2015年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（湖北）（解析卷）

第頁|共頁一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.為虛數(shù)單位，的共軛復(fù)數(shù)為（）A．B．C．1D．【答案】A【考點定位】共軛復(fù)數(shù).【名師點睛】復(fù)數(shù)中，是虛數(shù)單位,.2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【答案】B【考點定位】用樣本估計總體.【名師點睛】《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種.該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.本題“米谷粒分”是我們統(tǒng)計中的用樣本估計總體問題.3.已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A. B． C． D．【答案】D【考點定位】二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和.【名師點睛】二項式定理中應(yīng)注意區(qū)別二項式系數(shù)與展開式系數(shù)，各二項式系數(shù)和：，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等.4.設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對任意正數(shù)，D．對任意正數(shù)，【答案】C【考點定位】正態(tài)分布密度曲線.【名師點睛】正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線在軸的上方，與軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱．③曲線在處達(dá)到峰值.④曲線與軸之間的面積為1.⑤當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示⑥μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中．如圖乙所示．5．設(shè)，.若p：成等比數(shù)列；q：，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【考點定位】等比數(shù)列的判定，柯西不等式，充分條件與必要條件.【名師點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題．6.已知符號函數(shù)是上的增函數(shù)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【名師點睛】構(gòu)造法數(shù)求解高中數(shù)學(xué)問題常用方法，在選擇題、填空題及解答題中都用到，特別是求解在選擇題、填空題構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，根據(jù)已知能快捷的得到答案.7．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（）A． B．C． D．【答案】B【考點定位】幾何概型.【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．8．將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A．對任意的， B．當(dāng)時，；當(dāng)時，C．對任意的， D．當(dāng)時，；當(dāng)時，【答案】D【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率.【名師點睛】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．分類討論的時應(yīng)做到：分類不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論．9．已知集合，，定義集合，則中元素的個數(shù)為（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【考點定位】1.集合的相關(guān)知識，2.新定義題型.【名師點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.10．設(shè)，表示不超過的最大整數(shù).若存在實數(shù)，使得，，…，同時成立，則正整數(shù)的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【考點定位】函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì).【名師點睛】這類問題一般有兩種：表示不超過的最大整數(shù)；表示不小于的最大整數(shù).應(yīng)注意區(qū)別.二、填空題：本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．（一）必考題（11—14題）11.已知向量，，則.【答案】9【考點定位】平面向量的加法法則，向量垂直，向量的模與數(shù)量積.【名師點睛】平面向量是新教材新增內(nèi)容，而且由于向量的雙重“身份”是研究一些數(shù)學(xué)問題的工具.這類問題難度不大，以考查基礎(chǔ)知識為主.12．函數(shù)的零點個數(shù)為．【答案】2【考點定位】二倍角的正弦、余弦公式，誘導(dǎo)公式，函數(shù)的零點.【名師點睛】數(shù)形結(jié)合思想方法是高考考查的重點.已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準(zhǔn)確。這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題.由“數(shù)”想圖，借“圖”解題.13．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.【答案】【考點定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測量中的的幾個術(shù)語，正弦定理.【名師點睛】本題是空間四面體問題，不能把四邊形看成平面上的四邊形.14．如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方），且．（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【考點定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.【名師點睛】用特例代替題設(shè)所給的一般性條件，得出特殊結(jié)論，然后對各個選項進(jìn)行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法.若結(jié)果為定值，則可采用此法.特殊法是“小題小做”的重要策略.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題作答結(jié)果計分．）15．（選修4-1：幾何證明選講）如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且，則.【答案】【考點定位】圓的切線、割線，切割線定理，三角形相似.【名師點睛】判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)特點靈活選擇判定定理．在一個題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．16．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，與C相交于兩點，則.【答案】【考點定位】極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，兩點間的距離.【名師點睛】化參數(shù)方程為普通方程時，未注意到普通方程與參數(shù)方程的等價性而出錯.三、解答題：本大題共5小題，共65分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分11分）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0050（Ⅰ）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【考點定位】“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象，三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的性質(zhì).【名師點睛】“五點法”描圖：(1)的圖象在[0,2π]上的五個關(guān)鍵點的坐標(biāo)為：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)的圖象在[0,2π]上的五個關(guān)鍵點的坐標(biāo)為：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．18．（本小題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【考點定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前項和.【名師點睛】錯位相減法適合于一個由等差數(shù)列及一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列．考生在解決這類問題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計算量大導(dǎo)致了漏項或添項以及符號出錯等．兩邊乘公比后，對應(yīng)項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩項相減，除第一項和最后一項外，剩下的項是一個等比數(shù)列．19．（本小題滿分12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【考點定位】四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角.【名師點睛】立體幾何是高考的重點和熱點內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點，也是學(xué)生的易錯易誤點．解題時正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等．20．（本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利（單位：元）是一個隨機(jī)變量．（Ⅰ）求的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率．【答案】（Ⅰ）的分布列為：816010200108000.30.50.2；（Ⅱ）0.973. 【考點定位】線性規(guī)劃的實際運(yùn)用，隨機(jī)變量的獨立性，分布列與均值，二項分布.【名師點睛】二項分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一個考點.獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．21．（本小題滿分14分）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．第21題圖2第21題圖2第21題圖1【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值.【名師點睛】本題以滑槽，長短桿為背景，乍一看與我們往年考的很不一樣，但是只要學(xué)生仔細(xì)讀題均能找到橢圓的,,.那么第一問就迎刃而解了，第二問仍然為圓錐曲線的綜合問題。直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點題型．解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計算要準(zhǔn)確．22．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（Ⅱ）計算，，，由此推測計