專題二-數(shù)列通項公式的求法

專題二:數(shù)列通項公式的求法注：①有的數(shù)列沒有通項公式，如：3，π，e，6；②有的數(shù)列有多個通項公式,如：數(shù)列的通項公式是一個數(shù)列的第n項（即an）與項數(shù)n之間的一種特殊的函數(shù)關系。下面就談一談數(shù)列通項公式的常用求法：探究（一）、觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）：觀察數(shù)列中各項與其序號間的關系，分析各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式．例1、求數(shù)列3，5，9，17，33，……的通項公式解：變形為：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……可見聯(lián)想與轉(zhuǎn)化是由已知認識未知的兩種有效的思維方法。注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的，如2，4，8，……?？蓺w納成an=2n或者an=n2-n+2，這是兩個不同的數(shù)列（如a4便不同）

∴通項公式為：探究（二）累加法

當所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時，就可用累加法進行消元.即若數(shù)列｛an｝滿足an+1－an=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和數(shù)列，那么可用累加法求an。例2、求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，……的通項公式。解：a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4……a5-a4=5an-an-1=n∴兩邊相加得：an-a1=2+3+4+5+……+n∴

變式訓練2:已知數(shù)列｛an｝滿足an+1=an+3n+2，且a1=2，求通項公式an。探究（三）累乘法

當一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商構(gòu)成一個等比數(shù)列時，就可用累乘法進行消元.若數(shù)列｛an｝滿足

=f(n)(n),其中數(shù)列｛f(n)｝前n項積可求，則可用累乘法求an.

例3、已知數(shù)列{an}中，a1=2，求通項公式{an}。解：由已知a1=2

，，得：把上面n-1條式子左右兩邊同時相乘得：∴把1，2，…，n分別代入上式得：，，……，例4、已知數(shù)列{an}為無窮數(shù)列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通項an.探究(四)公式法：等差與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列，所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數(shù)列的定義，然后用等差、等比數(shù)列的通項公式表示它。解：∵an－1＋an＋1＝2an，∴an－1,an,an＋1成等差數(shù)列．又∵n≥2且n∈N*，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設首項為a1，公差為d.由a2=4，a6=8，可得a1=3，d=1∴通項an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.（一般和等差、等比中項有關聯(lián)的較多）探究（五）、利用Sn與an的關系求通項公式。已知數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式an的基本方法是：

注意：要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。統(tǒng)一時可合寫成一個式子，否則分段寫之。例5．已知下列數(shù)列{an}的前n項和Sn的公式，求{an}的通項公式。（1）Sn=n2－1（2）Sn=2n2－3n

解：（2）a1=s1

=－1，當時，解（1）a1=s1

=0，當時，

由于a1

=－1也適合于此等式，

∴an=4n-5∴由于a1不適合于此等式，①②由②－①整理得例6、各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S1＞1，且6Sn=(an+1)(an+2),求{an}的通項公式。探究（六）、換元法(構(gòu)造法)形如已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q為常數(shù))形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法，法二：an＋1－an＝p(an－an-1)，構(gòu)造{an－an-1}為等比數(shù)列，公比為p。當給出遞推關系求an時，主要掌握通過構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列的形式。法一：待定系數(shù)法：設an＋1＋x＝p(an＋x)，構(gòu)造{an＋x}為等比數(shù)列，公比為p。例7、已知數(shù)列{an}的遞推關系為an+1=2an+1，且a1=1，求通項公式an。解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），令bn=an+1，∴則輔助數(shù)列{bn}是首項b1=a1+1=2公比為2的等比數(shù)列，∴bn=

2×2n-1即an+1=2n∴an=2n－1例8、若數(shù)列{an}中,a1=2，an

0

,且an+1－an=2an+1.an，求an。

解：∵

an+1－an=2an+1.an

,且an

0

設,則數(shù)列{bn}是首項b1=,公差為－2的等差數(shù)列,因此∴即∴例9、已知數(shù)列{an}的遞推關系為an+2－2an+1+an=4，且a1=1，a2=3，求通項公式{an}。解：∵

an+2－2an+1+an=4，∴(an+2－an+1)－(an+1－an)=4

令bn=

an+1－an

,則數(shù)列{bn}是以b1=a2－a1為首項公差d=4的等差數(shù)列,兩邊分別相加得：an－a1=4[1+2+3+……+(n－1)]－2(n-1)∴

an=2n2－4n+3∴bn=

an+1－an=4n－2∴a2－a1=4×1－2

a3－a2=4×2－2

a4－a3=4×3－2……

an－an-1=4×(n－1)－2小結(jié)、已知數(shù)列遞推公式求通項公式：取倒數(shù)累加法累乘法待定系數(shù)構(gòu)造法an與sn的關系1、設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．求數(shù)列{an}的通項公式。

解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋……＋3n－1an＝，①課后練習∴數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)在①中，令n＝1，得a1＝，由①－②得3n－1an＝

，∴當n≥2時，