-8,-1)-1(-1,1)1(1,-HO)

y一0+0一

y/

可見(jiàn)函數(shù)在［1,內(nèi))內(nèi)單調(diào)減少，在［-1,1］內(nèi)單調(diào)增加.

(2)y=-^r；

1+廠

X1—Y2

解：(2)函數(shù)y=-r的定義域?yàn)?￡(-8,+8),且y=----號(hào)

\+x~(1+%~)

令y'=0,得駐點(diǎn)%=-］,毛=1，列表得：

X-1(-1,1)1(…)

y—0+0—

y/

可見(jiàn)函數(shù)在(-8,7］、［1,+8)內(nèi)單調(diào)減少，在［-1,1］內(nèi)單調(diào)增加.

8

(3)y=-F-inx；

.3

Q1

解：(3)函數(shù)y=-/一Inx的定義域?yàn)閤e(0,+8),且y'=8f——,

3x

令y'=0,得駐點(diǎn)x=1,列表得；

2

X(0,1/2)1/2(1/2,-KX)

y—0+

/

所以函數(shù)在(0,1⑵內(nèi)單調(diào)減少，在［1/2,+8)內(nèi)單調(diào)增加.

(4)y=hx-x2；

解：(4)函數(shù))=而=7的定義域?yàn)閄￡［0,2］,且,=,

y］2x-x2

令y'=0,得駐點(diǎn)x=l,列表得：

X(0,i)i(1,2)

y+0—

y/

所以函數(shù)在［。，I］內(nèi)單調(diào)增加，在［1,2］內(nèi)單調(diào)減少.

(5)y=(x-l)(x+l)3；

解：(5)函數(shù)》=(x-l)(x+l)的定義域?yàn)閄￡(YQ,+8),且

令y'=0,得駐點(diǎn)玉二-1,W=g，列表得：

y=2(2x-l)(x+l)2,

X-1(-1,1/2)1/2(1/2,+oc)

y—0—0+

yXX/

可見(jiàn)函數(shù)在（70,1/2］內(nèi)單調(diào)減少，在［1/2,+00）內(nèi)單調(diào)增加.

（6）y=x-2sinx（0<x<2/r）；

解：（6）函數(shù)y=x—2sinx的定義域?yàn)閤w［0,27］,且

3333

(7)y=yl(2x-a)(a-x)2(a〉0)；

解：(7)函數(shù)y=一a)(a—x)?(a>0)的定義域?yàn)閄W(TO,+QO),

2(%-，)9

且)/=]--------、，?令y'=0,得駐點(diǎn)玉=7。，另外

q(2x-a)2(x-a)3

—為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn).列表得:

a（￡即）2a仔,〃）

Xs,a(4,+8)

2T

y+不存在+0—不存在+

y//X/

可見(jiàn)函數(shù)在（口，［4+8）內(nèi)單調(diào)增加，在［一，0內(nèi)單調(diào)減少.

3

(8)y=(x-\)x3；

2

5尤-2

解：(8)函數(shù)y=(、-1)爐的定義域?yàn)閤w(-8,+8),且y'二

3近

2

令y'=0,得駐點(diǎn)再=y,另外馬=0為函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn).列表得:

(0,1)2(2,+8)

X0

So)55

y+不存在—0+

y、0/

22

可見(jiàn)函數(shù)在(-8,0］,+8)內(nèi)單調(diào)增加，在10,礦內(nèi)單調(diào)減少.

2.證明下列不等式：

(1)當(dāng)x>l時(shí)，2>3—；

x

證明：(1)設(shè)f(x)=26-3+1，則/⑶在［1,+8)內(nèi)連續(xù).因?yàn)?/p>

X

\jx廣

所以/(幻在(1,內(nèi))內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)冷1時(shí)/㈤y⑴=0,即

2Vx-3+->0

x

亦2A>3--.(x>0)

x

JI2

(2)當(dāng)0<x<一時(shí)，一R<sinx<x；

271

證明：(2)設(shè)/(x)=x-sinx,則/(幻在［0,兀⑵內(nèi)連續(xù)，在(0,兀/2)內(nèi)

可導(dǎo).因?yàn)?/p>

//(x)=l-cosx>0

所以/'(幻在(0,兀/2)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)A>0時(shí)/⑴葉(0)=0,即

sinx<x.

?inx2

再設(shè)g(x)=-_——,則g(x)在(0H2)內(nèi)可導(dǎo),并且

x兀

，/、ACOSx-sinxcosx(x-tanx)八

g(x)=------;-----=-----------v。

XX

7T

所以g⑴在(0,兀⑵內(nèi)是單調(diào)減少的，從而當(dāng)0<x<5?時(shí)，有

7t

g(x)>g(不)=0,即

sinx2.2.3]“Ar,"八7tj.

---->—,亦?—x<sinx.綜上所敘：當(dāng)0cx<一時(shí)，有

X71n2

2

—x<s\nx<x.

71

(3)當(dāng)x>0時(shí)，ln(l+x)>arctanx.

1+x

證明：(3)設(shè)/(x)=(l+x)ln(l+x)-arctanx,貝Uf(x)在[0,+oo)內(nèi)連

續(xù).因?yàn)?/p>

x~

/。)=ln(l+x)+----->0

1+x

所以/(X)在(0,+oo)內(nèi)是單調(diào)增加的，從而當(dāng)人>0時(shí)/(力?\0)=0,即

(1+x)ln(l+x)—arctanx>0

arctanx

亦l(xiāng)n(l+x)>(x>0)

1+x

(4)當(dāng)0cxe至?xí)r，tanx>x+-x3；

23

證明：(4)設(shè)/(x)=tanx—x-gi,則/⑴在［o,兀⑵內(nèi)連續(xù).因?yàn)?/p>

/r(x)=sec2x-i-x2=tan2x-x2=(tanx-x)(tanx+x),

令g(x)=tanx-x,山g'(x)=sec2x-l=tanx>?？芍猤(x)在[0,K/2)

是單調(diào)增加的，

即g(x)=tanx-x>g[O)=O.從而/'(x)>。，xe(O,y),于是/(x)在

TTTT

[0,兀/2)內(nèi)是單調(diào)增加的，有/(x)>/(0)=0,XG(0,-).即當(dāng)0cx〈一

22

時(shí)，tanx>x+-x3.

3

(5)當(dāng)x〉4時(shí)，x2<2V；

證明：(5)設(shè)/(1)=/ln2—21n/,/w[4,x],因?yàn)?/p>

￡“、[c2In42Ine2八

f⑺=ln2——>------>-------=0,

r2424

故當(dāng)x>4時(shí)，f(x)單調(diào)增加，從而/(x)>/(4)=0,即

xln2-21nx>0,

亦即x2<T,(x>4).

⑹當(dāng)加、〃為正整數(shù)，且IvmVAi時(shí),(1+〃?)”>(1+〃)'".

證明：(6)設(shè)/(幻Jna+x),則/(無(wú))在Ovx<+8上連續(xù)，且

X

X

:。)=ln(1+X)1=――2-----，令g*)=-T---ln(l+戈)，

x」x21+x

V

由g，(x)=k--ln(l+x)=-!—7--!—="9<0

可知g(處在(0,+9)是單調(diào)減少的，即ga)<g(o)=o.從而

f\x)<0,X￡(O,+8),于是在(0,+00)是單調(diào)減少的.因此當(dāng)加、n

為正整數(shù)，且1V"ZV〃時(shí)，有

ln(l+/?7)〉ln(l+〃)

mn

亦即(1+6)”>(1+〃尸.

x

3.設(shè)常數(shù)2>0,討論方程Inx=-—女在(0,+8)內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

e

解：設(shè)/*)=lnx-2+A,則/(x)=2"—令/(灼=0,得駐點(diǎn)

exe

x