【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：基本不等式

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：基本不等式一、選擇題1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為()A．2eq\r(2) B．4C．12 D．62．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．53．函數(shù)y＝log2x＋logx(2x)的值域是()A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，則eq\f(xz,y2)的()A．最小值為8 B．最大值為8C．最小值為eq\f(1,8) D．最大值為eq\f(1,8)5．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4 D．－4<m<26．設(shè)a>0，b>0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A．0 B．4C．－4 D．－2二、填空題7．設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)·的最小值為________．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)?(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是____．9．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，則eq\f(c＋2,a)＋eq\f(a＋2,c)的最小值為________．三、解答題10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．11．已知a，b>0，求證：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(4,a＋b).12．某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2022年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，假如不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2022年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、修理等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完．(1)將2022年的利潤(rùn)y(萬元)表示為促銷費(fèi)t(萬元)的函數(shù)．(2)該企業(yè)2022年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)費(fèi)用)詳解答案一、選擇題1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.∴2x＋y＝2.則9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x·3y)＝2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(9)＝6.當(dāng)且僅當(dāng)32x＝3y即x＝eq\f(1,2)，y＝1時(shí)取得等號(hào)．答案：D2．解析：依題意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,\f(b,a)＝\f(4a,b),a>0，b>0))，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時(shí)取等號(hào)，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).答案：C3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．假如x>1，則log2x＋logx2≥2，假如0<x<1，則log2x＋logx2≤－2，∴函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：D4．解析：eq\f(xz,y2)＝eq\f(xz,x＋2z2)＝eq\f(xz,x2＋4xz＋4z2)＝eq\f(1,\f(x,z)＋\f(4z,x)＋4)≤eq\f(1,8).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,z)＝eq\f(4z,x)，x＝2z時(shí)取等號(hào)．答案：D5．解析：∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即4y2＝x2，x＝2y時(shí)取等號(hào)，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此時(shí)x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m答案：D6．解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0得k≥－eq\f(a＋b2,ab)，而eq\f(a＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b時(shí)取等號(hào))，所以－eq\f(a＋b2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(a＋b2,ab)恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于－4.答案：C二、填空題7．解析：(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋eq\f(1,x2y2)≥1＋4＋2eq\r(4x2y2·\f(1,x2y2))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝eq\f(1,x2y2)時(shí)等號(hào)成立，則|xy|＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立．答案：98．解析：由題意知：P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，不妨設(shè)P(m，n)為第一象限中的點(diǎn)，則m＞0，n＞0，n＝eq\f(2,m)，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋eq\f(4,m2))≥16(當(dāng)且僅當(dāng)m2＝eq\f(4,m2)，即m＝eq\r(2)時(shí)，取等號(hào))，故線段PQ長(zhǎng)的最小值是4.答案：49．解析：由值域可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0，因此有eq\f(4ac－1,4a)＝0，從而c＝eq\f(1,4a)>0，∴eq\f(c＋2,a)＋eq\f(a＋2,c)＝(eq\f(2,a)＋8a)＋(eq\f(1,4a2)＋4a2)≥2×4＋2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＝8a，,\f(1,4a2)＝4a2，))，即a＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．故所求的最小值為10.答案：10三、解答題10．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2eq\r(16xy)即xy≥8eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≥8，即xy≥64.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y即x＝16，y＝4時(shí)，“＝”成立．∴xy的最小值為64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，∴2x＋8y＝xy，即eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1.∴x＋y＝(x＋y)·(eq\f(2,y)＋eq\f(8,x))＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,y)＝eq\f(8y,x)，即x＝2y＝12時(shí)“＝”成立．∴x＋y的最小值為18.11．證明：∵eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥2eq\r(\f(a,b2)·\f(b,a2))＝2eq\r(\f(1,ab))>0，a＋b≥2eq\r(ab)>0，∴(eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2))(a＋b)≥2eq\r(\f(1,ab))·2eq\r(ab)＝4.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(4,a＋b).當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b2)＝\f(b,a2),a＝b))，取等號(hào)．即a＝b時(shí)，不等式等號(hào)成立．12．解：(1)由題意可設(shè)3－x＝eq\f(k,t＋1)，將t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－eq\f(2,t＋1).當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時(shí)，∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋固定費(fèi)用，∴年生產(chǎn)成本為32x＋3＝32(3－eq\f(2,t＋1))＋3.當(dāng)銷售x(萬件)時(shí)，年銷售收入為150%[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]＋eq\f(1,2)t.由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤(rùn)＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，得年利潤(rùn)y＝eq