湖南省岳陽市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（三）（三模）數(shù)學(xué)試題

湖南省岳陽市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（三）（三模）數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A={?2,?1,A．{?1,0C．{1,22．若虛數(shù)單位i是關(guān)于x的方程ax3+bA．2 B．2 C．5 D．53．直線2x?3y+1=0的一個方向向量是（）A．(3,2) B．(2,4．下列命題正確的是（）A．若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥αB．若直線a不平行于平面α且a?α，則平面α內(nèi)不存在與C．已知直線a，b，平面α,β，且a?α,b?β,D．已知兩條相交直線a，b，且a∥平面α，則b與α相交5．已知y=f(x+1)A．?12 B．?10 C．?6 D．?56．把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值508．已知函數(shù)f(x)A．(?1,0C．(?1,0二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（）A．C7nB．CC．(x?1)D．(1+x)3+10．已知函數(shù)f(A．ω=2B．f(xC．f(x)的圖象可由函數(shù)y=2D．滿足條件(f(x)11．如圖，四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面且面積為2，四邊形OO1DA繞OA．圓柱OO1B．當0<θ<π時，DC．當0<θ<π時，四面體CDD1D．當BD1三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線C過點(1,6)，且漸近線方程為y=±2x，則13．已知角α,β的終邊關(guān)于直線y=x對稱，且sin(α?β)=32，則α14．如圖所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一條直角邊AC在平面α內(nèi)，另一條直角邊BC長為33且∠BAC=π6，若平面α上存在點P，使得△ABP的面積為33，則線段四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知等差數(shù)列{an}滿足：a1=2，且a（1）求數(shù)列{a（2）若等差數(shù)列{an}的公差不為零且數(shù)列{bn}滿足：bn16．某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后，才能參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則：（1）若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中（2）復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績．已知某考生進入復(fù)試，他在復(fù)試中，前兩題每題能答對的概率均為34，后兩題每題能答對的概率均為317．已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為4的菱形，∠DAB=60°，PA=PC，PB=PD=210，M是線段PC上的點，且PC（1）證明：PC⊥平面BDM；（2）點E在直線DM上，求BE與平面ABCD所成角的最大值．18．已知動圓P過定點F(0,1)且與直線y=3（1）已知A、B兩點的坐標分別為(?2,1)、(2,1)，直線AP、（2）若點M(x1,y1)、N(x2,y2)是軌跡E上的兩個動點且x1x2=?4，設(shè)線段MN的中點為Q，圓19．已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=2b，點D在邊BC上，AD是∠BAC的角平分線，設(shè)AD=kAC（其中k為正實數(shù)）．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)f①當k=233②設(shè)x0是f(x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：原不等式x?3x+1≤0，轉(zhuǎn)化為(x?3)(x+1)≤0x+1≠0，解得-1<x≤3，

則集合B={x|?1<x≤3}，因為集合A=故答案為：B.【分析】先解不等式求得集合B，再根據(jù)集合的交集運算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因為i是方程ax3+bx2+2x+1=0(a,b∈R)的一個根，所以a故答案為：C.【分析】由題意，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件列式求得a,3．【答案】A【解析】【解答】解：易知直線2x?3y+1=0的斜率為23，

則直線2x?3y+1=0的一個方向向量為aA、因為3×23?1×2=0，所以向量(B、因為2×23?1×3≠0，即向量(2C、因為3×23?1×(?2)≠0，即向量(3D、因為2×23?1×(?3)≠0，即向量(2故答案為：A.【分析】先求直線的斜率即可得該直線的一個方向向量a，再根據(jù)向量共線求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l與α相交或平行，故A錯誤；B、若直線a不平行于平面α且a?α，則a與α相交，所以平面α內(nèi)不存在與a平行的直線，故B正確；C、已知直線a,b，平面α,β，且D、兩條相交直線a,b，且a//平面α，則b//平面α或b與故答案為：B.【分析】根據(jù)空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：因為函數(shù)y=f(所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,即f(故答案為：D.【分析】由題意，得函數(shù)y=f(x)6．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)這五個人分別為甲乙丙丁戊；因為乙丙安排在相鄰的兩天，將乙丙捆綁看成一個整體，再考慮2人之間的順序，有A2將這個整體與丁戊全排列，有A3排好后產(chǎn)生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有A3由分步乘法計數(shù)原理可知：不同的方案共有2×6×3=36種.故答案為：D.【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合捆綁法和插空法求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：由S20=100，可得S20因為a2≥a1>0，所以等差數(shù)列{則a10a11即當a10=a故答案為：B.【分析】由S20=100，利用等差數(shù)列的求和公式集合等差數(shù)列的性質(zhì)推出8．【答案】C【解析】【解答】解：當a<0時，若x<a，則f(x)=e因為函數(shù)f(x)=ex+a在(?∞若x≥a，則f(x)=x2+2ax=因為f(x)不存在最小值，所以?a2>a當a≥0時，若x<a，則f(x)=e因為函數(shù)f(x)=ex+a在(?∞若x≥a，則f(x)=x2+2ax=因為f(x)不存在最小值，所以3a2>a綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是(?1故答案為：C.【分析】分a<0,a≥0結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的取值規(guī)律，由函數(shù)不存在最小值列不等式求9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因為C7n=C7B、Cnm=n!C、(x?1)10展開式的第6項為TD、(1+x)3的展開式中x2的系數(shù)為C32，(1+x)4的展開式中x2的系數(shù)為C42，(1+x)5故答案為：BD.【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；利用組合數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論即可判斷B；根據(jù)二項式展開式的通項公式求第6項，確定其系數(shù)即可判斷C；結(jié)合二項式展開式的通項公式及組合數(shù)性質(zhì)求展開式中x210．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由圖可得：34T=13π12?π3B、因為x=1312π時，函數(shù)f(x所以φ=?π6，故f(可得kπ+π12≤2x?π6C、函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移π6D、因為f(x)f(4π3)=2cos(8π3?π6)=2由f(x)>1可得，cos(2x?π6即nπ?π取n=0可得?π12<x<π4由f(x)<0可得，cos(2x?π6即tπ+π3<x<tπ+5π6所以滿足條件(f(x)故答案為：ABD.【分析】由函數(shù)的圖象確定函數(shù)f(x)的周期，利用周期公式求ω即可判斷A；結(jié)合x=1312π時，函數(shù)取最大值，列方程求φ，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求f(11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、設(shè)圓柱OO1的底面半徑為r，母線長為四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面，則因為四邊形ABCD的面積為2，所以2rl=2，即rl=1，所以圓柱OO1的側(cè)面積B、因為DC為圓O1的直徑，所以DD1又A1D1⊥平面CDD所以DD1⊥A1D1所以DD1⊥平面A1C所以DDC、因為A1設(shè)四面體CDD1A1的外接球的半徑為因為∠DO1D1=θ所以D1C=2rsin所以4R2=4所以四面體CDD1AD、因為OA1=OB=r，∠A1所以A1所以BD1=所以4r2cos2所以cosθ≤?12又因為0≤θ≤π，所以2π3故答案為：ABD.【分析】設(shè)圓柱OO1的底面半徑為r，母線長為l，由已知可得rl=1，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式即可判斷A；由條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明DD1⊥平面A1CD1，由此證明DD112．【答案】5【解析】【解答】解：當雙曲線的焦點在x軸上時：

雙曲線的方程為x2a2當雙曲線的焦點在y軸上時：

設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b故答案為：52【分析】分焦點在x軸或y軸上兩種情況，設(shè)雙曲線方程，由題意列方程組結(jié)合離心率公式求解即可.13．【答案】5π12；【解析】【解答】解：因為角α,β的終邊關(guān)于直線y=x對稱，所以α+β=2kπ+π又因為sin(α?β)=32，所以α?β=2mπ+所以α=(k+m)π+5π12，β=(k?m)π+π12或α=(k+m)π+7π取k=0,m=0可得故α,β的一組取值可以是故答案為：5π12；π12.【分析】由題意可得α+β，再由sin(α?β)=14．【答案】6【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=33,因為平面ABC⊥α，平面ABC∩α=AC,AC⊥BC,所以BC⊥平面ABC，連接CP，如圖所示：

因為CP?α，所以BC⊥CP，得CP=BP2?BC2則S△ABP=12AB?BP當sinθ=1即θ=π2即AB⊥BP此時CP取到最小值BP故答案為：63【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)可得BC⊥CP，進而CP=BP215．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1，a2、a4成等比數(shù)列，所以(2+d)2=2(當d=2時，an所以數(shù)列{an}的通項公式為a（2）解：因為等差數(shù)列{an}的公差不為零，由（1）知a所以bn所以Tn=[1+12(【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}（2）求出數(shù)列{bn}16．【答案】（1）解：由題意得，樣本平均數(shù)的估計值為(40×0因為學(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中所以P(所以估計初試成績不低于85分的人數(shù)為0.（2）解：記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅，則能進入面試的復(fù)試成績?yōu)?0分，25分，30分，P(P(P(所以該考生進入面試的概率為P(【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)估算公式求出樣本平均數(shù)，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求概率，即可求解；（2）根據(jù)題意確定Y的取值，并求出對應(yīng)的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.17．【答案】（1）解：連接AC，BD交于點O，連接PO，由PA=PC，PB=PD=210，可得PO⊥AC又因為AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，又因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示：

∠DAB=60°，邊長為4，則OD=OB=2，OA=OC=23，在直角三角形BOP中，PB=210，所以O(shè)P=6則O(0,0,所以PC=所以PC?PC?所以PC⊥所以PC⊥DM,PC⊥BM又所以PC⊥平面BDM.（2）解：設(shè)DE=λ則E(2λ?2,33平面ABCD的一個法向量是n=(0,0,1)，設(shè)BE與平面當λ=0時，BE?平面ABCD，θ=0；當λ≠0時，sinθ=又θ∈[0,π2]所以θ≤π6，故【解析】【分析】（1）連結(jié)AC，BD交于點O，由題意推出PO⊥AC,PO⊥BD，建立空間直角坐標系，利用向量方法證明（2）根據(jù)線面角的向量求法求出BE與平面ABCD所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求線面角的最大值即可.18．【答案】（1）解：設(shè)點P(x,y)，依題有(x?0)2+(y?1k1=y?1x+2,k2（2）解：已知如圖所示：

顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+b，由x2=?4y+8y=kx+b消y在判別式大于零時，x1x2=4b?8，又所以x2+4kx?4=0，x1所以線段MN的中點坐標為Q(?2k,設(shè)Q(x,y)，則x=?2k所以Q的軌跡方程是x2圓P過定點F(0,由x2+(設(shè)C、D、G的橫坐標分別為c，d，g，因為C、D、G異于F，所以c，d，g都不為零，故x3+(4?2b)x+4a=0的根為令(x?c即有x3?(故△CDG的重心的橫坐標為定值．【解析】【分析】（1）利用兩點間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，最后利用軌跡方程化簡斜率之差證明即可；（2）先設(shè)直線MN的方程為y=kx+b，聯(lián)立直線與曲線方程，消元整理利用韋達定理表示出線段MN中點坐標Q(?2k,?2k2+1)進而得到Q的軌跡方程是x2=?2y+2，再與動圓P的方程聯(lián)立，得到C、D