2015年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（上海）（解析卷）

第頁|共頁2015年上海市文科試題一．填空題（本大題共14小題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律零分）1.函數(shù)的最小正周期為.【答案】【解析】因為，所以，所以函數(shù)的最小正周期為.【考點定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.2.設(shè)全集.若集合，，則.【答案】【考點定位】集合的運(yùn)算.3.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則.【答案】【考點定位】復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算.4.設(shè)為的反函數(shù)，則.【答案】【解析】因為為的反函數(shù)，，解得，所以.【考點定位】反函數(shù)，函數(shù)的值.5.若線性方程組的增廣矩陣為解為，則.【答案】16【解析】由題意，是方程組的解，所以，所以.【考點定位】增廣矩陣，線性方程組的解法.6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則.【答案】4【解析】依題意，，解得.【考點定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).7.拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為1，則.【答案】2【解析】依題意，點為坐標(biāo)原點，所以，即.【考點定位】拋物線的性質(zhì)，最值.8.方程的解為.【答案】2【考點定位】對數(shù)方程.9.若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為.【答案】3【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，簡單的線性規(guī)劃.10.在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】120【考點定位】組合，分類計數(shù)原理.11.在的二項式中，常數(shù)項等于（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】240【解析】由，令，所以，所以常數(shù)項為.【考點定位】二項式定理.12.已知雙曲線、的頂點重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為.【答案】【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率.13.已知平面向量、、滿足，且，則的最大值是.【答案】【考點定位】平向量的模，向量垂直.14.已知函數(shù).若存在，，，滿足，且，則的最小值為.【答案】8【解析】因為函數(shù)對任意，，，欲使取得最小值，盡可能多的讓取得最高點，考慮，按下圖取值滿足條件，所以的最小值為8.【考點定位】正弦函數(shù)的性質(zhì)，最值.二．選擇題（本大題共4小題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.15.設(shè)、，則“、均為實數(shù)”是“是實數(shù)”的（）.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【答案】A【考點定位】復(fù)數(shù)的概念，充分條件、必要條件的判定.16.下列不等式中，與不等式解集相同的是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】因為，可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，所以由可得，所以不等式解集相同的是，選B.【考點定位】同解不等式的判斷.17.已知點的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標(biāo)為（）.A.B.C.D.【答案】D【考點定位】三角函數(shù)的定義，和角的正切公式，兩點間距離公式.18.設(shè)是直線與圓在第一象限的交點，則極限().A.B.C.D.【答案】A【解析】因為是直線與圓在第一象限的交點，而是經(jīng)過點與的直線的斜率，由于點在圓上.因為，所以.【考點定位】圓的切線，極限.三．解答題（本大題共5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分）如圖，圓錐的頂點為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點，為劣弧的中點.已知，，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.【答案】【考點定位】圓錐的性質(zhì)，異面直線的夾角.（本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分.已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由.【答案】（1）是非奇非偶函數(shù)；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增.【考點定位】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.21.（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分.如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時乙到達(dá)地；時，乙到達(dá)地.（1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.【答案】（1），千米；（2）不超過了3千米.【解析】（1）根據(jù)條件知，設(shè)此時甲到達(dá)A點，并連接，如圖所示，則，所以在中，由余弦定理得（千米）.（2）可求得，設(shè)小時后，且，甲到達(dá)了B點，乙到達(dá)了C點，如圖所示，所以，，所以在中，由余弦定理，所以，，設(shè)，，因為函數(shù)的對稱軸為，且，，所以得最大值為，此時的最大值為，所以在上得最大值不超過3.【考點定位】余弦定理的實際運(yùn)用，函數(shù)的值域.22.（本題滿分14分）本題共3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為.（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明；（2）設(shè)，，，求的值；（3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變.【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）.（3）設(shè)，則，設(shè)，，由，的，同理，由（1）知，，整理得，由題意知與無關(guān)，則，解得.所以.【考點定位】橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.23.（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第項是最大項，即，求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，，