二次函數(shù)總復(fù)習(xí)課件

二次函數(shù)總復(fù)習(xí)二次函數(shù)定義定義一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b稱為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱為常數(shù)項(xiàng)。特點(diǎn)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，并且開口方向、對稱軸位置和頂點(diǎn)坐標(biāo)均受二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b的影響。二次函數(shù)的一般形式1表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c2系數(shù)a,b,c是常數(shù)，其中a≠03變量x是自變量，y是因變量二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)二次函數(shù)圖像是一個(gè)拋物線，具有以下特點(diǎn):開口方向:由二次項(xiàng)系數(shù)的符號決定，系數(shù)為正，開口向上；系數(shù)為負(fù)，開口向下。對稱軸:一條垂直于x軸的直線，經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸的方程為x=-b/2a。頂點(diǎn):拋物線上離對稱軸最近的點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))。二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像對稱軸二次函數(shù)圖像關(guān)于對稱軸對稱，對稱軸的方程為x=-b/2a。頂點(diǎn)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))，頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。開口方向當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)，開口向下。開口方向取決于二次項(xiàng)系數(shù)的符號。二次函數(shù)的定義域和值域二次函數(shù)的定義域是所有實(shí)數(shù)。二次函數(shù)的值域取決于函數(shù)的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)的最大值和最小值最大值當(dāng)開口向上時(shí)，二次函數(shù)在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增，在對稱軸處取得最小值。最小值當(dāng)開口向下時(shí)，二次函數(shù)在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減，在對稱軸處取得最大值。二次函數(shù)的最大最小值問題1頂點(diǎn)坐標(biāo)利用頂點(diǎn)公式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定最大值或最小值2配方法將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，方便求得最大值或最小值3不等式利用二次函數(shù)的單調(diào)性，通過解不等式求得最大值或最小值二次函數(shù)應(yīng)用題橋梁設(shè)計(jì)拱形橋的曲線可以用二次函數(shù)來表示，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以計(jì)算橋梁的最佳高度和跨度。拋物線運(yùn)動(dòng)一些物體在重力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡可以用二次函數(shù)來描述，例如籃球的拋物線運(yùn)動(dòng)。利潤最大化企業(yè)可以通過建立利潤函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的最值來確定最佳的生產(chǎn)規(guī)模，從而實(shí)現(xiàn)利潤最大化。二次函數(shù)的平移和旋轉(zhuǎn)1平移將函數(shù)圖像沿坐標(biāo)軸平移，改變函數(shù)圖像的位置。2旋轉(zhuǎn)將函數(shù)圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，改變函數(shù)圖像的朝向。二次函數(shù)的圖像平移向上平移將函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)加上一個(gè)正數(shù)，圖像向上平移。向下平移將函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)減去一個(gè)正數(shù)，圖像向下平移。向右平移將函數(shù)表達(dá)式中的自變量x減去一個(gè)正數(shù)，圖像向右平移。向左平移將函數(shù)表達(dá)式中的自變量x加上一個(gè)正數(shù)，圖像向左平移。二次函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)1旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)角度繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)的角度3旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針或逆時(shí)針配方法求二次函數(shù)的最值1配方將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式2頂點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)頂點(diǎn)式確定函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)3最值根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷函數(shù)最值配方法解二次方程1標(biāo)準(zhǔn)形式將二次方程化為a(x+b/2a)2+c-b2/4a=0的形式。2化簡將方程左側(cè)化為完全平方形式，右側(cè)為常數(shù)。3解方程對完全平方項(xiàng)開方，求解x的值。配方法解應(yīng)用問題1實(shí)際問題轉(zhuǎn)化將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型2配方法求解利用配方法求解二次函數(shù)的最值3結(jié)果應(yīng)用將求得的最值應(yīng)用到實(shí)際問題中判別式求解二次方程步驟一將二次方程化為一般形式：ax2+bx+c=0。步驟二計(jì)算判別式：Δ=b2-4ac。步驟三根據(jù)判別式的值判斷方程根的情況：當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。步驟四若Δ≥0，則利用求根公式求解方程：x=(-b±√Δ)/2a判別式與二次函數(shù)性質(zhì)判別式判別式用于判斷二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而反映二次函數(shù)的性質(zhì)。Δ>0圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。Δ=0圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。Δ<0圖像與x軸沒有交點(diǎn)，函數(shù)沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根。不等式的解法符號不等式通常使用大于號（>）、小于號（<）、大于等于號（>=）和小于等于號（<=）來表示兩個(gè)表達(dá)式之間的關(guān)系。解集不等式的解集是指滿足不等式的所有數(shù)值。步驟求解不等式一般包括以下步驟：化簡、求解、檢驗(yàn)。一元二次不等式的解法1配方法將不等式轉(zhuǎn)化為完全平方形式2判別式法利用判別式判斷根的存在情況3數(shù)軸法用數(shù)軸表示不等式的解集二元二次不等式的解法畫出圖形首先，我們要畫出二元二次不等式所對應(yīng)的曲線或曲面。這通常需要我們通過一些技巧來化簡不等式，并將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。確定區(qū)域根據(jù)不等式的符號，我們可以確定圖形所對應(yīng)的區(qū)域。例如，如果不等式是大于號，則區(qū)域是曲線或曲面外部的區(qū)域；如果是小于號，則區(qū)域是曲線或曲面內(nèi)部的區(qū)域。驗(yàn)證邊界最后，我們需要驗(yàn)證邊界點(diǎn)是否滿足不等式。如果邊界點(diǎn)滿足不等式，則該點(diǎn)也屬于解集；如果不滿足，則該點(diǎn)不屬于解集。二次函數(shù)的綜合應(yīng)用運(yùn)用二次函數(shù)知識(shí)解決幾何問題，例如求三角形面積、求圓的方程等。利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解決最大值、最小值、最優(yōu)解等問題。綜合運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)，解決一些較為復(fù)雜的應(yīng)用問題。二次函數(shù)建模問題實(shí)際問題將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使用二次函數(shù)來描述問題中的關(guān)系。建立模型根據(jù)問題的背景和條件，確定自變量和因變量，并建立二次函數(shù)模型。求解問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，求解模型中的參數(shù)和目標(biāo)值。優(yōu)化問題1目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)代表需要優(yōu)化的量，通常表示為一個(gè)二次函數(shù)。2約束條件約束條件是問題中需要滿足的限制條件，也可能用不等式表示。3最優(yōu)解最優(yōu)解是指在滿足約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的解。經(jīng)濟(jì)問題1成本分析例如，如何用二次函數(shù)來分析企業(yè)生產(chǎn)成本的變化趨勢，找到最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模。2利潤計(jì)算例如，如何用二次函數(shù)來計(jì)算企業(yè)利潤的最大值，確定最佳價(jià)格策略。3投資決策例如，如何用二次函數(shù)來分析投資項(xiàng)目收益率的變化，做出最佳投資決策。概率問題事件概率計(jì)算事件發(fā)生的可能性，例如拋硬幣正面朝上的概率。條件概率在已知某些事件發(fā)生的情況下，計(jì)算其他事件發(fā)生的概率。概率分布描述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律，例如正態(tài)分布、泊松分布。平面幾何問題直線與圓利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決直線與圓的位置關(guān)系問題，例如求解圓的方程、直線與圓的交點(diǎn)等。三角形與圓利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，分析三角形與圓的位置關(guān)系，求解三角形的面積、周長等。四邊形與圓運(yùn)用二次函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)，解決四邊形與圓的面積、周長、對角線等問題。物理問題拋射運(yùn)動(dòng)應(yīng)用二次函數(shù)模型分析拋射物運(yùn)動(dòng)軌跡，例如計(jì)算射程、最大高度和飛行時(shí)間。單擺運(yùn)動(dòng)利用二次函數(shù)描述單擺的周期與擺長的關(guān)系，研究單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。自由落體運(yùn)動(dòng)應(yīng)用二次函數(shù)公式計(jì)算自由落體運(yùn)動(dòng)的距離、速度和加速度，分析自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，很多問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題進(jìn)行解決。解題方法常見的解題方