內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

第20頁/共20頁呼和浩特市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)涂寫在答題卡上.2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本大題共12小題，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，得到，利用交集概念進(jìn)行求解.【詳解】，故.故選：C2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出，接著求出，即可得出共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由已知得，則，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：.3.已知直線、m、n與平面、，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】ACD可舉出反例；B選項(xiàng)，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進(jìn)而由線面垂直得到面面垂直.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，滿足，，但不垂直，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖2，因?yàn)?，所以作平面，使得，且，則，因?yàn)?，則，又，故，B正確；C選項(xiàng)，如圖3，滿足，，但不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖4，滿足，，，但不平行，D錯(cuò)誤.故選：B4.已知是偶函數(shù)，則的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由，得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由函數(shù)是偶函數(shù)，則，可得，即，所以，解得.故選：C.5.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（）A.9 B.12 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，得出，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是25，小正方形的面積是1，所以,設(shè)，則，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故選：B.6.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)在上函數(shù)值的正負(fù)情況，利用排除法判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此函?shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，則，因此，C錯(cuò)誤，A符合題意.故選：A7.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由定義得到為首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，利用求和公式求出答案.【詳解】由題意得，故為首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，則.故選：D8.用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（）A. B. C.35 D.21【答案】B【解析】【分析】求出，即，得到答案.【詳解】由題意得，故，即，故，解得.故選：B9.已知一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則該三棱柱的體積為（）A. B.12 C. D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由三視圖還原幾何體，可得其底面邊長，再由三棱柱的體積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，則底面正三角形一邊上的高為，正四棱柱的高為2，設(shè)底面邊長，則，解得，所以三棱柱的體積為.故選：A10.直線（）截圓所得弦長的最小值是（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)、圓的圓心坐標(biāo)及半徑，再利用圓的性質(zhì)及弦長公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，直線截圓所得弦長最短，所以所求最短弦長為.故選：C11.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)形為長方體，由勾股定理求出長方體的半徑即可，得到表面積.【詳解】將三棱錐補(bǔ)形為長方體，則長方體外接球即為三棱錐的外接球，如圖，的中點(diǎn)即為外接球的球心，為直徑，由勾股定理得，故半徑為，球表面積為.故選：B12.定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在上的圖象以及函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上的圖象與函數(shù)的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)有三對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，因此，函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過其對稱性和奇偶性得到其周期性，再作出兩函數(shù)圖象則得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).二、填空題：本大題共4小題.13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由拋物線，化為，可得，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.當(dāng)x、y滿足條件時(shí)，的最小值為__________.【答案】8【解析】【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，由幾何意義求出最小值.【詳解】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，如下：陰影部分即為可行域，為直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由幾何意義可知，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，聯(lián)立，解得，故.故答案為：815.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，，令，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組求得，進(jìn)而求得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻闷渲校獾?，所以，所以，可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.故答案為：.16.已知雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)（在第一象限，在第四象限），若，則該雙曲線的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】由已知條件設(shè)由雙曲線的定義得再由勾股定理得，從而得，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，由雙曲線的定義得：所以故，，又因?yàn)?，所以，所?即，.所以雙曲線的離心率.故答案為：.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)學(xué)生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題17.2023年秋末冬初，某市發(fā)生了一次流感疾病，某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究本地的流感疾病與當(dāng)?shù)鼐用裆盍?xí)慣（良好、不夠良好）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

良好不夠良好病例組2575對照組4555（1）分別估計(jì)病例組和對照組中生活習(xí)慣為良好的概率；（2）能否有99%的把握認(rèn)為感染此次流感疾病與生活習(xí)慣有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）0.45（2）有【解析】【分析】（1）根據(jù)病例組生活習(xí)慣為良好的頻率，對照組為生活習(xí)慣為良好的頻率，然后估計(jì)生活習(xí)慣為良好的概率從而可求解.（2）根據(jù)題意分別可知，，，從而求出，從而求解.【小問1詳解】由調(diào)查數(shù)據(jù)，病例組為生活習(xí)慣為良好的頻率，因此病例組為生活習(xí)慣為良好的概率的估計(jì)值為，對照組為生活習(xí)慣為良好的頻率，因此對照組為生活習(xí)慣為良好的概率的估計(jì)值為.【小問2詳解】由題意可知，所以，因?yàn)?，所以有的把我說患有該疾病與生活習(xí)慣有關(guān).18.在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c.已知，.（1）若，求角A；（2）若的面積，求邊c.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解；（2）利用面積公式和余弦定理求解【小問1詳解】∵，則，∴，由正弦定理得，即，解得，又∵，∴，∴.【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，，所以或.19.如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將沿BE折起到如圖2中的位置，得到四棱錐.圖1圖2（1）證明：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由折疊前的圖象可得，則在折疊后有、，結(jié)合線面垂直的判定定理與線面垂直的性質(zhì)定理即可得；（2）結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理與錐體體積公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】在圖1中，連接,∵，，E是AD的中點(diǎn)，所以四邊形是正方形，∴,∴在圖2中，，，又，、平面，∴平面.又，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，又∵平面，∴；【小問2詳解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵，，∴.20.已知橢圓：的焦距為2，點(diǎn)在橢圓C上，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P是橢圓C上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上，且，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距和點(diǎn)得到方程組，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，根據(jù)垂直關(guān)系和相等關(guān)系得到方程組，求出，結(jié)合P是橢圓上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，求出，進(jìn)而得到，從而求出三角形面積.【小問1詳解】由橢圓C的焦距為2，故，則，又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，代入C得，解得，，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題：，，設(shè)，，顯然，，，∵，則點(diǎn)P滿足：①又∵，∴②聯(lián)立①②得，解得，又點(diǎn)P在第二象限，且滿足，∴，，∴把，，代入①得，∴又∵，∴，直線方程為：，∴點(diǎn)Q到直線AP的距離，∴.21.已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）等于函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，由的單調(diào)性求，再利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性得取值范圍.【小問1詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】因?yàn)椋扔诤瘮?shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，由（1）可知：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又，.故當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，即：.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即.綜上所述：所以，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的普通方程；（2）若，，在曲線上任取一點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可消去參數(shù)可得；（2）求出的普通方程和直線的方程可知兩直線平行，利用平行線間的距離公式可得，易知，即可求出面積.【小問1詳解】由的參數(shù)方程為（），消去可得的普通方程為；【小問2詳解】易知的普通方程為，直線的斜率為，直線的方程為，即，可知直線