2014年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)Ⅰ）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù) B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù) C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù) 【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專(zhuān)題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)，故C正確．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．4．（5分）已知F為雙曲線(xiàn)C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為（）A． B．3 C．m D．3m 【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，一條漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得結(jié)論．【解答】解：雙曲線(xiàn)C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化為，∴一個(gè)焦點(diǎn)為（，0），一條漸近線(xiàn)方程為=0，∴點(diǎn)F到C的一條漸近線(xiàn)的距離為=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，共有24=16種情況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)，共有24﹣2=16﹣2=14種情況，∴所求概率為=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型，是一個(gè)古典概型與排列組合結(jié)合的問(wèn)題，解題時(shí)先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線(xiàn)OA，終邊為射線(xiàn)OP，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)OA的垂線(xiàn)，垂足為M，將點(diǎn)M到直線(xiàn)OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3P：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意長(zhǎng)度、距離為正，再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可得到f（x）的表達(dá)式，然后化簡(jiǎn)，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，∴點(diǎn)M到直線(xiàn)OP的距離表示為x的函數(shù)f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期為T(mén)=，最大值為，最小值為0，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查二倍角公式的運(yùn)用．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專(zhuān)題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序，直到不滿(mǎn)足條件，計(jì)算輸出M的值．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循環(huán)M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循環(huán)M=+=，a=，b=，n=4．不滿(mǎn)足條件n≤3，跳出循環(huán)體，輸出M=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序是解答此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．8．（5分）設(shè)α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值．【專(zhuān)題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】化切為弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由該等式左右兩邊角的關(guān)系可排除選項(xiàng)A，B，然后驗(yàn)證C滿(mǎn)足等式sin（α﹣β）=cosα，則答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴當(dāng)時(shí)，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，訓(xùn)練了利用排除法及驗(yàn)證法求解選擇題，是基礎(chǔ)題．9．（5分）不等式組的解集記為D，有下列四個(gè)命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；7A：二元一次不等式的幾何意義．【專(zhuān)題】59：不等式的解法及應(yīng)用；5L：簡(jiǎn)易邏輯．【分析】作出不等式組的表示的區(qū)域D，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：作出圖形如下：由圖知，區(qū)域D為直線(xiàn)x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域，p1：區(qū)域D在x+2y≥﹣2區(qū)域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直線(xiàn)x+2y=2的右上方和區(qū)域D重疊的區(qū)域內(nèi)，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確；p3：由圖知，區(qū)域D有部分在直線(xiàn)x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯(cuò)誤；p4：x+2y≤﹣1的區(qū)域（左下方的虛線(xiàn)區(qū)域）恒在區(qū)域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯(cuò)誤；綜上所述，p1、p2正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題．10．（5分）已知拋物線(xiàn)C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線(xiàn)PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若=4，則|QF|=（）A． B．3 C． D．2 【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得直線(xiàn)PF的方程，與y2=8x聯(lián)立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：設(shè)Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨設(shè)直線(xiàn)PF的斜率為﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直線(xiàn)PF的方程為y=﹣2（x﹣2），與y2=8x聯(lián)立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考點(diǎn)】53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類(lèi)討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點(diǎn)，故不成立；③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒(méi)有零點(diǎn)；而當(dāng)x=時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A．6 B．6 C．4 D．4 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長(zhǎng)，推出結(jié)果即可．【解答】解：幾何體的直觀(guān)圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為：4，∴．AC==6，AD=4，顯然AC最長(zhǎng)．長(zhǎng)為6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的棱長(zhǎng)，考查計(jì)算能力．二、填空題（共4小題，每小題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為﹣20．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】由題意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，項(xiàng)的系數(shù)，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展開(kāi)式中，含xy7的系數(shù)是：8．含x2y6的系數(shù)是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為：8﹣28=﹣20．故答案為：﹣20【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市；由此可判斷乙去過(guò)的城市為A．【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專(zhuān)題】5M：推理和證明．【分析】可先由乙推出，可能去過(guò)A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一個(gè)，再由丙即可推出結(jié)論．【解答】解：由乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市，則乙可能去過(guò)A城市或B城市，但甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市，則乙只能是去過(guò)A，B中的任一個(gè)，再由丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市，則由此可判斷乙去過(guò)的城市為A．故答案為：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的合情推理，要抓住關(guān)鍵，逐步推斷，是一道基礎(chǔ)題．15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若=（+），則與的夾角為90°．【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專(zhuān)題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用圓直徑的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【解答】解：在圓中若=（+），即2=+，即+的和向量是過(guò)A，O的直徑，則以AB，AC為鄰邊的四邊形是矩形，則⊥，即與的夾角為90°，故答案為：90°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角的計(jì)算，利用圓直徑的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，結(jié)合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：因?yàn)椋海?+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因?yàn)椋篴=2，所以：，△ABC面積，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相減即可得出；（Ⅱ）假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．則λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是，解得λ=4．此時(shí)可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}為等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、分類(lèi)討論的思想方法，屬于難題．18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用戶(hù)從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CP：正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運(yùn)用所給數(shù)據(jù)；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運(yùn)用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算能力．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考點(diǎn)】M7：空間向量的夾角與距離求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，進(jìn)而可得AC=AB1；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長(zhǎng)度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，∵側(cè)面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長(zhǎng)度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），設(shè)向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，建立坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．20．（12分）已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)；KH：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合．【專(zhuān)題】5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）通過(guò)離心率得到a、c關(guān)系，通過(guò)A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線(xiàn)方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由條件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線(xiàn)l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即時(shí)，從而又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設(shè)，則t＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±等號(hào)成立，且滿(mǎn)足△＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處得切線(xiàn)方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【專(zhuān)題】15：綜合題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出定義域，導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價(jià)于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只需證明g（x）min＞h（x）max，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴l(xiāng)nx＞﹣，∴f（x）＞1等價(jià)于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．【考點(diǎn)】NB：弦切角；NC：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段．【專(zhuān)題】15：綜合題；5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）利用四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，證明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，進(jìn)而可得∠A=∠E，即可證明△ADE為等邊三角形．【解答】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直線(xiàn)MN上，∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M