2024年高考數(shù)學(xué)（北京卷）真題詳細(xì)解讀及評(píng)析

2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（北京卷）

辿試卷總評(píng)Ig

2024年北京高考數(shù)學(xué)卷（以下簡(jiǎn)稱北京卷）在命題思路和特點(diǎn)上展現(xiàn)了其獨(dú)特之處，充分體現(xiàn)了“立

德樹人，服務(wù)選才，引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了守正創(chuàng)新。試卷不僅在知識(shí)考查上

全面而深入，更注重對(duì)考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)的檢驗(yàn)，彰顯了首都特色與教育改革的精神。

一、筑牢育人根基，凸顯德育價(jià)值

北京卷注重將數(shù)學(xué)知識(shí)與德育內(nèi)容相融合，通過精心設(shè)計(jì)的題目，使考生在解題過程中感受到數(shù)學(xué)的

德育價(jià)值。例如，通過引入古代數(shù)學(xué)文化元素，讓考生了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，增強(qiáng)民族自信

心和自豪感。同時(shí)，試卷還關(guān)注勞動(dòng)教育和美育的考查，使考生在解題過程中體會(huì)勞動(dòng)的價(jià)值和數(shù)學(xué)的美

育價(jià)值。

二、夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，強(qiáng)化能力考查

北京卷在命題上緊扣課標(biāo)和教材，注重考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法。試卷對(duì)主干

知識(shí)的考查保持了較高比例，同時(shí)注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，引導(dǎo)考生深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法。

通過對(duì)不同層次、不同難度題目的設(shè)置，實(shí)現(xiàn)時(shí)考生思維水平的區(qū)分和選拔。

三、彰顯首都特色，體現(xiàn)創(chuàng)新精神

北京卷在命題中充分體現(xiàn)了首都特色和創(chuàng)新精神。試卷在題目設(shè)計(jì)和呈現(xiàn)形式上注重創(chuàng)新，通過設(shè)置

開放性問題、多項(xiàng)選擇問題等，激發(fā)考生的探究興趣和創(chuàng)新思維。同時(shí)，試卷還關(guān)注對(duì)考生可持續(xù)學(xué)習(xí)能

力的培養(yǎng)，通過設(shè)置具有探究背景的題目，引導(dǎo)考生養(yǎng)成終身學(xué)習(xí)的意識(shí)和能力。

四、堅(jiān)持守正創(chuàng)新，服務(wù)考試改革

北京卷在保持命題穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，不斷探索和創(chuàng)新。試卷在命題思路、題目類型和呈現(xiàn)形式上都有

所創(chuàng)新，同時(shí)注重與教學(xué)實(shí)踐的緊密結(jié)合，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在六個(gè)方面“下功夫”，即主干知識(shí)的掌握、

學(xué)科本質(zhì)的理解、思想方法的領(lǐng)悟、應(yīng)用探究能力的提升、創(chuàng)新思維的形成以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。

總的來說，2024年北京高考數(shù)學(xué)卷在命題上體現(xiàn)了全面育人、選拔人才和引導(dǎo)教學(xué)的理念，注重考查考生

的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)，彰顯了首都特色和創(chuàng)新精神。同時(shí)，試卷也注重與教學(xué)實(shí)踐的緊密結(jié)合，為中學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)提供了有益的啟示和導(dǎo)向。

題型新變化

北京2024年高考數(shù)學(xué)題目設(shè)訂在整體結(jié)構(gòu)上與往年保持了致性，依然注重考直學(xué)生對(duì)集合、復(fù)數(shù)、

二項(xiàng)式定理、解析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。從題目的難易程度上看，大部

分題目設(shè)計(jì)得相對(duì)簡(jiǎn)單，旨在檢驗(yàn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，預(yù)計(jì)這?部分的分值大約占100分左右。

難題的數(shù)量相對(duì)較少，但加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生思維能力的考查，強(qiáng)調(diào)學(xué)科核心素養(yǎng)的導(dǎo)向。容易的題目占據(jù)了多

數(shù)，旨在讓不同層次的學(xué)生都能得到充分的展示機(jī)會(huì)。特別是第10、15、19、20、21題，這些題目設(shè)置得

較為有區(qū)分度，能夠拉開不同學(xué)生之刊的水平差坨。特別值得一提的是第21題，這道題目以新定義的形式

出現(xiàn)，旨在為優(yōu)秀的人才提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才的選拔，助推素質(zhì)教方的發(fā)展。整

個(gè)試卷的設(shè)計(jì)避免了死記硬背和偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素

養(yǎng)，體現(xiàn)了高考改革的新方向。

|二倩分析［修

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容模塊（題目數(shù)）

14分選擇題集合的并集運(yùn)算集合（共2題）

24分選擇題復(fù)數(shù)的乘法4運(yùn)算復(fù)數(shù)（共1題）

34分選擇題直線與圓、點(diǎn)到直線的距離解析幾何（共4題）

44分選擇題二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)二項(xiàng)式定理（共1題）

54分選擇題平面向量與命題邏輯平而向量（共1題）

64分選擇題三角函數(shù)的最值與周期性解三角形與三角函數(shù)

（共4題）

74分選擇題對(duì)數(shù)運(yùn)算函數(shù)（共3題）

84分選擇題空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間幾何立體兒何（共3題）

體的高

94分選擇題指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本函數(shù)（共3題）

不等式基本不等式（共1題）

104分選擇題借助集合的背景，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合集合（共2題）

的思想去轉(zhuǎn)化題目中的幾何意義函數(shù)（共3題）

115分填空題拋物線的性質(zhì)解析幾何（共4題）

125分填空題三角函數(shù)的單調(diào)性解三角形與三角函數(shù)

（共4題）

135分填空題雙曲線的基本性質(zhì)解析幾何（共4題）

145分填空題等比數(shù)列的性質(zhì)及求空間兒何體的體數(shù)列（共3題）

積空間幾何體的體積（共3題）

155分填空題利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的散點(diǎn)圖特?cái)?shù)列（共3題）

征分析它們之間的性質(zhì)成對(duì)數(shù)據(jù)分析（共1題）

1613分解答題正余弦定理解三角形與三角函數(shù)

（共4題）

1713分解答題線而平行、而面所成角立體幾何（共3題）

1814分解答題古典概型、離散型隨機(jī)變量分布列統(tǒng)計(jì)與概率

1915分解答題橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置解析幾何（共4題）

關(guān)系

2015分解答題導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)（共1題）

2115分解答題新定義、數(shù)列數(shù)列（共3題）

辿備考指津—I、嶺

1.高考一輪復(fù)習(xí)：回歸基礎(chǔ)，深化理解（1）選擇好復(fù)習(xí)起點(diǎn)，重視知識(shí)產(chǎn)生的過程：在復(fù)習(xí)過程中,

我們不應(yīng)僅僅滿足于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶和背誦，而應(yīng)深入理解知識(shí)的產(chǎn)生過程。這包括了解知識(shí)的來源、背

景、發(fā)展脈絡(luò)以及其在整個(gè)學(xué)科體系中的位置和作用。通過追溯知識(shí)的根源，我們能夠更加全面地掌握知

識(shí)，增強(qiáng)記憶深度，同時(shí)培養(yǎng)我們的思維能力和探索精神。（2）以問題為導(dǎo)向的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)：?jiǎn)栴}導(dǎo)向的復(fù)

習(xí)方法能夠幫助我們更加有針對(duì)性地進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過設(shè)定問題，我們能夠明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從而有針

對(duì)性地查找和解決問題。這種復(fù)習(xí)方法不僅能夠增強(qiáng)我們的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，還能夠提高我們的學(xué)習(xí)效率。

同時(shí)，通過解決問題，我們能夠加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶，形成更加完整和系統(tǒng)的知識(shí)體系。（3）重視

教材的使用：教材是學(xué)科知識(shí)的載體，也是我們進(jìn)行復(fù)習(xí)的主要工具。因此，在一輪復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)充分

利用教材，深入研讀教材內(nèi)容。通過反復(fù)閱讀和思考教材內(nèi)容，我們能夠更好地理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，加深

對(duì)知識(shí)的印象。同時(shí)，教材上的例題和習(xí)題也是我們進(jìn)行練習(xí)和鞏固知識(shí)的重要資源。（4）題組教學(xué)，變

式訓(xùn)練：題組教學(xué)和變式訓(xùn)練是提高學(xué)生解題能力和思維水平的有效方法。在一輪復(fù)習(xí)中，我們可以選擇

典型的例題進(jìn)行深入的解析和訓(xùn)練。通過題組教學(xué)，我們能夠了解不同題型的特點(diǎn)和解題方法，形成解題

的套路和技巧。同時(shí)，通過變式訓(xùn)練，我們能夠拓展解題思路和方法，提高解題的靈活性和應(yīng)變能力。這

不僅有助于我們?cè)诟呖贾袘?yīng)對(duì)各種題型和難度，還能夠培養(yǎng)我們的思維能力和創(chuàng)新精神。

2.提高課堂聽課效率：勤動(dòng)手，多動(dòng)腦，高效利用高三復(fù)習(xí)課與評(píng)講課。（1）課前自我檢測(cè)與預(yù)復(fù)習(xí)：

在復(fù)習(xí)課之前，我們應(yīng)該進(jìn)行一番自我檢測(cè)。通過【可顧教材、筆記和之前的作業(yè)，梳理出自己已掌握的知

識(shí)點(diǎn)，同時(shí)標(biāo)出那些還存在疑惑或未掌握的內(nèi)容。這樣的預(yù)復(fù)習(xí)不僅能幫助我們明確聽課的目的，還能在

聽課時(shí)更有針對(duì)性地吸收知識(shí)。（2）動(dòng)手做題，明確難點(diǎn):現(xiàn)在的學(xué)生手中都會(huì)有一本復(fù)習(xí)資料。在老師講

課之前，我們可以嘗試獨(dú)立完成其中的例題。在解題過程中，我們可能會(huì)遇到一些難點(diǎn)或疑惑。這些難點(diǎn)

正是我們聽課的術(shù)點(diǎn)，它們將引導(dǎo)我們更加深入地理解知識(shí)，并找出自己的不足。（3）聽課有重點(diǎn)，多動(dòng)

腦思考：在聽課時(shí)，我們要保持高度的專注力，認(rèn)真聽老師講解每?個(gè)知識(shí)點(diǎn)利解題技巧。對(duì)于課前做題

時(shí)遇到的難點(diǎn)，要特別留意老師的講解，并多動(dòng)腦思考，確保自己完全理解和掌握。此外，我們還要積極

參與課堂討論，發(fā)表自己的觀點(diǎn)和疑問，與老師和同學(xué)共同探討，以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。（4）課后及時(shí)

鞏固與反思：課后，我們要及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，通過做題、復(fù)習(xí)筆記等方式加深記憶。同時(shí)，我們還要對(duì)

聽課過程進(jìn)行反思，總結(jié)自己的收獲和不足，以便在下一節(jié)課中更加有針對(duì)性地聽課。

3.精掂糾錯(cuò)，深化反思，完善知識(shí)體系（1）在高三的緊張復(fù)習(xí)階段，我們需要枳極“以錯(cuò)糾錯(cuò)”，即

專門收集日常作業(yè)中的錯(cuò)誤。隨著復(fù)習(xí)的深入，我們將面對(duì)幾十套甚至上百套的各類試題，每個(gè)錯(cuò)誤君是

我們成長(zhǎng)的墊腳石。（2）若在做題時(shí)出錯(cuò)較多，建議在試卷上對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行標(biāo)記，并旁邊附上簡(jiǎn)短的評(píng)析。

隨后，妥善保存這些試卷。定期回顧這些“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記了錯(cuò)題的試卷，將幫助我們有針對(duì)性地進(jìn)行

查漏補(bǔ)缺。（3）在閱讀參考書時(shí)，不妨將精彩之處或錯(cuò)誤的題目也做上標(biāo)記。這樣，在再次翻閱時(shí)就能有

所側(cè)重，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)。查漏補(bǔ)缺不僅是對(duì)知識(shí)的回顧，更是對(duì)自己總維方式的反思與提升。（4）除了逐

一理解不同問題外，更要學(xué)會(huì)“舉一反三”，及時(shí)歸納總結(jié)。每次訂正試卷或作業(yè)時(shí)，都要在錯(cuò)題旁詳細(xì)

記錄錯(cuò)誤原因.常見原因包括：①無從下手解題：②概念模糊、理解不透徹：③方法選擇不當(dāng)：④知識(shí)點(diǎn)

間遷移和綜合存在問題：⑤情景設(shè)計(jì)理解困難；⑥熟練度不夠，時(shí)間緊迫：⑦粗心大意或計(jì)算失誤。通過

一段時(shí)間的自查，建立一份個(gè)性化的補(bǔ)差檔案，持續(xù)邊查邊改。隨著時(shí)間的推移，重復(fù)犯錯(cuò)的頻率會(huì)大幅

降低。同時(shí)，隨著自我認(rèn)識(shí)的不斷深化，考試時(shí)的自信心將增強(qiáng)，緊張情緒也將得到緩解。

真題解讀

2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（北京卷）

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合{xlTvx"","={x|-lvx<3},則（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<1}

C.{0,1,2}D.{止I<xv4}

【命題意圖】本題考查集合的并集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：易.

【解析】由題有得MuN=（-4,3）,故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】集合是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)、一般以容易題面目呈現(xiàn),考查熱點(diǎn)一是集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算,

二是集合之間的關(guān)系，所給集合多為不等式集、離散的數(shù)集或點(diǎn)集，這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.

【知識(shí)徒接】

I.求解集合的運(yùn)算問題的三個(gè)步驟：

（1）看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵，即辨清是數(shù)

集、點(diǎn)集還是圖形集等：

（2）應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖（Venn）.

7

2.匚知一=i-1,貝（jz=（）.

i

A.1-iB.-iC.-1-iD.

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)第考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：易.

【答案】C

【解析】由題意得Z=i（i-l）=-l—i,故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，復(fù)數(shù)題多以單選題、填空題都可能出現(xiàn)，考查熱

點(diǎn)一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共筑復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義等，二是

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算.

【知識(shí)鏈接】

解復(fù)數(shù)運(yùn)算問題的常見類型及解題策略

（I）復(fù)數(shù)的乘法.發(fā)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作

另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

（2）復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共挽復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的事寫成最簡(jiǎn)形式.

（3）復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為。+加3力wR）的形式，再結(jié)合相關(guān)

定義解答.

（4）復(fù)數(shù)的運(yùn)克與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)兜法則化簡(jiǎn)，一般化為〃+齒3.8￡R）的形式，再結(jié)合

復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

3.國工2+,2一2工+6、=0的圓心到直線丫一），+2=0的距離為（）

A.＞/2B.2C.3D.3亞

【命題意圖】本題考查由圓的一般方程求出圓心和半徑以及圓心到直線的距離公式，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

難度：易

【答案】D

【解析】由題意得f+尸一2工+6），=0,即（x—1『+（.y+3）2=10,

|1-（-3）+2|廣

則其圓心坐標(biāo)為（1,一3）,則圓心到直線x-y+2=0的距離為J.（］）2=312.故選;D.

【點(diǎn)評(píng)】今年的直線與圓的位置關(guān)系考的比往年要簡(jiǎn)單，往年著重考查圓有關(guān)的最值問題，今年考查的是

基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，學(xué)生易得分。

【知識(shí)鏈接】（1）對(duì)于方程/+），2+瓜+或+”=0（。,￡尸為常數(shù)），當(dāng)。2+￡2-4尸＞。時(shí)，方程

x2+），+Dx+Ey+F=0叫做圓的?般方程.方程表示以為圓心，以+4=為半徑的圓:

22

（2）設(shè)圓C：（工-〃）2+（?「勿2=/（＞0）直線/：Av+By4-C=0（A+5^0）;圓心C（ab）到直線/的距離

\Aa+Bb+C\

YIA2+B2

4.在1一五了的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

【命題意圖】本題考盒二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：易

【答案】A

【解析】卜-4『的二項(xiàng)展開式為*=C：f[_?J=c：（—1）'；W（"（U2,3,4），

令4一5=3,解得廠=2,故所求即為C；（—11=6.故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】相較于往年，今年的題目在難度上梢有提升，其中新加入了分?jǐn)?shù)指數(shù)恭的知識(shí)點(diǎn)，為考生帶來了

新的挑戰(zhàn)。然而，從總體方向來看，題目的主要考查點(diǎn)并未改變，仍舊聚焦于二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，

旨在檢驗(yàn)考生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握與運(yùn)用。

【知識(shí)鏈接】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式護(hù)

5.設(shè)4，〃是向量，則”（〃+[?）（〃一〃）=（）”是"4=_8或4=//'的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及命題與邏輯，數(shù)學(xué)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：

易

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ā?6卜（。一"=《尸一戶=0,可得即同=陣

可知（〃+/））?（〃_〃）=（）等價(jià)于同=母,

若或。=-力，可得同=w，瞇,+〃）?（〃—〃）=o,可知必要性成立；

若（〃+〃）?（〃-〃）=0,即同=忖，無法得出〃="或〃=_力，

例如力=（i,o）/=（o,i）,滿足同=忖，但白工〃且〃工一6,可知充分性不成立；

綜上所述，+。）=0"是且aw-zr的必要不充分條件.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】平面向量在北京高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的必考地位，常以客觀題的形式呈現(xiàn)。其考察熱點(diǎn)主要集

中在平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的靈活運(yùn)用上。這些題目既可以設(shè)置成基礎(chǔ)題型，幫助學(xué)生扎實(shí)掌握基

礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：又可以構(gòu)造得相當(dāng)復(fù)雜，通過融合平面幾何、不等式、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，對(duì)學(xué)生的綜

合應(yīng)用能力和解題策略提出更高層次的要求。特別是在較難的題目中，平面向量常與其他數(shù)學(xué)概念相交融，

形成綜合考察，考驗(yàn)著學(xué)生的邏輯思雉深度和解題智慧。

【知識(shí)鏈接】1.對(duì)丁?平面向量數(shù)量積的求解，有兩種主要方法。當(dāng)已如向量的模長(zhǎng)和夾角時(shí)，可以利用公

式。力=同冰:OS力）來直接計(jì)算；而若已知向量的坐標(biāo)形式，可利用坐標(biāo)法求解,即若。=（用四）力=（X2J2）,

貝I]。力=制"+）”2

2.在處理與平面兒何相關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值與范圍問題時(shí)，常用的方法有以下兩種。一是通過建立

坐標(biāo)系，將兒何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再利用函數(shù)思想或基本不等式進(jìn)行求解；二是通過引入角作為變量，

將問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值或范圉問題。這兩種方法都能夠有效地處理這類問題，并幫助我們找到

數(shù)量積的最值或范圍。

6.已知〃x）=sin0x（o>O）,/（菁）=-1,/（^）=1,I%一毛舄=；，則/=（）

A.1B.2C.3D.4

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)最值以及周期性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：中

【答案】B

【解析】由題意可知：七為了（"的最小值點(diǎn)，々為/（"的最大值點(diǎn)，

則k-ZlnUE：；，即7=兀，且8〉0,所以口=以=2.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生們?cè)诮鉀Q涉及三角函數(shù)最值分析的問題時(shí)，可以利用周期性的概念進(jìn)行深入理解，并結(jié)合三

角函數(shù)最小正周期公式進(jìn)行計(jì)算求解,相較于去年，今年的題目難度雖略有提升，但整體上依然較為友好，

易于學(xué)生理解和把握，因此學(xué)生們?cè)谀梦障鄳?yīng)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)匕較容易獲得理想的分?jǐn)?shù)。

【知識(shí)鏈接】1.對(duì)于函數(shù)y=Asin（sx+s）（A和,0對(duì)）,其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫

坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).

2Q由周期得到：①函數(shù)圖象在其對(duì)稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為函數(shù)的

半個(gè)周期：②函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期：③一

條對(duì)稱軸與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心間的距離為函數(shù)的;個(gè)周期（借助圖象很好理解記憶）.

S-1

7.生物豐富度指數(shù)d=—是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S,N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物

InN

個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)4越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總

數(shù)由M變?yōu)镹”生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N2=2NXB.2N[=3N\

C.鳩:N；D.N；=N：

【命題意圖】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)鳧，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度:中

【答案】D

5-15-1

（解析】由題意得-7T=2?1，三丁=3.15,則2.1In乂=3.15InN,,即21nM=3InM,所以N：=N；.

InN、'nN】__

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】通過將題目背景設(shè)置為現(xiàn)實(shí)生活情境，我們旨在讓考生在解題的同時(shí)，深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)既源于生

活又服務(wù)于生活。本題特別強(qiáng)調(diào)了比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，除了常見的作差法外，有時(shí)采用作比法可能更為

恰當(dāng)和有效。這樣的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)考生拓展思維，理解數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用。

［知識(shí)鏈接】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(l)loga(M-N)=log“M+logN(2)log./=log,M7ogN(3)loggblogM

8.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面A8CO是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=ZC，

A.1B.2C.72D.75

【命題意圖】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，等體積法求點(diǎn)到面的距離，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng)。難度：中

【答案】D

【解析】如圖，底面ABCZ)為正方形，

當(dāng)相鄰的樓長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PO=2挺，

分別取AB,CD的中點(diǎn)、E,F,連接PE,PF,EF,

則且PEcEF=E，PE,EFu平面PEF，

可知A3工平面PE尸，U.ABczTWABCD,

所以平面PEF_L平面ABCD,

過尸作￡尸的垂線，垂足為。，即POLE/"

由平面PEFn平面ABCD=EF,POu平面PEF，

所以PO_Z平面ABC。，

由題意可得：PE=2瓜PF=2,EF=4,則尸E?+尸產(chǎn)？=所2,即尸石_|_所，

11PFPFr-

W)—PEPF=—POEF,可得PO二--------=V3,

22EF

所以四棱銖的高為G.

當(dāng)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)%=PC=4,PB=PD=2舊

因?yàn)?。=4正=28+P。，此時(shí)不能形成三角形尸8。，與題意不常，這樣情況不存在.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】與去年相比，去年考察的是空間幾何體的校長(zhǎng)之和，而今年的焦點(diǎn)則轉(zhuǎn)向了空間幾何體的高，從

難度上看，今年的考查點(diǎn)顯得更為直接和簡(jiǎn)單。解題過程中，首先利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出線面垂直，

進(jìn)而借助等體積法巧妙求解，使得整個(gè)解題過程變得清晰且易于操作。

【知識(shí)鏈接】面面垂直的性質(zhì)定理

文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的更凰那么這條

直線與另一個(gè)平面垂直

圖形語言

//

符號(hào)語言a_L8,aA0=1,aca,a±l=>a±fJ

9.已知（％，x）,（9,月）是函數(shù)〉'=2'圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）

%+工2?1x+y-芯+―

A.幅汽&B.log,2-<-

222

C.log2%；）2D.log.%；'

【命題意圖】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)

算的核心素養(yǎng)。難度：中

【答案】A

【解析】由題意不妨設(shè)N<W，因?yàn)楹瘮?shù)y=2"是增函數(shù)，所以0<2演<2"，即。<必<必，

2r,+2'"/-----v+V

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得2,即“力>22>0,

22

根據(jù)函數(shù)），=10g2%是增函數(shù)，所以10g2%&>10g222二土笠，故A正確，B錯(cuò)誤:

對(duì)于選項(xiàng)C：例如％=0,超=1，則弘=1，必=2，

可得10g2上產(chǎn)=10g2^￡（0/），即10g2當(dāng)&<1=%+工2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如X]=-1,々=-2,則y=g,%=；，

可得log?'=log2（=log23-3e（-2,-l）,即log?>〉_3=%+,，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】這道題目巧妙地運(yùn)用/對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)圖數(shù)模型，深入考察「基本不等式的應(yīng)用。在北京島考中，

基本不等式經(jīng)常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相互交融，而今年這一結(jié)合的方式顯得尤為巧妙。題目不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

公式的深度，還與函數(shù)的凹凸性有著微妙的關(guān)聯(lián)，為考生提供了一次綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)。

【知識(shí)鏈接】（1）指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

y=a'(a〉0,且aWl)

指數(shù)函數(shù)

0<a<la>l

T

y=ayy>=?T

/

圖象

產(chǎn)1尸1

(0,1)(0,1)一

0X0X

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)過定點(diǎn)（0，1）,即x=0時(shí)，y=l

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

性

質(zhì)函數(shù)值當(dāng)x>0時(shí),0<y<l：當(dāng)x〉0時(shí)，y>l；

的變化當(dāng)x<0時(shí)，y>l當(dāng)x<0時(shí)，（Ky<I

對(duì)稱性y=a'與y=G）"的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

a+b

（2）基本不等式：4而?。╝X）,b>。）應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三

相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指

滿足等號(hào)成立的條件.

10.已知知=｛（五,），）|），="+/（%2一”,14工42,0?品1｝是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)"是加中兩點(diǎn)

間距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,S<lB.d=3,S>l

C.d=M，S<l0d=M，S>1

【命題意圖】本題考查集合的表示、函數(shù)圖像的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

難度：難

【答案】c

【解析】對(duì)任意給定xe[l,2],則x2—;v=MxT）N0,-S/e[O,l],

22

可知+-x）Wx+r-X=.d,gpX<y<Xt

y<x2

再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域Nx,

l<x<2]J

如圖陰影部分所示，其中4（1」）,3（2,2）,C（2,4）,\1\/^

可知任意兩點(diǎn)間距離最大值〃=|AC|=J15；陰影部分面枳S<S"8c=gxlx2=l.:

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】這道題目的設(shè)計(jì)極為巧妙，它巧妙地利用集合中的點(diǎn)集來代表平面圖形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像

深入分析平面中兩點(diǎn)的最值問題。作為選擇題的壓軸題，它不僅展示了數(shù)學(xué)的深度和美感，而且相較于去

年，難度上有所降低，使得更多學(xué)生能夠挑戰(zhàn)并享受解題的過程。

【知識(shí)鏈接】在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)，其核心在于“以形助數(shù)”，即在解題過程中，我們應(yīng)著重培養(yǎng)這

種思想意識(shí)。這不僅要求我們?cè)谀X海中形成清晰的圖形形象，而且要做到每當(dāng)看到數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)，能夠迅

速聯(lián)想到相關(guān)的圖形。這樣做能夠極大地拓寬我們的解題思路。使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件能

夠明確轉(zhuǎn)化為幾何意義，解題時(shí)，我們需精準(zhǔn)地把握條件、結(jié)論與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，巧妙地利用

幾何圖形中的相關(guān)定理和結(jié)論來求解問題。

二、填空題：本題共5小題,每小題5分，共25分.

II.已知拋物線）？=16丫，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

【命題意圖】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：易

【答案】（4,0）

【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=i6x,所以K焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）.

故答案為：（4,0）.

【點(diǎn)評(píng)】本題重在基礎(chǔ)知識(shí)的考查，對(duì)學(xué)生要求不高；

【知識(shí)鏈接】

y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

（。>。）（0》。）（〃>。）（P>°）

范圍x>0x<0y>0,y<0

頂點(diǎn)（0,0）

對(duì)稱軸X軸y軸

尸修?！场陡剩?。）尸（。,苦〕

住/、、、占八、、

y

準(zhǔn)線方程X-〃2X-R.=%y=

22

離心率。=1,P越大，拋物線的開口越大

焦半徑

\MF\=X^M=-x-^|MF|==%+、

MQoJo）Q+o+

通徑過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑：=2p

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)

1的TM+闖+PAB

公式1HW+IMI+P

TTJT

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角夕均以Qt為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若ae,

_63_

則cos。的最大值為.

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性及由單調(diào)性求最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：

易

【答案】—I—0.5

2

【解析】由題意夕=。+兀+2E,keZ,從而cos/?=cos（a+兀+2Zn）=-cosa.

因?yàn)閍w,所以cosa的取值范圍是仕，用，cos6的取值范圍是一東一；，

7T47rI

當(dāng)n.僅當(dāng)a=,，即/7=」+2E火eZ時(shí)，cos/取得最大值，R最大值為一一.

33^2^

故答案：---.

2

【點(diǎn)評(píng)】通過巧妙地利用三角函數(shù)的對(duì)稱性特性，我們可以建立￡之間的關(guān)系，進(jìn)而依托的cosaw

值范圍，精準(zhǔn)地推導(dǎo)出本題的答案。這種解題方法不僅體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的深入理解和應(yīng)用，更展現(xiàn)了

一種別樣的考查視角，使得問題解答過程既富有挑戰(zhàn)性又充滿智慧。

2

13.若直線），=k（x-3）與雙曲線?-），2=1只有一一個(gè)公共點(diǎn)，則攵的一個(gè)取值為.

【命題意圖】本題考查雙曲線的基木性質(zhì)及直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的核心素

養(yǎng)。難度：易

【答案】I（或一?，答案不唯一）

22

2=1

【解析】聯(lián)立?彳~，化簡(jiǎn)并整理得：（1—4公卜2+24汽廠36攵2-4=0,

），=憶（工一3）

由題意得1一4父=0或A=（24公丫+4（36二+4）（1-4r）=0,

解得k=土;或無解，即人±1,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故答案為：（或一二，答案不唯一；.

29

【點(diǎn)評(píng)】本題為開放型題目，較去年的13題相比容易很多，直接借助直線與雙曲線的位置關(guān)系聯(lián)立方程組,

令△二（）從而求出k?

【知識(shí)鏈接】

設(shè)直線/：尸心,+m（“?W（））,①

雙曲線C：三一￡=1（。>0,b>0）,②

a2b2

把①代入②得（護(hù)一/爐）/一2〃2加5一次“2一標(biāo)〃=0

當(dāng)步一〃23=0,即攵=/忖，直線/與雙曲線C的漸近平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn).

a

14.漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是偷、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的

形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為

65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量㈱的高為

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及圓柱的體積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。難度：中

【答案】23m

x230

［2I2

【解析】設(shè)升量器的高為九，斗量器的高為生（單位都是mm）,則一=；［2一=1°，

兀［I引65）".“?亍325門、.

故九=23mm,4=U^mm.故答案為：23mm,mm.

22

【點(diǎn)評(píng)】

【知識(shí)鏈接】（1）圓柱體積丫=汽/授》為底面半徑，h為圓柱的高）：

（2）等比數(shù)列的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),

那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母4表示（。#0）符號(hào)語言

-2±L=<7（或者烏-=虱〃22））（</為常數(shù)，4/。，〃wN"）

a?a?.

15.設(shè)｛q｝與也｝是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合”=給出下列4

個(gè)結(jié)論:

①若也｝與也｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素：

②若｛4｝與｛4｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛《,｝為等差數(shù)列，｛〃,｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛《,｝為遞增數(shù)列，也J為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及散點(diǎn)圖的應(yīng)用，考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng)。難度：難

【答案】①③?

【解析】【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合道項(xiàng)

公式的特征及反證法可判斷③的正誤.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋鹮,｝,｛2｝均為等差數(shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線匕

而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故M中至多一個(gè)元素，故①正確.

對(duì)于②，取勺=2"T也=-（一2廣，則｛6｝,｛0｝均為等比數(shù)列，

但當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，有q=2"T=d二-（一2）”“，此時(shí)M中有無窮多個(gè)元素，

故例誤.

對(duì)于③，設(shè)勿=Aq"（AqwO闖工±1）,4“=切+〃（％。0）,

若M中至少四個(gè)元素，則關(guān)于n的方程A（/"=kn+b至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，

若，/>0國HI,則由y=Aqn和），=也+力的散點(diǎn)圖可得關(guān)于〃的方程A0'=切+〃至多有兩個(gè)不同的解,

矛盾；

若q<0國工±1,考慮關(guān)于〃的方程Ac,n=kn+b奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，

當(dāng)4/"=加+6有偶數(shù)解，此方程即為A/『=切+/九

方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，IL有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)AkIn|^|>0.

否則Ak\n\q\<0,因），二A\q\\y=kn+b單調(diào)性相反，

方程司引”=如+〃至多一個(gè)偶數(shù)解，

當(dāng)人/=及十匕有奇數(shù)解，此方程即為=k/iIb,

方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，「L有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)-4AIn|^|>0即Ak上際<0

否則Akln|^|>0,因），=一司司”，），=如+。單調(diào)性相反，

方程川4"=如+/）至多一個(gè)奇數(shù)解，

因?yàn)锳kIn|亦0,AkIn|^|<0不可能同時(shí)成立,

故Aq”=m+沙不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確.

對(duì)于④，因?yàn)椋桑秊閱握{(diào)遞增，｛4｝為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，

后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.

故答案為：①③④

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)

關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，比時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在.48。中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為。也c,2A為鈍角，a=7,sin2/?=—/?cos^.

7

（1）求NA；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使得存在，求的面積.

條件①：b=7：條件②：cosB=—：條件③：csinA=?\/5.

142

注；如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【命題意圖】本題考查解三角形，考查數(shù)學(xué)運(yùn)嵬與邏輯推理的核心素養(yǎng)灘度：中

【答案】⑴A=y;

（2）選擇①無解：選擇②和③AWC面積均受叵.

4

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案：

（2）選擇①，利用正弦定理得8=結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sin8=述，再

314

代入式子得力二3,再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首

先得到c=5,再利用正弦定理得到sinC=%巨，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinB,最后利用三

14

角形面積公式即可：

【解析】（1）由題意得25皿8358=、工兒058，因?yàn)锳為鈍角，

7

rb_2_a_1

則CGSBHO,則2sin8=—貝iJsinBsinAsinA,解得sinA=N，

7T2

因?yàn)锳為鈍角，則A號(hào).

(2)選擇①8=7,則sin8=且b=且、7=更，因?yàn)锳=勺，則“為銳角，則8=工,

1414233

此時(shí)A+4=7T,不合題意，舍棄:

133后

選擇②cos8=，，因?yàn)椤盀槿切蝺?nèi)角，則sinB=

14

則代入2sin8=正〃得2x地=走〃，解得b=3,

7147

sinf—4-B^sin—cos^+cos—sinB

sinC=sin(A+8)

【3J33

=l^sinC=lx7x3x^=l^.

則S

22144

選擇③csinA=2j5,則有ex立=°G，解得c=5,

222

則由正弦定理得一“一二」一，即:方=寂，解得sinC=述,

sinAsinC—14

4

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosC=

.2?！?7r.

則sin5=sin(A+C)==sin—cosC+cos—sinC

33

x/311D5G3x/3

=—x—+

2141414

貝”"Ac=—?csin/y=—x7x5x-^-^-=-!-^

22144

【點(diǎn)評(píng)】本題把正余弦定理及二倍角公式交匯考配命題形式與往年基木相同，學(xué)生對(duì)此類問題訓(xùn)練較多，婦運(yùn)

算能力過關(guān),該題得滿分應(yīng)該沒有問題，

【知識(shí)鏈接】應(yīng)用正弦、余弦定理的解超技巧

(1)求邊：利用公式。=號(hào)力=安,c=3詈或其他相應(yīng)變形公式求解.

MilDolll/Ibillr\

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin4=絮之sinB=^&sin。=安4或其他相應(yīng)變形公式求

解.

(3)己知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.

17.如圖，在四棱錐P—A3CD中，BC//AD,AB=I3C=],AO=3,點(diǎn)E在4力上，且PEJ.AD,

PE=DE=2.

(1)若尸為線段尸石中點(diǎn)，求證：B尸〃平面PCD.

(2)若平面尸A。，求平面/X8與平面PCO夾角的余弦值.

【命題意圖】本題考查線而平行的證明及面面所成用的計(jì)算，考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

養(yǎng),難度：中

【答案】(1)證明見解析(2)叵

30

【分析】(1)取尸力的中點(diǎn)為S,接SESC,可證四邊形SF8C為平行四邊形，由線面平行的判定定理

可得BE〃平面PCD.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面A陽和平面PCD的法向量后可求夾角的余弦值.

【解析】

(1)取。。的中點(diǎn)為S,接SF,SC,則5-〃ED,SF=LE/)=1,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SF//BCSF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形，

板BF//SC,而3?已平面PCO,SCu平面尸CQ，

所以BF〃平面PCD.

(2)

因?yàn)閍=2,故A￡=l，故AE〃8C,AE=BC,

故四邊形4EC3為平行四邊形，故CEHAB,所以CEJ_平面外。.

而PE,EOu平面心