2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-3.1-導(dǎo)數(shù)的概念及意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【課件】

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,

的導(dǎo)數(shù).3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求簡單復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).積累·必備知識01回顧教材,夯實(shí)四基1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)定義:如果當(dāng)Δx→0時(shí),平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值,即

有極限,則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),并把這個(gè)確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率),記作

,即f′(x0)==

.定義的變化形式:f′(x0)=.2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)x=x0時(shí),f′(x0)是一個(gè)

的數(shù).這樣,當(dāng)x變化時(shí),y=f′(x)就是x的函數(shù),我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′,即f′(x)=y′=

.唯一確定3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的

的斜率k0,即k0==

.切線f′(x0)(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),斜率為f′(x0)的切線,具有唯一性.(2)曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),切線可能有多條.4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f′(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f′(x)=

f(x)=sinxf′(x)=

f(x)=cosxf′(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=

0αxα-1cosx-sinxaxlnaf(x)=exf′(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=f(x)=lnxf′(x)=ex函數(shù)的解析式中含有根式的,在求導(dǎo)時(shí)要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后求導(dǎo)數(shù).5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x),g′(x)存在,則有(1)[f(x)±g(x)]′=

;(2)[f(x)g(x)]′=

;f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(3)=(g(x)≠0).6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x=

.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.y′u·u′x1.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢,其正負(fù)反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢,|f′(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.2.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).3.熟記以下結(jié)論:(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(

)(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(

)(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.(

)(4)若f(x)=-sinx,則f′(x)=cos(-x).(

)××××(5)若f(x)=log2(2x+1),則f′(x)=.(

)√2.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是(

)A.(x-2)′=-2xB.(xcosx)′=cosx-xsinxC.(ln10)′=D.(e2x)′=2ex√解析:因?yàn)?x-2)′=-2x-3,所以A錯(cuò)誤;(xcosx)′=cosx-xsinx,所以B正確;(ln10)′=0,所以C錯(cuò)誤;(e2x)′=2e2x,所以D錯(cuò)誤.故選B.3.(選擇性必修第二冊P81習(xí)題5.2T6改編)已知函數(shù)f(x)=2xf′(1)+xlnx,則f′(1)等于(

)A.e B.1 C.-1 D.-e√解析:f′(x)=2f′(1)+lnx+1,當(dāng)x=1時(shí),f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.故選C.y=5x+24.曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為

.

所以k=y′|x=-1=5,從而切線方程為y+3=5(x+1),即y=5x+2.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算[例1](1)(2024·北京模擬)下列結(jié)論正確的是(

)B.若y=sinx2,則y′=2xcosx2C.若y=cos5x,則y′=-sin5xD.若y=xsin2x,則y′=xsin2x√對于B,y=sinx2,則y′=2xcosx2,故正確;對于C,y=cos5x,則y′=-5sin5x,故錯(cuò)誤;對于D,故錯(cuò)誤.故選B.(2)已知函數(shù)f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,則a=

.

e2所以f′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,則a=e2.(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的原則:先化簡解析式,使之變成能用求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商再求導(dǎo).(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法:①連乘積形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo);②分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo);③對數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo);④根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo);⑤三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo);⑥復(fù)合函數(shù):明確復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi),層層求導(dǎo).[針對訓(xùn)練]函數(shù)f(x)=x(x-1)·(x-2)·…·(x-5),則f′(0)=

.

-120解析:因?yàn)閒′(x)=(x)′·[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]+[(x-1)·(x-2)·…·(x-5)]′·x=(x-1)(x-2)·…·(x-5)+[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]′·x,所以f′(0)=(0-1)×(0-2)×…×(0-5)+0=-120.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用角度一求切線方程√(2)設(shè)曲線y=x+lnx的一條切線過點(diǎn)(0,1),則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(

)√解析:(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),y′=1+,切線方程為y-x0-lnx0=(1+)(x-x0),切線過點(diǎn)(0,1),所以1-x0-lnx0=-x0-1,所以lnx0=2,x0=e2,所以切線方程為y=(1+)x+1,故可得切線在x軸,y軸上的截距分別為-,1.故三角形的面積為.故選C.在求曲線的切線方程時(shí),注意兩個(gè)“說法”:求曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程和求曲線過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,在點(diǎn)P處的切線,一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn),過點(diǎn)P的切線,不論點(diǎn)P在不在曲線上,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).(1)在點(diǎn)P處的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)求過點(diǎn)P的切線方程的步驟為:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1,f(x1));第二步:寫出在點(diǎn)P′(x1,f(x1))處的切線方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程,求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.角度二求參數(shù)的值或范圍[例3](1)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則(

)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1√解析:(1)因?yàn)閥′=aex+lnx+1,所以切線的斜率k=y′|x=1=ae+1,所以切線方程為y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1.又切線方程為y=2x+b,即a=e-1,b=-1.故選D.(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

解析:(2)因?yàn)閥=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.(-∞,-4)∪(0,+∞)O為坐標(biāo)原點(diǎn),由題意,化簡,因?yàn)榍€y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題,關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程:(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;(2)切點(diǎn)在切線上;(3)切點(diǎn)在曲線上.角度三公切線問題[例4]已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈R),若經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1)存在一條直線l與f(x)的圖象和g(x)的圖象都相切,則a等于(

)A.0 B.-1 C.3 D.-1或3√解析:設(shè)直線l與f(x)的圖象相切于點(diǎn)(x1,y1).因?yàn)閒(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,y1=f(x1)=x1lnx1,則直線l的方程為y-x1lnx1=(lnx1+1)(x-x1),又點(diǎn)A(0,-1)在直線l上,所以-1-x1lnx1=(lnx1+1)·(0-x1),解得x1=1,所以y1=0,因此直線l的方程為y=x-1.直線l與g(x)的圖象相切,所以x2+ax-x+1=0,Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3.故選D.確定兩曲線的公切線問題,切點(diǎn)是切線的核心,解決這類問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),用好相切的特征,即若兩個(gè)函數(shù)的圖象有相同的切線,則需根據(jù)函數(shù)與切線在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等以及兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值也相等,構(gòu)建方程(組)加以求解.[針對訓(xùn)練](1)(角度二)(2024·河北唐山模擬)若直線y=kx-2與曲線y=1+3lnx相切,則k等于(

)A.3 B. C.2 D.√解析:(1)令y=f(x)=1+3lnx,所以f′(x)=,設(shè)切點(diǎn)為(m,1+3lnm),則切線的斜率k=f′(m)=,即曲線在點(diǎn)(m,1+3lnm)處的切線方程為y-(1+3lnm)=(x-m),即y=x+3lnm-2,因?yàn)橹本€y=kx-2與曲線y=1+3lnx相切,所以3lnm-2=-2,所以m=1,又=k,所以k=3.故選A.(2)(角度一)(2024·河北保定模擬)函數(shù)f(x)=+lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的方程為

.

3x-4y-1=0(3)(角度三)已知直線l:y=x+b為曲線f(x)=ex的切線,若直線l與曲線g(x)=也相切,則實(shí)數(shù)m的值為

.

4或-2解析:(3)設(shè)直線l:y=x+b與曲線f(x)=ex相切于點(diǎn)(x0,),由f′(x0)==1,得x0=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),所以直線l的方程為y=x+1.又由直線l與曲線g(x)相切,聯(lián)立方程,消去y得=x+1,化簡得x2-2(m-1)x+9=0,所以Δ=4(m-1)2