2015年高考數(shù)學試卷（理）（陜西）（解析卷）

第頁|共頁一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【考點定位】1、一元二次方程；2、對數(shù)不等式；3、集合的并集運算．【名師點晴】本題主要考查的是一元二次方程、對數(shù)不等式和集合的并集運算，屬于容易題．解題時要看清楚是求“”還是求“”和要注意對數(shù)的真數(shù)大于，否則很容易出現(xiàn)錯誤．2.某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A．167B．137C．123D．93【答案】B【考點定位】扇形圖．【名師點晴】本題主要考查的是扇形圖，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“女教師”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù)．通過扇形圖可以很清晰地表示各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系．3.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【考點定位】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點晴】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“最大值”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解三角函數(shù)求最值的試題時，我們經(jīng)常使用的是整體法．本題從圖象中可知時，取得最小值，進而求出的值，當時，取得最大值．4.二項式的展開式中的系數(shù)為15，則（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【考點定位】二項式定理．【名師點晴】本題主要考查的是二項式定理，屬于容易題．解題時一定要抓住重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是二項式定理，即二項式的展開式的通項是．5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．【答案】D【考點定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積．【名師點晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的表面積，屬于容易題．解題時要看清楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯誤．本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征，再計算出幾何體各個面的面積即可．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【考點定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件．【名師點晴】本題主要考查的是二倍角的余弦公式和充分條件與必要條件，屬于容易題．解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進行等價轉化．7.對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【考點定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積．【名師點晴】本題主要考查的是向量的模和向量的數(shù)量積，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“不”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是向量的模和向量的數(shù)量積，即，．8.根據(jù)右邊的圖，當輸入為時，輸出的（）A．28B．10C．4D．2【答案】B【考點定位】程序框圖．【名師點晴】本題主要考查的是程序框圖，屬于容易題．解題時一定要抓住重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．9.設，若，，，則下列關系式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【考點定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性．【名師點晴】本題主要考查的是基本不等式和基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于容易題．解題時一定要注意檢驗在使用基本不等式求最值中是否能夠取得等號，否則很容易出現(xiàn)錯誤．本題先判斷和的大小關系，再利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?0.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【答案】D【考點定位】線性規(guī)劃．【名師點晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于容易題．線性規(guī)劃類問題的解題關鍵是先正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結合確定目標函數(shù)何時取得最值．解題時要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯誤；畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要通過特殊點驗證，防止出現(xiàn)錯誤．11.設復數(shù)，若，則的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考點定位】1、復數(shù)的模；2、幾何概型．【名師點晴】本題主要考查的是復數(shù)的模和幾何概型，屬于中檔題．解幾何概型的試題，一般先求出實驗的基本事件構成的區(qū)域長度（面積或體積），再求出事件構成的區(qū)域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可．解本題需要掌握的知識點是復數(shù)的模和幾何概型的概率公式，即若（、），則，幾何概型的概率公式．12.對二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（）A．是的零點B．1是的極值點C．3是的極值D.點在曲線上【答案】A【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點和利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”和“錯誤”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解推斷結論的試題時一定要萬分小心，除了作理論方面的推導論證外，利用特殊值進行檢驗，也可作必要的合情推理．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.中位數(shù)1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．【答案】【考點定位】等差中項．【名師點晴】本題主要考查的是等差中項，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念，即若，，成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項，即．14.若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則．【答案】【考點定位】1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．【名師點晴】本題主要考查的是拋物線的簡單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題．解題時要注意拋物線和雙曲線的焦點落在哪個軸上，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是拋物線的準線方程和雙曲線的焦點坐標，即拋物線（）的準線方程是，雙曲線（，）的左焦點，右焦點，其中．15.設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為．【答案】【考點定位】1、導數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關系．【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的幾何意義和兩條直線的位置關系，屬于容易題．解題時一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解導數(shù)的幾何意義問題時一定要抓住切點的三重作用：①切點在曲線上；②切點在切線上；③切點處的導數(shù)值等于切線的斜率．16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為．【答案】【考點定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義．【名師點晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“原始”和“當前”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點是定積分的幾何意義，即由直線，，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）17．（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（I）求；（II）若，求的面積．【答案】（I）；（II）．考點：1、平行向量的坐標運算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.【名師點晴】本題主要考查的是平行向量的坐標運算、正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．解題時一定要注意角的范圍，否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，期中關鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據(jù)就是三角公式．18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）．考點：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標系；4、空間向量在立體幾何中的應用.【名師點晴】本題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標系和空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．19．（本小題滿分12分）設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：（分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010（I）求的分布列與數(shù)學期望；（II）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．【答案】（I）分布列見解析，；（II）．考點：1、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望；2、獨立事件的概率.【名師點晴】本題主要考查的是離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望和獨立事件的概率，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“不超過”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解離散型隨機變量的分布列的試題時一定要萬分小心，特別是列舉隨機變量取值的概率時，要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現(xiàn)錯誤．20．（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．【答案】（I）；（II）．考點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關系；7、直線與圓錐曲線的位置.【名師點晴】本題主要考查的是直線方程、點到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、橢圓的方程、圓的方程、直線與圓的位置關系和直線與圓錐曲線的位置，屬于難題．解題時一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易失分．解本題需要掌握的知識點是截距式方程，點到直線的距離公式和橢圓的離心率，即截距式方程（在軸上的截距，在軸上的截距），點到直線的距離，橢圓（）的離心率．21．（本小題滿分12分）設是等比數(shù)列，，，，的各項和，其中，，．（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且；（II）設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明．【答案】（I）證明見解析；（II）當時，，當時，，證明見解析．考點：1、等比數(shù)列的前項和公式；2、零點定理；3、等差數(shù)列的前項和公式；4、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【名師點晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的前項和公式、零點定理、等差數(shù)列的前項和公式和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：①用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；②用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點的唯一性．有關函數(shù)的不等式，一般是先構造新函數(shù)，再求出新函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可．請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑．22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，切于點，直線交于，兩點，，垂足為．（I）證明：；（II）若，，求的直徑．【答案】（I）證明見解析；（II）．考點：1、直徑所對的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理.【名師點晴】本題主要考查的是直徑所對的圓周角、弦切角定理和切割線定理，屬于容易題．