2015年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.已知=（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)()A、B、C、D、【答案】D【考點定位】復(fù)數(shù)的運算【名師點睛】在對復(fù)數(shù)之間進(jìn)行乘法運算時，直接利用多項式的乘法分配律進(jìn)行計算，在最后一步的計算中，根據(jù)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的加法原則，實部與實部相加，虛部與虛部相加便可得到最終結(jié)果；在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算時，首先將分式的分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子的運算遵循復(fù)數(shù)的乘法運算法則，從而得到相應(yīng)的結(jié)果.在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）如圖I所示;若將運動員按成績由好到差編為1~35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)為()A、3B、4C、5D、6【答案】B【考點定位】莖葉圖【名師點睛】系統(tǒng)抽樣是指當(dāng)總體中個數(shù)較多時，將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本的抽樣方法，其實質(zhì)為等距抽樣.莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．缺點為不能直接反映總體的分布情況.由數(shù)據(jù)集中情況可以估計平均數(shù)大小，再根據(jù)其分散程度可以估測方差大?。?、設(shè)R，則“>1”是“>1”的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件【答案】C【考點定位】充要關(guān)系【名師點睛】判斷充分條件和必要條件的方法(1)命題判斷法：設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：①原命題為真，逆命題為假時，p是q的充分不必要條件；②原命題為假，逆命題為真時，p是q的必要不充分條件；③原命題與逆命題都為真時，p是q的充要條件；④原命題與逆命題都為假時，p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合判斷法：從集合的觀點看，建立命題p，q相應(yīng)的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A?B，則p是q的充分條件；若AB時，則p是q的充分不必要條件；②若B?A，則p是q的必要條件；若BA時，則p是q的必要不充分條件；③若A?B且B?A，即A＝B時，則p是q的充要條件．(3)等價轉(zhuǎn)化法：p是q的什么條件等價于綈q是綈p的什么條件．4、若變量滿足約束條件，則的最小值為()A、B、0C、1D、2【答案】A【考點定位】簡單的線性規(guī)劃【名師點睛】求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值．(2)距離型：形如.(3)斜率型：形如.注意：轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義．5、執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，如果輸入n=3，中輸入的S=()A、B、C、D、【答案】B【考點定位】程序框圖【名師點睛】識別運行算法流程圖和完善流程圖是高考的熱點．解答這一類問題，第一，要明確流程圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要識別運行流程圖，理解框圖所解決的實際問題；第三，按照題目的要求完成解答．對流程圖的考查常與數(shù)列和函數(shù)等知識相結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化框圖問題的實際背景．6、若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），則此雙曲線的離心率為()A、B、C、D、【答案】D故選D.【考點定位】雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(2)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(3)雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；(4)的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.7、若實數(shù)滿足，則的最小值為()A、B、2C、2D、4【答案】C【考點定位】基本不等式【名師點睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解．8、設(shè)函數(shù)，則是()A、奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B、奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C、偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D、偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)【答案】A，在（0,1）上，所以在(0,1)上單調(diào)遞增，故選A.【考點定位】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：(1)求；(2)確認(rèn)在(a，b)內(nèi)的符號；(3)作出結(jié)論：時為增函數(shù)；時為減函數(shù)．研究函數(shù)性質(zhì)時，首先要明確函數(shù)定義域.9、已知點A,B,C在圓上運動，且ABBC，若點P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為()A、6B、7C、8D、9【答案】B【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算性質(zhì)【名師點睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識知，圓上的一點與圓外一定點距離最值在定點和圓心連線與圓的兩個交點處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.10、某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工作的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）A、B、C、D、【答案】A【考點定位】三視圖、基本不等式求最值、圓錐的內(nèi)接長方體【名師點睛】運用基本不等式求最值要緊緊抓住“一正二定三相等”條件，本題“和為定”是解決問題的關(guān)鍵.空間想象能力是解決三視圖的關(guān)鍵，可從長方體三個側(cè)面進(jìn)行想象幾何體.求組合體的體積，關(guān)鍵是確定組合體的組成形式及各部分幾何體的特征，再結(jié)合分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等方法求體積.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11、已知集合U=，A=,B=,則A()=_____.【答案】{1，2，3}.【解析】由題={2}，所以A()={1，2，3}.【考點定位】集合的運算【名師點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合A或不屬于集合B的元素的集合.本題需注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，否則容易出錯．12、在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_____.【答案】【考點定位】圓的極坐標(biāo)方程【名師點睛】1.運用互化公式：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；2.直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化直角坐標(biāo)系的情境進(jìn)行．13.若直線與圓相交于A,B兩點，且（O為坐標(biāo)原點），則=_____.【答案】【考點定位】直線與圓的位置關(guān)系【名師點睛】涉及圓的弦長的常用方法為幾何法：設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則本題條件是圓心角，可利用直角三角形轉(zhuǎn)化為弦心距與半徑之間關(guān)系,再根據(jù)點到直線距離公式列等量關(guān)系.14、若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【考點定位】函數(shù)零點【名師點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．15、已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則=_____.【答案】【考點定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個交點”一定在同一個周期內(nèi)，本題也可從五點作圖法上理解.三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球和1個白球的甲箱與裝有2個紅球和2個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎。（I）用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；（II）有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由?！敬鸢浮浚↖）(II)說法不正確；【考點定位】概率統(tǒng)計【名師點睛】古典概型中基本事件的探求方法1．枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的．2．樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同．17.（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.（I）證明：；(II)若，且為鈍角，求.【答案】（I）略；(II)【考點定位】正弦定理及其運用【名師點睛】解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．18.（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點。（I）證明：平面平面；（II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚↖）略；(II).【考點定位】柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判定與性質(zhì)【名師點睛】證明面面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在．求錐的體積關(guān)鍵在于確定其高，即確定線面垂直.19.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且，（I）證明：；（II）求?！敬鸢浮浚↖）略；(II)【考點定位】數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列求和【名師點睛】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式；(3)對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進(jìn)行選用.20.（本小題滿分13分）已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為，過點F的直線與相交于兩點，與相交于兩點，且與同向.（I）求的方程；（II）若，求直線的斜率.【答案】（I）；(II).【考點定位】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)【名師點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)