2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-3.3-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值【課件】

第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.借助函數(shù)圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)

,右側(cè)

,則a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.f′(x)<0f′(x)>0(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)

,右側(cè)

,則b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為

,極小值和極大值統(tǒng)稱為

.f′(x)>0f′(x)<0極值點(diǎn)極值(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f′(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.(2)極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.2.函數(shù)的最大(小)值(1)一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的

;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與

比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.連續(xù)不斷極值端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概念.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x0為極值點(diǎn).(

)(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上不存在最值.(

)(4)函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒有.(

)×√×√2.(多選題)已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則下列判斷正確的是(

)A.f(x)在x=-4處取極小值B.f(x)在x=-2處取極大值C.1.5是f(x)的極小值點(diǎn)D.3是f(x)的極小值點(diǎn)√√解析:由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可得,當(dāng)x=-4時(shí),其左側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)小于零,右側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)大于零,所以f(x)在x=-4處取極小值,所以A正確;當(dāng)x=1.5時(shí),其左側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)小于零,右側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)大于零,所以1.5是f(x)的極小值點(diǎn),所以C正確;而x=-2和x=3,左右兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)值同號(hào),所以-2和3不是函數(shù)的極值點(diǎn),所以B,D錯(cuò)誤.故選AC.3.(選擇性必修第二冊(cè)P94練習(xí)T1改編)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是

.

解析:f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2=2(cosx+1)(2cosx-1).令f′(x)>0,(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增;令f′(x)<0,即f(x)在區(qū)間(2kπ+,2kπ+π),(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞減.4.函數(shù)f(x)=x3-ax2+2x-1有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.解析:f′(x)=3x2-2ax+2,由題意知f′(x)有變號(hào)零點(diǎn),所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題角度一根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值[例1](多選題)(2024·重慶檢測(cè))函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則(

)A.-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)B.-1是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)C.y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增D.-2是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)√√解析:根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),f′(x)≥0,所以函數(shù)y=f(x)在(-∞,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,1)上單調(diào)遞增,可知-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),所以A正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(-3,1)上單調(diào)遞增,可知-1不是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),-2也不是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),所以B錯(cuò)誤,C正確,D錯(cuò)誤.故選AC.由圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值,要抓住兩點(diǎn)(1)由y=f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn).(2)由導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可以看出y=f′(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).角度二求函數(shù)的極值[例2](2024·河北邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;解:(1)f′(x)=ex-a,所以切線斜率k=f′(0)=1-a,f(0)=0,所以切點(diǎn)為(0,0),所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=(1-a)x.(2)求函數(shù)f(x)的極值.解:(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=ex-a>0對(duì)x∈R恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),無極值;當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,所以ex=a,x=lna,x(-∞,lna)lna(lna,+∞)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗f(x)在x=lna處取得極小值f(lna)=a-alna-1,無極大值.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x).(3)解方程f′(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根.(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào).(5)求出極值.角度三由函數(shù)極值(極值個(gè)數(shù))求參數(shù)值(范圍)[例3](1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極小值10,則a+b等于(

)A.-7 B.0C.-7或0 D.-15或6√解析:(1)由函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b.又函數(shù)f(x)在x=1處有極小值10,f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).令f′(x)>0,得x>1或x<-,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-)上單調(diào)遞增,在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.顯然滿足函數(shù)f(x)在x=1處有極小值10.令f′(x)<0,得-<x<1,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,不滿足函數(shù)f(x)在x=1處有極小值10.所以a+b=4-11=-7.故選A.(2)(2024·四川綿陽模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)√解析:(2)由f(x)=ax2-2x+lnx(x>0),若函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,則方程2ax2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根,故選C.(1)已知函數(shù)極值,確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí),要注意根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).[針對(duì)訓(xùn)練](1)(角度一)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3√(1)解析:因?yàn)樵趚=0左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值均為負(fù)數(shù),所以0不是極值點(diǎn),故由題圖可知f(x)只有2個(gè)極值點(diǎn).故選C.(2)(角度三)已知函數(shù)f(x)=+mlnx-2x存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(2)解析:由題意知x>0,且f′(x)=,m,若只有一個(gè)極值點(diǎn),則g(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有唯一的變號(hào)零點(diǎn),g(0)≤0即可,解得m≤0;若有兩個(gè)極值點(diǎn),則g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)不同的根,設(shè)g(x)=x2-2x+解得0<m<1.綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1).(-∞,1)(3)(角度二)已知函數(shù)f(x)=,其中a∈R.若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y-1=0平行.①求a的值;(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y-1=0平行,所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.經(jīng)驗(yàn)證,a=-1符合題意.②求函數(shù)f(x)的極值.解:②由①得f(x)=,f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f′(x)=0,得x=-1或x=2.當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如表所示,x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值,且f(-1)=2;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值,且f(2)=-.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題[例4](2024·江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.解:f(x)=xlnx-a(x-1),則f′(x)=lnx+1-a,①當(dāng)ea-1≤1,即a≤1時(shí),x∈[1,e],則f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為f(1)=0.②當(dāng)1<ea-1<e,即1<a<2時(shí),由f′(x)=0,得x=ea-1,在[1,ea-1]上,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,在[ea-1,e]上,f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為f(ea-1)=a-ea-1.③當(dāng)ea-1≥e,即a≥2時(shí),在[1,e]上,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)的最小值為f(e)=a+e-ae.綜上,當(dāng)a≤1時(shí),f(x)的最小值為0;當(dāng)1<a<2時(shí),f(x)的最小值為a-ea-1;當(dāng)a≥2時(shí),f(x)的最小值為a+e-ae.(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.(2)若所給函數(shù)f(x)解析式含參數(shù),則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),通過對(duì)參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·四川雅安模擬)設(shè)曲線f(x)=在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x+b(其中a,b∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為

,最小值為

.

27e30依題可得f′(1)=,所以a=3.令f′(x)=0,解得x=0或2,令f′(x)>0,解得0<x<2,令f′(x)<0,解得x<0或x>2.所以f(x)在[-3,0)上單調(diào)遞減,在[0,2]上單調(diào)遞增,在(2,3]上單調(diào)遞減.故f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為f(-3)=27e3,最小值為f(0)=0.考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用[例5]為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;解:(1)由C(0)==8,得k=40,因此C(x)=.而建造費(fèi)用為C1(x)=6x.所以隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x(0≤x≤10).(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求出最小值.令f′(x)=0,當(dāng)0≤x<5時(shí),f′(x)<0,當(dāng)5<x≤10時(shí),f′(x)>0,所以f(x)的最小值為f(5)=6×5+=70.所以當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.解得x=5或x=-(舍去).利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)=0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實(shí)際問題,結(jié)合實(shí)際問題作答.[針對(duì)訓(xùn)練](2024·山東德州模擬)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利,促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后,發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足2≤t≤20,t∈N*.經(jīng)測(cè)算,高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān):當(dāng)10≤t≤20時(shí),高鐵為滿載狀態(tài),載客量為1200人;當(dāng)2≤t<10時(shí),載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少,減少的人數(shù)與(10-t)2成正比,且發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為950人.設(shè)發(fā)車時(shí)間間隔為t分鐘時(shí),高鐵載客量為P(t).解:(1)當(dāng)2≤t<10時(shí),減少的人數(shù)與(10-t)2成正比,設(shè)比例系數(shù)為k,所以P(t)=1200-k(10-t)2,2≤t<10,當(dāng)t=5時(shí),P(5)=950,即1200-k(10-5)2=950,解得k=10,(1)求P(t)的表達(dá)式;所以P(t)=解:(2)由題意可得(2)若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為t分鐘時(shí)的凈收益Q(t)=P(t)-40t2+660t-2048(單位:元),當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),單位時(shí)間的凈收益最大?最大為多少?令H′(t)=0,得t=8.當(dāng)2≤t<8時(shí),H′(t)>0,當(dāng)8<t<10時(shí),H′(t)<0,所以H(t)的最大值為H(8)=316;當(dāng)2≤t<10時(shí),當(dāng)10≤t≤20時(shí),所以H(t)的最大值為H(10)=295.2,因?yàn)?95.2<316,所以當(dāng)t=8時(shí),單位時(shí)間的凈收益最大,為316元.1.三次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)三次函數(shù)的一般形式為f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),其定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽,在整個(gè)定義域R上沒有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判別式為Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),f′(x)中的參數(shù)a與Δ的符號(hào)對(duì)原函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值點(diǎn)起決定性作用,如表所示:微點(diǎn)提能5三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)項(xiàng)目a>0a<0圖象Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0單調(diào)性(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;(x1,x2)上單調(diào)遞減R上單調(diào)遞增(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減;(x1,x2)上單調(diào)遞增R上單調(diào)遞減極值點(diǎn)兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2無極值點(diǎn)兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2無極值點(diǎn)對(duì)稱性三次函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱曲線,對(duì)稱中心為點(diǎn)

設(shè)f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.據(jù)多項(xiàng)式恒等則其對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,可得m=-,且n=am3+bm2+cm+d,從而三次函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱曲線,且由n=f(m)知其對(duì)稱中心(m,f(m))仍然在曲線上.2.三次方程f(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)(1)當(dāng)Δ≤0,即b2-3ac≤0時(shí),方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)Δ>0,即b2-3ac>0時(shí),設(shè)f′(x)=0的兩根為x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,則方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;若f(x1)·f(x2)=0,則方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;若f(x1)·f(x2)<0,則方程f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.3.三次函數(shù)f(x)圖象的切線條數(shù)過f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對(duì)稱中心N作切線l,則坐標(biāo)平面被切線l和函數(shù)f(x)的圖象分割為四個(gè)區(qū)域,有以下結(jié)論:(1)過區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)的點(diǎn)作f(x)的切線,有且僅有三條;(2)過區(qū)域Ⅱ、Ⅳ內(nèi)的點(diǎn)或?qū)ΨQ中心N作f(x)的切線,有且僅有一條;(3)過切線l或函數(shù)f(x)圖象(除去對(duì)稱中心N)上的點(diǎn)作f(x)的切線,有且僅有兩條.切線條數(shù)口訣:內(nèi)一、上二、外三.類型一利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的對(duì)稱性[典例1](2024·河南安陽模擬)定義f″(x)是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)函數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.可以證明,任意三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐點(diǎn)”和對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是其對(duì)稱中心,若函數(shù)等于(

)A.1010 B.-1010 C.1011 D.-1011√利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)對(duì)稱中心的一般步驟第一步,對(duì)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求導(dǎo),得f′(x);第二步,對(duì)f′(x)求導(dǎo),得f″(x);第三步,解方程f″(x)=0,得實(shí)數(shù)根x0;第四步,求f(x0),得函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心(x0,f(x0)).[拓展演練](2024·安徽合肥模擬)若函數(shù)f(x)=ax3-(a>0)與函數(shù)g(x)=x2-cx的圖象恰有三個(gè)不同交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,又a>0,則Δ=4-8ac>0,所以ac<.三次函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,由h(x)的圖象與x軸的三個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列,可知函數(shù)h(x)圖象的對(duì)稱中心一定在x軸上.類型二利用極值研究三次函數(shù)的零點(diǎn)[典例2](2024·江西贛州高三月考)已知函數(shù)f(x)=x3-4mx2-3m2x+2,其中m≥0.(1)若f(x)的極小值為-16,求m;解:(1)由題意得f′(x)=3x2-8mx-3m2=(x-3m)(3x+m),其中m≥0.當(dāng)m=0時(shí),f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)無極值;當(dāng)m>0時(shí),令f′(x)>0,令f′(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,3m),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-),(3m,+∞),所以當(dāng)x=3m時(shí),f(x)取得極小值f(3m)=2-18m3,所以2-18m3=-16,解得m=1.(2)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解:(2)由(1)知當(dāng)m>0時(shí),f(x)的極小值為f(3m)=2-18m3,當(dāng)2-18m3<0,f(x)有三個(gè)零點(diǎn),如圖中曲線①;當(dāng)2-18m3=0,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),如圖中曲線②;當(dāng)2-18m3>0,f(x)有一個(gè)零點(diǎn),如圖中曲線③;當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x3+2,易知f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)有一個(gè)零點(diǎn);f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);f(x)有三個(gè)零點(diǎn).[拓展演練]設(shè)函數(shù)f(x)=x3-a2x+b,其中a,b為常數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;解:(1)f′(x)=x2-a2=(x-a)(x+a).當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)>0,得x>-a或x<a,由f′(x)<0,得a<x<-a;當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0,得x>a或x<-a,由f′(x)<0,得-a<x<a;當(dāng)a=0時(shí),f′(x)≥0.綜上,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(-∞,a),(-a,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,-a)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-∞,-a),(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-a,a)上單調(diào)遞減;當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.(2)若函數(shù)f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.解:(2)由(1)可知,若f(x)有3個(gè)零點(diǎn),則a≠0,且f(x)極大值·f(x)極小值<0,所以f(-a)f(a)=(b+a3)(b-a3)<0,類型三利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的切線問題[典例3](多選題)(2024·廣東廣州模擬)函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+1,則下列結(jié)論正確的是(

)A.若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,則-1≤a≤B.若函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(1,-2),則a=C.當(dāng)a=1時(shí),若f(x)=m有三個(gè)根x1,x2,x3,則0<m<D.當(dāng)a=1時(shí),若過點(diǎn)(-1,n)可作曲線y=f(x)的三條切線,則0<n<√√√解析:對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)=x3-ax2-x+1,f′