2024-2025學年重慶市榮昌區(qū)高二上冊第一次月考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年重慶市榮昌區(qū)高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試卷一、單選題（共8題，每題5分．）1.在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置不可能為（）A. B.C. D.2.若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.53.若△的三個頂點為，，，則BC邊上的高所在直線的方程為（）．A. B.C. D.4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為（）A9cm B.10cm C.14cm D.18cm5.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.6.橢圓的焦點為，，點M在橢圓上，且，則M到y(tǒng)軸的距離為（）A.3 B. C. D.7.已知點，圓，若圓C上存在點P使得，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線上存在關于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共3題，每題6分．全部選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點的坐標可能是（）A. B. C. D.10.已知直線和圓，則下列選項正確的是（）A.直線恒過點B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當時，圓上存在無數(shù)對關于直線對稱的點11.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4三、填空題（共3題，每題5分．其中第14題第一空2分，第二空3分．）12.已知點分別是直線與直線上的點，則的最小值為______．13.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點，若使得的直線恰有條，則實數(shù)___________.14.如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為______；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為______.四、解答題（共5題，共77分．）15.在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，求實數(shù)的值.16.已知點到點距離比到直線的距離小1，記點的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點直線與交于兩點，且，求．17.如圖，在四棱錐中，平面，底面ABCD是正方形，點F為棱PD的中點，.（1）若E是BC的中點，證明：平面；（2）求直線CF與平面ABF所成角的正弦值.18.已知雙曲線的離心率為，右焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動點在雙曲線上，線段的中點為．（1）證明：直線的斜率為定值；（2）為坐標原點，若面積為，求直線的方程．19.將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點分別為，上頂點為．（1）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；（2）設橢圓，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個公共點，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個公共點，求當為何值時，取得最小值，并求其最小值；（3）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點記為，試判斷的垂心是否都在橢圓上，并說明理由．2024-2025學年重慶市榮昌區(qū)高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試卷一、單選題（共8題，每題5分．）1.在同一平面直角坐標系中，直線與圓位置不可能為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由圓的位置和直線所過定點，判斷直線與圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，直線過圓內定點，斜率可正可負可為0，ABD選項都有可能，C選項不可能.故選：C.2.若復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.5【正確答案】B【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B3.若△的三個頂點為，，，則BC邊上的高所在直線的方程為（）．A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據所在直線的斜率求得高線的斜率，結合點斜式即可求得結果.【詳解】因為，，故可得所在直線的斜率為，則邊上的高所在直線的斜率，又其過點，故其方程為，整理得.故選：B.4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為（）A.9cm B.10cm C.14cm D.18cm【正確答案】A【分析】由題意，結合橢圓的相關概念，將問題轉化為求，由已知條件離心率，結合其公式，可得答案.【詳解】設橢圓的方程為，因為此橢圓的離心率為，且，所以，，所以，所以根據題意，結合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經反射鏡面反射后到達卡門時所經過的路程為．故選：A.5.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【正確答案】A【分析】由圓的切線的性質可求得PC，結合拋物線方程計算可得點橫坐標，即可得點到的準線的距離.詳解】如圖所示：設切點為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26則PC=設Px,y，則由兩點間距離公式得到(x?4)解得，因為y2=8x≥0，所以，因為的準線方程為，所以點到的準線的距離PE為3??2=5.故選：A.6.橢圓的焦點為，，點M在橢圓上，且，則M到y(tǒng)軸的距離為（）A.3 B. C. D.【正確答案】C【分析】設，代入橢圓方程；根據及向量垂直的坐標關系，可得解方程組即可求得的值，進而可得M到y(tǒng)軸的距離.【詳解】設，點M在橢圓上，所以橢圓的焦點為，，則，，所以，，由，可得，化簡可得聯(lián)立可解得，故M到y(tǒng)軸距離為，故選：C.本題考查了點與橢圓的位置關系，平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題.7.已知點，圓，若圓C上存在點P使得，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以點A為圓心，半徑為2作圓，根據點既在圓上，也在圓上，根據兩圓有公共點的條件列不等式即可求的取值范圍.【詳解】由，則點P在圓上，又有點P在圓C上，所以圓A和圓C有公共點（P)，兩圓半徑分別為2、1，所以，所以.故選：A．8.已知雙曲線上存在關于原點中心對稱的兩點A，B，以及雙曲線上的另一點C，使得為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設點，則可取，代入雙曲線方程整理可得，結合漸近線列式求解即可.【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為，設點，則可取，則，整理得，解得，即，可得，則，所以該雙曲線離心率的取值范圍是．故選：A.關鍵點點睛：1.巧妙設點：設點，根據垂直和長度關系可取；2.根據漸近線的幾何意義可得.二、多選題（共3題，每題6分．全部選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點的坐標可能是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據題意，分和，兩種情況討論，結合直線與拋物線的位置關系的判定方法，即可求解.【詳解】當時，直線與只有一個公共點，滿足題意，此時的坐標為12,0；當時，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得或（舍去），此時對應的的坐標為1,0.故選：BC.10.已知直線和圓，則下列選項正確的是（）A.直線恒過點B.圓與圓有三條公切線C.直線被圓截得的最短弦長為D.當時，圓上存在無數(shù)對關于直線對稱的點【正確答案】ACD【分析】根據定點的特征即可求解A，根據兩圓的位置關系即可求解B，根據垂直時即可結合圓的弦長公式求解C，根據直線經過圓心即可求解D.【詳解】對于A，由直線的方程，可知直線恒經過定點，故A正確；對于B，由圓的方程，可得圓心，半徑，又由，由于，所以圓與圓相交，圓與圓有兩條公切線，故B錯誤；對于C，由，根據圓的性質，可得當直線和直線垂直時，此時截得的弦長最短，最短弦長為，故C正確；對于D，當k=1時，直線，將圓心代入直線的方程，可得，所以圓上存在無數(shù)對關于直線對稱的點，故D正確，故選:ACD.11.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【正確答案】ABD【分析】對于A，利用旋轉前后拋物線焦點和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點的坐標，即得；對于C，將直點線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標，由兩點間距離公式求得弦長，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經過點時取最大值4，經過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.思路點睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計算判斷，并運用函數(shù)的圖象單調性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.三、填空題（共3題，每題5分．其中第14題第一空2分，第二空3分．）12.已知點分別是直線與直線上的點，則的最小值為______．【正確答案】##【分析】判斷兩直線平行，即可判斷的最小值為平行直線與的距離，根據平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意可知直線，直線，即，則兩直線斜率均為-2，且兩直線不重合，所以直線，所以當且時，有最小值，其最小值為平行直線與的距離，所以，故13.過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點，若使得的直線恰有條，則實數(shù)___________.【正確答案】8【分析】首先求出、、，根據雙曲線的對稱性可知必有一條弦垂直于軸或軸，求出軸、軸時的弦長，即可得解.【詳解】雙曲線，則，，，則右焦點為，因為過右焦點作直線交雙曲線于、兩點，使得的直線恰有條，由雙曲線的對稱性知必有一條弦垂直于軸或軸.若軸，由，解得或，所以，即，符合題意；若軸，由，解得或，此時，為最短弦長，只有一個解，而不是三個解，不符合題意，故舍去，綜上可得.故14.如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為______；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為______.【正確答案】①.②.【分析】根據題設條件可得的軌跡（如圖所示），再根據軌跡可得的周期和相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積.【詳解】設，如圖，當三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動時，開始時，先繞旋轉，當旋轉到時，旋轉到，此時，然后再以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，此時，當三角形再旋轉時，不旋轉，此時旋轉到，當三角形再旋轉后，必以為圓心旋轉，旋轉后旋轉到，點從開始到時是一個周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個零點，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故答案為.方法點睛：以圖形旋轉為背景的函數(shù)問題，應該通過前幾次的旋轉得到周期性，再在一個周期內討論對應的函數(shù)性質即可.四、解答題（共5題，共77分．）15.在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，求實數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由為直徑，可知圓心及半徑，進而可得圓的方程；（2）根據直線與圓相切，結合點到直線的距離可得解.【小問1詳解】由已知，，則M1,1，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】由直線，即，又直線與圓相切，可得，解得.16.已知點到點的距離比到直線的距離小1，記點的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，且，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據拋物線的定義可知所求軌跡為拋物線，結合條件可寫出方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程消元后根據韋達定理可得關系式，結合，可解出方程組，繼而利用弦長公式求解即可.【小問1詳解】由題意，到F1,0的距離和到直線的距離相等.故點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故曲線的方程為；【小問2詳解】設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，設Ax則，因為，則，解方程組，可得，或所以17.如圖，在四棱錐中，平面，底面ABCD是正方形，點F為棱PD的中點，.（1）若E是BC的中點，證明：平面；（2）求直線CF與平面ABF所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取PA的中點G，連接GE，GF，證四邊形ECFG是平行四邊形，再由線面平行的判定定理推理作答.（2）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【小問1詳解】取PA的中點G，連接GE，GF，因為E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點，且底面是正方形，則，即四邊形是平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐P-ABCD中，平面，底面ABCD是正方形，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，，，設平面ABF的法向量為，則，令，得，設直線CF與平面ABF所成角為，因此，而，則，所以直線CF與平面ABF所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的離心率為，右焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動點在雙曲線上，線段的中點為．（1）證明：直線的斜率為定值；（2）為坐標原點，若的面積為，求直線的方程．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題意可得的關系，求解即可.（2）設，求得弦長與原點到直線的距離，由面積可求直線的方程.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以雙曲線方程為，設，所以，兩式相減，可得，又線段的中點為，所以，，所以，解得，所以直線的斜率為定值；【小問2詳解】由（1）設直線的方程為，由，所以，整理可得，所以，解得或，所