2009年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（天津）（解析卷）

第頁|共頁2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）選擇題（每小題5分）i是虛數(shù)單位，=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i（2）設(shè)變量x，y滿足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為（A）6（B）7（C）8（D）23（3）命題“存在R，0”的否定是（A）不存在R,>0（B）存在R,0（C）對任意的R,0（D）對任意的R,>0（4）設(shè)函數(shù)則A在區(qū)間內(nèi)均有零點。B在區(qū)間內(nèi)均無零點。C在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點。D在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點。（5）閱讀右圖的程序框圖，則輸出的S=A26B35C40D57(6）設(shè)若的最小值為A8B4C1D（7）已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度（8）已知函數(shù)若則實數(shù)的取值范圍是ABCD（9）．設(shè)拋物線=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，=2，則BCF與ACF的成面積之比=（A）（B）（C）（D）（10）.0＜b＜1+a,若關(guān)于x的不等式＞的解集中的整數(shù)恰有3個，則（A）-1＜a＜0（B）0＜a＜1（C）1＜a＜3（D）3＜a＜6二．填空題：（6小題，每題4分，共24分）（11）某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取____名學(xué)生。（12）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=_______(13)設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的方程為y=3x+4則與的距離為_______(14)若圓與圓（a>0）的公共弦的長為，則a=___________(15)在四邊形ABCD中，==（1，1），，則四邊形ABCD的面積是（16）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個（用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（滿分12分）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin的值（18）（滿分12分）在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（I）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。（19）（滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值（20）（滿分12分）已知函數(shù)其中當(dāng)時，求曲線處的切線的斜率；當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。（21）（滿分14分）以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。求橢圓的離心率求直線AB的斜率；設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值（22）（滿分14分）已知等差數(shù)列{}的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+,=-+…..+(-1,n若==1，d=2，q=3，求的值；若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；(Ⅲ)若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列，，證明。2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）參考解答選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。（1）D（2）B（3）D（4）D（5）C（6）B（7）A（8）C（9）A（10）C二．填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分24分。（11）40（12）（13）（14）1（15）（16）324三．解答題（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。滿分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，于是AB=（Ⅱ）解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=于是sinA=從而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=所以sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=(18)本小題主要考查古典概型及計算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力。滿分12分。（Ⅰ）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123PX的數(shù)學(xué)期望EX=（Ⅱ）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=(19)本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力。滿分12分.方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點，連結(jié)EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（II）證明：因為（III）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點為坐標(biāo)原點。設(shè)依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設(shè)，平面的一個法向量為（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。（I）解：（II）以下分兩種情況討論。（1）＞，則＜.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗（2）＜，則＞，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗（21）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算能力和推理能力，滿分14分解：由//且，得，從而整理，得，故離心率解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為設(shè)直線AB的方程為，即.由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意，而①②由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以③聯(lián)立①③解得，將代入②中，解得.(III)解法一：由（II）可知當(dāng)時，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組，由解得故當(dāng)時，同理可得解法二：由（II）可知當(dāng)時，得,由已知得由橢圓的對稱性可知B，，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形.由直線的方程為,知點H的坐標(biāo)為.因為，所以，解得m=c（舍），或.則，所以.當(dāng)時同理可得（22）本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（Ⅰ）解：由題設(shè)，可得所以，（Ⅱ）證明：由題設(shè)可得則①②式減去②式，得式加上②式，得③式兩邊同乘q，得所以，(Ⅲ)證明：因為所以若，取i=n若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且當(dāng)時，得即，…，又所以因此當(dāng)同理可得，因此綜上，選擇填空解析2008年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2008?天津）i是虛數(shù)單位，=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】復(fù)數(shù)的分子復(fù)雜，先化簡，然后再化簡整個復(fù)數(shù)，可得到結(jié)果．【解答】解：，故選A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，i的冪的運算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）（2008?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點的坐標(biāo)，將各點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得目標(biāo)函數(shù)Z=5x+y的最小值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如圖，由圖象可知：目標(biāo)函數(shù)z=5x+y過點A（1，0）時z取得最大值，zmax=5，故選D．【點評】在解決線性規(guī)劃的問題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解．3．（5分）（2008?天津）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)f（x）是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【考點】二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦函數(shù)的奇偶性．【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性質(zhì)得出相應(yīng)的結(jié)論．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且為奇函數(shù)．故選A．【點評】本題考查余弦的二倍角公式及函數(shù)y=Asinωx的性質(zhì)．4．（5分）（2008?天津）設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是（）A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥β C．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)題意分別畫出錯誤選項的反例圖形即可．【解答】解：A、B、D的反例如圖．故選C．【點評】本題考查線面垂直、平行的性質(zhì)及面面垂直、平行的性質(zhì)，同時考查充分條件的含義及空間想象能力．5．（5分）（2008?天津）設(shè)橢圓上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P點到右準(zhǔn)線的距離為（）A．6 B．2 C． D．【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)橢圓定義，求出m，利用第二定義求出到右準(zhǔn)線的距離，注意右焦點右準(zhǔn)線的對應(yīng)關(guān)系．【解答】解：由橢圓第一定義知a=2，所以m2=4，橢圓方程為所以d=2，故選B【點評】本題考查了橢圓的第一定義以及第二定義的應(yīng)用6．（5分）（2008?天津）設(shè)集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，則a的取值范圍是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a(chǎn)≤﹣3或a≥﹣1 D．a(chǎn)＜﹣3或a＞﹣1【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式組，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故選A．【點評】本題考查集合間的相互包含關(guān)系及運算，應(yīng)注意不等式的正確求解，并結(jié)合數(shù)軸判斷集合間的關(guān)系．7．（5分）（2008?天津）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為f﹣1（x），則（）A．f﹣1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1B．f﹣1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0C．f﹣1（x）在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1D．f﹣1（x）在其定義域上是增函數(shù)且最小值為0【考點】反函數(shù)．【分析】根據(jù)本題所給出的選項，利用排除法比較方便，這樣可以簡化直接求解帶來的繁瑣．【解答】解：∵為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知f（x）為增函數(shù)，∴f﹣1（x）單調(diào)遞增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域為f（x）的定義域，∴f﹣1（x）最小值為0故選D【點評】本題很好的利用了排除法，顯得小巧靈活，如果求出反函數(shù)再去研究，就會麻煩多了，可以比較一下感受感受，所以篩選法、排除法、驗證法都是很好的解題方法，平時要用．8．（5分）（2008?天津）已知函數(shù)，則不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A． B．{x|x≤1} C． D．【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【分析】對f（x+1）中的x分兩類，即當(dāng)x+1＜0，和x+1≥0時分別解不等式可得結(jié)果．【解答】解：依題意得所以故選：C．【點評】本題考查分?jǐn)嗪瘮?shù)，不等式組的解法，分類討論的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．9．（5分）（2008?天津）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c【考點】偶函數(shù)；不等式比較大?。緦ｎ}】壓軸題．【分析】通過奇偶性將自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，根據(jù)單調(diào)性比較a、b、c的大?。窘獯稹拷猓?，因為，又由函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，所以，所以b＜a＜c，故選A【點評】本題屬于單調(diào)性與增減性的綜合應(yīng)用，解決此類題型要注意：（1）通過周期性、對稱性、奇偶性等性質(zhì)將自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再比較大?。?）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．10．（5分）（2008?天津）有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有（）A．1344種 B．1248種 C．1056種 D．960種【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行，首先確定中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，然后確定其余4個數(shù)字的排法數(shù)，使用排除法，用總數(shù)減去不合題意的情況數(shù)，可得其情況數(shù)目，由乘法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則中間行的數(shù)字只能為1，4或2，3，共有C21A22=4種排法，然后確定其余4個數(shù)字，其排法總數(shù)為A64=360，其中不合題意的有：中間行數(shù)字和為5，還有一行數(shù)字和為5，有4種排法，余下兩個數(shù)字有A42=12種排法，所以此時余下的這4個數(shù)字共有360﹣4×12=312種方法；由乘法原理可知共有4×312=1248種不同的排法，故選B．【點評】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意特殊方法的使用，如排除法．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）（2008?天津）的二項展開式中，x2的系數(shù)是40（用數(shù)字作答）．【考點】二項式定理．【專題】計算題．【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為2求出x2的系數(shù)．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系數(shù)為（﹣2）2C52=40．故答案為40【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．12．（4分）（2008?天津）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為24．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；球的體積和表面積．【專題】計算題；綜合題．【分析】由題意球的直徑等于正方體的體對角線的長，求出球的半徑，再求正方體的棱長，然后求正方體的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，由得，所以a=2，表面積為6a2=24．故答案為：24【點評】本題考查球的內(nèi)接體，球的表面積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎(chǔ)題．13．（4分）（2008?天津）已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點關(guān)于直線y=x對稱．直線4x﹣3y﹣2=0與圓C相交于A、B兩點，且|AB|=6，則圓C的方程為x2+（y﹣1）2=10．【考點】拋物線的應(yīng)用；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓心，進(jìn)而求得圓心到直線4x﹣3y﹣2=0的距離，根據(jù)勾股定理求得圓的半徑．則圓的方程可得．【解答】解：依題意可知拋物線的焦點為（1，0），∵圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點關(guān)于直線y=x對稱．所以圓心坐