人教版高中數(shù)學必修第二冊6.2.4.1向量數(shù)量積的概念【課件】

第1課時向量數(shù)量積的概念預學案共學案預學案

非零向量∠AOB＝θ0≤θ≤π同向反向垂直a⊥b【即時練習】若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是(

)A．60°B．120°C．30°

D．150°答案：A解析：因為向量a與向量b的夾角為60°，根據(jù)向量夾角的幾何意義，－a與－b構成的夾角和a與b的夾角相等，故選A.二、向量的數(shù)量積?已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積)，記作________，即________________(θ為a，b的夾角)．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為________．|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ0

答案：C

投影向量

投影向量|a|cosθ

e

四、向量數(shù)量積的性質?設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝________．(2)a⊥b?________．(3)當a與b同向時，a·b＝________；當a與b反向時，a·b＝________．特別地，a·a＝________或|a|＝________．(4)|a·b|____|a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2

≤【即時練習】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)a與b的數(shù)量積a·b是一個向量．(

)(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(

)(3)若a⊥b，則a·b＝0.(

)(4)向量a在b上的投影向量是一個模等于|acosθ|(θ是a與b的夾角)，方向與b相同或相反的一個向量．(

)××√√

答案：C

微點撥?(1)兩向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內積，應寫成a·b，不能寫成a×b(兩向量的外積)，它與代數(shù)中數(shù)a、b的乘積ab(或a·b)是不同的．(3)在實數(shù)中，若a≠0，且ab＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，當a≠0時，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因為其中cosθ有可能為0，即任一與a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(4)已知實數(shù)a、b、c(b≠0)，則ab＝bc?a＝c；但對于向量，該推理就是不正確的，即a·b＝b·cD

a＝c.微點撥?(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量．(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．

共學案【學習目標】

(1)知道向量數(shù)量積的物理背景，理解并掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量．(2)掌握向量數(shù)量積的性質，并會求向量的模與向量的夾角．題型

1兩向量的夾角【問題探究1】如圖，一個物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對此物體所做的功為W＝|F||s|cosθ，在該公式中，涉及力與位移的夾角，我們要先定義向量的夾角的概念．什么是向量的夾角？

例1

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？

答案：C

題型

2兩向量的數(shù)量積【問題探究2】類比力做功的物理模型，你能給出向量數(shù)量積的定義嗎？兩個向量的數(shù)量積還是向量嗎？提示：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ為a，b的夾角)．由數(shù)量積的定義知兩個向量的數(shù)量積不是向量是數(shù)量．

跟蹤訓練3

已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，則向量a在向量b上的投影向量為________．

題型

4向量數(shù)量積的性質【問題探究4】探究以下問題，嘗試發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的性質．(1)向量a與單位向量e的數(shù)量積結果是什么？(2)當兩個非零向量a與b互相平行或垂直時，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，這時它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？(3)|a·b|與|a||b|有什么關系？

學霸筆記利用數(shù)量積的性質判斷三角形的形狀關鍵看角的大小，若其中有一個角為鈍角或直角，那么三角形為鈍角三角形或直角三角形，若其中有一個角為銳角，三角形的形狀不能判斷為銳角三角形．跟蹤訓練4

已知a，b，c是三個非零向量，則下列說法中正確的個數(shù)為(

)①若a·b＝±|a|·|b|，則a∥b；②若a，b反向，則a·b＝－|a|·|b|；③若a⊥b，則|a＋b|＝|a－b|；④若|a|＝|b|，則|a·c|＝|b·c|.A．1

B．2C．3

D．4答案：C解析：對于①，設a，b的夾角為θ，∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b為非零向量，可得cosθ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正確；對于②，若a，b反向，則a，b的夾角為π，∴a·b＝|a||b|·cosπ＝－|a||b|，故②正確；對于③，當a⊥b時，將向量a，b的起點確定在同一點，則以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，該平行四邊形必為矩形，于是它的兩條對角線長相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正確；對于④，當|a|＝|b|，但a與c的夾角和b與