2024北京通州區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題2024北京通州高二（上）期末數(shù)學(xué)2024年1月本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.52.已知P為雙曲線右支上一點，為雙曲線的左右焦點，等于（）A.8 B.6 C.4 D.33.已知橢圓的左右焦點為，上下頂點為，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.4.已知點在拋物線上，且點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則等于（）A.1 B.2 C. D.5.已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列，則等于（）A.511 B.1022 C.1023 D.20477.已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）A.有最大值為 B.有最大值為C.有最大值為30 D.有最小值為308.已知首項為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與C交于，兩點，若面積是面積的2倍，則m等于（）A.6 B. C. D.10.已知數(shù)列的通項公式為，給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；③數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；④數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知等比數(shù)列，則__________．12.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則__________．13.已知數(shù)列的通項公式是，使數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項的一個t的值為__________．14.如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于，已行車道AB總寬度，則車輛通過隧道的限制高度為__________m．15.已知曲線．關(guān)于曲線W有四個結(jié)論：①曲線W既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②曲線W的漸近線方程為；③當(dāng)時曲線W為雙曲線，此時實軸長為2；④當(dāng)時曲線W為雙曲線，此時離心率為．則所有正確結(jié)論的序號為__________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知圓，點．（1）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）求過P點的圓C的切線方程．17.已知直線與拋物線相交于A，B兩點．（1）求弦長及線段的中點坐標(biāo)；（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過坐標(biāo)原點O？并說明理由．18.設(shè)數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個符合題目要求的條件作為已知，完成下列問題．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．條件①：且;條件②：且；條件③：且．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點B到平面的距離．20.已知橢圓，點A，B為橢圓C的左右頂點（A點在左），，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．21.已知數(shù)列滿足：．（注：）（1）若，求及數(shù)列的通項公式；（2）若，求的值．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】B【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差為，建立等量關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得：，.故選：B.2.【答案】B【分析】由雙曲線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為P為雙曲線右支上一點，所以.故選：B.3.【答案】C【分析】根據(jù)四邊形為正方形得到的關(guān)系，結(jié)合離心率計算公式求解出結(jié)果.【詳解】因為四邊形為正方形，所以，所以，所以，故選：C.4.【答案】D【分析】由拋物線的定義可求出，再由即可求出結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義知，點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，所以，又，所以.故選：D.5.【答案】A【分析】先根據(jù)離心率計算出的值，然后根據(jù)漸近線方程為分析出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，所以，又因為的漸近線方程為，且，所以漸近線方程為，故選：A.6.【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用累加法及等比數(shù)列求和公式得解.【詳解】因為，所以，，，，，，累加可得：，所以.故選：C7.【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由，公差得，，易知一定為正整數(shù)，且結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)或時，取得最大值30，顯然C正確.故選：C8.【答案】A【分析】由可判斷充分性；取可判斷必要性.【詳解】在等比數(shù)列中，，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，故充分性成立；當(dāng)單調(diào)遞增時，時，單調(diào)遞增，但是推不出，故必要性不成立.故選：A.9.【答案】D【分析】利用面積關(guān)系，得到線段比例關(guān)系，設(shè)出直線與軸交點后求參數(shù)即可.【詳解】易得，故，設(shè)，，直線與軸交點，面積為，面積為，由題意得面積是面積的2倍，則，化簡得，結(jié)合，故，解得，即，故，解得.故選：D.10.【答案】B【分析】先根據(jù)的正負(fù)判斷出的單調(diào)性，然后根據(jù)的單調(diào)性求解出的取值范圍，由此可判斷出正確結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以，所以為單調(diào)遞減數(shù)列；又因為，當(dāng)且，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，由上可知，②④正確，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】27【分析】先求出公比，然后代入即可求解.【詳解】由題意（為公比），所以.故答案為：27.12.【答案】4【分析】根據(jù)雙曲線的方程得出其左焦點為，根據(jù)拋物線的方程得出其準(zhǔn)線為，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的左焦點為，又拋物線的準(zhǔn)線為，所以，得到，故答案為：.13.【答案】（答案不唯一，中的一個值）【分析】記，然后分類討論、，當(dāng)以及時可直接根據(jù)通項公式的取值正負(fù)作出判斷，當(dāng)時，根據(jù)的正負(fù)作出判斷，由此可求解出結(jié)果.【詳解】記，當(dāng)時，即，顯然恒成立，不滿足要求；當(dāng)時，或，若，則，所以恒成立，不滿足要求；若，此時，必然滿足數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項，由上可知，的可取值的范圍是，故可取，故答案為：（答案不唯一，中的一個值）.14.【答案】【分析】先求出拋物線的解析式，再根據(jù)題意判斷該隧道能通過的車輛的最高高度即可得到結(jié)論.【詳解】取隧道截面，拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由圖易知拋物線過點，所以，得到，故拋物線方程為，又行車道AB總寬度，將代入，得到，所以限制高度為，故答案為：.15.【答案】①②④【分析】①根據(jù)以代換、代換、以代換，代換后方程是否變化作出判斷；②根據(jù)、時的關(guān)系式作出判斷；③根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，然后通過將圖形順時針旋轉(zhuǎn)再作出判斷；④根據(jù)的關(guān)系式判斷是否為雙曲線，結(jié)合③中的旋轉(zhuǎn)過程以及漸近線方程可求解出離心率.【詳解】①以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對稱，以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對稱，以代換，代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于原點成中心對稱，所以曲線既關(guān)于軸對稱，也關(guān)于軸對稱，同時關(guān)于原點成中心對稱，故①正確；②如下圖：當(dāng)時，，可知漸近線為；當(dāng)時，，可知漸近線為；所以曲線的漸近線方程為，故②正確；③當(dāng)時，，顯然此時曲線為雙曲線，因為與的交點為，所以，將雙曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，如下圖：此時雙曲線與軸的交點為，所以，所以實軸長為，故③錯誤；④當(dāng)時，，顯然此時曲線為雙曲線，將雙曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，此時漸近線方程為，所以，所以離心率，故④正確，故答案為：①②④.【點睛】結(jié)論點睛：曲線的方程為，①如果，則曲線關(guān)于軸對稱；②如果，則曲線關(guān)于軸對稱；③如果，則曲線關(guān)于原點成中心對稱.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）圓心坐標(biāo)為，半徑為（2）或【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑；（2）先考慮切線斜率不存在，直接分析即可；再考慮切線斜率存在，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可求結(jié)果.【小問1詳解】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.【小問2詳解】當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為，此時，不符合題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)過P點的切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得或，當(dāng)時，切線方程為，當(dāng)時，切線方程為，即，綜上所述，過P點的圓C的切線方程為或．17.【答案】（1），中點坐標(biāo)為（2）以為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點O，理由見解析【分析】（1）設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理可求，根據(jù)的值可求線段的中點坐標(biāo)；（2）根據(jù)韋達(dá)定理計算出的值，然后可判斷出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去y整理得，且，所以，所以，又因為，所以線段的中點坐標(biāo)為．【小問2詳解】以為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點O．因為，所以與不垂直，故以為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點O．18.【答案】（1）選擇條件①：，不合題意；選擇條件②：；選擇條件③：（2）選擇條件②：；選擇條件③：.【分析】（1）選①，利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程組，求出公差不符合題意，選②，③利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程組，求出首項和公差即可求出通項公式.（2）將第一問結(jié)論代入，再利用裂項相消即可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d．選擇條件①：且，解得，不合題意．選擇條件②：且，由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項公式為．選擇條件③：且，由等差數(shù)列前n項和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項公式為．【小問2詳解】選擇條件②：因為，所以，．選擇條件③：因為，所以．所以．19.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；（3）利用點到平面距離的向量公式求解即可.【小問1詳解】因為為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，又，所以兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，又因為平面，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】因為平面的法向量，，所以，所以點B到平面的距離為.20.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的值，然后根據(jù)求得的值，則橢圓方程可知；（2）設(shè)出方程以及坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線與橢圓方程得到縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，表示出直線的方程并得到點橫坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，結(jié)合韋達(dá)定理可求點橫坐標(biāo)，由此完成證明.【小問1詳解】由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】證明：由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立可得，顯然，所以，所以，又因為，所以，令，則，解得，即，所以點P在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，涉及橢圓方程求解、橢圓中定直線問題，對學(xué)生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題第二問的關(guān)鍵在于：利用縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理關(guān)系表示出直線與直線的交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)判斷出點是否位于定直線上.21.【答案】（1），（2）199【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再寫出，兩式相減化簡可得數(shù)列成等比數(shù)列，即可得解；（2）根據(jù)遞推關(guān)系得出，再寫出兩式相減可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項公式可得，再由（1）可