【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修二綜合質(zhì)量評(píng)估

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。綜合質(zhì)量評(píng)估第一、二章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2022·銀川高一檢測(cè))在同始終角坐標(biāo)系中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是()【解析】選C.由y=x+a得斜率為1，排解B，D，由y=ax與y=x+a中a同號(hào)知，若y=ax遞增，則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上；若y=ax遞減，則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上.故選C.2.(2021·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解析】選A.由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)半圓柱組成的幾何體，所以體積為12×22×4×π+2×2×4=16+8π3.(2022·亳州高一檢測(cè))已知A，B，C，D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且AB⊥CD，AD⊥BC，則直線BD與AC()A.垂直 B.平行C.相交 D.位置關(guān)系不確定【解析】選A.過點(diǎn)A作AO⊥面BCD，垂足為O，連接BO，CO并延長(zhǎng)分別交CD與BD于F，E點(diǎn)，連接DO.由于AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC.所以O(shè)為△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故選A.【變式訓(xùn)練】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點(diǎn)，A.CC1與B1E是異面直線B.AC⊥平面ABB1AC.AE，B1C1D.A1C1∥平面AB1【解析】選C.A不正確，由于CC1與B1E在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個(gè)正三角形，故不行能存在AC⊥平面ABB1A1C正確，由于AE，B1C1D不正確，由于A1C1所在的平面A1C1CA與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故A1C14.(2022·安康高一檢測(cè))圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置關(guān)系是()A.相離 B.外切 C.內(nèi)切 D.相交【解析】選D.圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，表示以A(-1，-4)為圓心，以5為半徑的圓.C2：x2+y2-4x+4y-2=0，即(x-2)2+(y+2)2=10，表示以A(2，-2)為圓心，以10為半徑的圓.兩圓的圓心距d=9+4=135.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于y=x對(duì)稱的圓的方程為()A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5【解析】選D.圓(x+2)2+y2=5的圓心(-2，0)關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，-2)，故所求圓的方程為x2+(y+2)2=5.【誤區(qū)警示】本題簡(jiǎn)潔毀滅由于不會(huì)求點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)而導(dǎo)致出錯(cuò).6.三棱柱的放置方法如圖所示，它的三視圖是()【解析】選A.對(duì)于選項(xiàng)A，其主視圖是一個(gè)矩形，左視圖是一個(gè)三角形，俯視圖是一個(gè)矩形，中間應(yīng)有一條橫線，其擺放位置符合要求，故對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，俯視圖中少了一條橫線，不符合三視圖的作圖規(guī)章，不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，正視圖中不應(yīng)當(dāng)有橫線，故不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，俯視圖不行能是三角形，故不正確.7.(2022·吉安高一檢測(cè))已知a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)結(jié)論①a∥b，a∥α?b∥α；②a⊥b，a⊥α?b∥α；③a∥α，β∥α?a∥β；④a⊥α，β⊥α?a∥β，其中不正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選D.①不正確，b可以在平面α內(nèi).②錯(cuò)誤，b可能在平面α內(nèi).③錯(cuò)誤，a可以在β內(nèi).④錯(cuò)誤，平面β可經(jīng)過直線a，所以①②③④均不正確.8.在正四周體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC【解析】選C.由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正確.若PO⊥平面ABC，垂足為O，則O在AE上，則DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正確.由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正確.故選C.9.(2021·山東高考)過點(diǎn)(3，1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【解析】選A.由題意可知，A(1，1)是一個(gè)切點(diǎn)，依據(jù)切線的特點(diǎn)可知過點(diǎn)A，B的直線與過點(diǎn)(3，1)，(1，0)的直線相互垂直，kAB=-11-010.(2022·西安高一檢測(cè))假如函數(shù)y=|x|-2的圖象與曲線C：x2+y2=λ恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.{2}∪(4，+∞) B.(2，+∞)C.{2，4} D.(4，+∞)【解析】選A.依據(jù)題意畫出函數(shù)y=|x|-2與曲線C：x2+y2=λ的圖象，如圖所示，當(dāng)AB與圓O相切時(shí)兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，過O作OC⊥AB，由于OA=OB=2，∠AOB=90°，所以依據(jù)勾股定理得：AB=22，所以O(shè)C=12AB=2，此時(shí)λ=OC2=2；當(dāng)圓O半徑大于2，即λ>4時(shí)，兩函數(shù)圖象恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是{2}∪(4，+∞).故選A.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)11.已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是________.【解析】點(diǎn)M(a，b)在圓x2+y2=1外?a2+b2>1.圓心O(0，0)到直線ax+by=1的距離d=1a答案：相交12.已知圓O：x2+y2=5和點(diǎn)A(1，2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為____________.【解析】由題意知，點(diǎn)A在圓上，切線斜率為-1kOA=-用點(diǎn)斜式可直接求出切線方程為：y-2=-12即x+2y-5=0，從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和52所以所求面積為12×52×5=答案：2513.過點(diǎn)P(-1，6)且與圓(x+3)2+(y-2)2=4相切的直線方程是____________________.【解析】畫出草圖可知直線x=-1是一條切線，設(shè)另一條為y-6=k(x+1)，則y-kx-6-k=0.由2=|2+3k-6-k|1+k答案：x=-1或4y-3x-27=0【誤區(qū)警示】本題易忽視斜率不存在的狀況，而遺忘考慮直線x=-1.14.(2021·安徽高考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出全部正確命題的編號(hào)).①當(dāng)0<CQ<12時(shí)，S為四邊形②當(dāng)CQ=12時(shí)，S為等腰梯形③當(dāng)CQ=34時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=1④當(dāng)34<CQ<1時(shí)，S為六邊形⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為62【解析】①當(dāng)0<CQ<12時(shí)，截面如圖1所示，截面是四邊形APQM，故①②當(dāng)CQ=12易知PQ∥AD1且PQ=12AD1，S是等腰梯形，故②③當(dāng)CQ=34時(shí)，截面如圖3所示，易得C1R=1④當(dāng)34<CQ<1時(shí)，如圖4是五邊形；故④⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，截面是邊長(zhǎng)相等的菱形，如圖5所示，由勾股定理易求得AC1=3，MP=2，故其面積為S=12AC1×MP=6答案：①②③⑤15.(2022·鎮(zhèn)江高一檢測(cè))從直線3x+4y+8=0上一點(diǎn)P向圓C：x2+y2-2x-2y+1=0引切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則四邊形PACB的周長(zhǎng)最小值為________.【解析】由圓C：x2+y2-2x-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1，所以圓心C(1，1)，半徑r=1.由于PA，PB是☉C的切線，則CA⊥PA，CB⊥PB，所以|PA|=|PB|=|PC|2所以四邊形PACB的周長(zhǎng)l=2|PC因此當(dāng)PC垂直于直線3x+4y+8=0時(shí)，PC取得最小值，此時(shí)|PC|=|3+4+8|所以四邊形PACB的周長(zhǎng)l的最小值=2|PC|2答案：42+2三、解答題(本大題共6小題，共75分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16.(12分)(2022·寶雞高一檢測(cè))已知兩直線l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0，A(m，n)是l1和l2的交點(diǎn).(1)求m，n的值.(2)求過點(diǎn)A且垂直于直線l1的直線l3的方程.(3)求過點(diǎn)A且平行于直線l：2x-3y-1=0的直線l4的方程.【解析】(1)由于A(m，n)是l1和l2的交點(diǎn)，所以2m-n+7=0,m+n-1=0,(2)由(1)得A(-2，3).由于kl1=2，l3⊥l1，所以kl由點(diǎn)斜式得，l3：y-3=-12即l3：x+2y-4=0.(3)由于l4∥l，所以kl=kl4=由點(diǎn)斜式得，l4：y-3=2317.(12分)(2021·遼寧高考)如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn).(1)求證：BC⊥平面PAC.(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC.【證明】(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC；由PA垂直于圓所在的平面，得PA⊥平面ABC；由BC平面ABC，得PA⊥BC；又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)連接OG并延長(zhǎng)交AC于M，連接QM，QO.由G為△AOC的重心，知M為AC的中點(diǎn)，由Q為PA的中點(diǎn)，得QM∥PC，又由于QM?平面PBC，PC平面PBC，所以QM∥平面PBC.又由O為AB的中點(diǎn)，則OM∥BC.同理可證，OM∥平面PBC.由于QM∩OM=M，QM平面QMO，OM平面QMO，所以，據(jù)面面平行的判定定理，平面QMO∥平面PBC，又QG平面QMO，故QG∥平面PBC.18.(12分)(2022·商州高一檢測(cè))已知圓C同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①與y軸相切；②在直線y=x上截得弦長(zhǎng)為27；③圓心在直線x-3y=0上，求圓C的方程.【解析】所求的圓C與y軸相切，又與直線y=x相交，設(shè)交于A，B兩點(diǎn)，由于圓心C在直線x-3y=0上，所以設(shè)圓心C(3a，a)，又圓與y軸相切，所以R=3|a|.又圓心C到直線x-y=0的距離|CD|=|3a-a|2=由于在Rt△CBD中，R2-|CD|2=(7)2，所以9a2-2a2=7，a2=1，a=±1，3a=±3，所以圓心的坐標(biāo)C分別為(3，1)和(-3，-1)，故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(12分)(2022·陜西高考)四周體ABCD及其三視圖如圖所示，過AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四周體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H.(1)求四周體ABCD的體積.(2)證明：四邊形EFGH是矩形.【解題指南】(1)先利用三視圖推得線線垂直進(jìn)而得AD垂直于平面BDC，確定四周體的高后再求其體積.(2)先證得四邊形EFGH為平行四邊形，再證得此平行四邊形的鄰邊相互垂直，留意從三視圖中推得已知.【解析】(1)由該四周體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，所以AD⊥平面BDC.所以四周體ABCD的體積V=13×12×2×2×1=(2)由于BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.又由于AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，所以EF⊥FG，所以四邊形EFGH是矩形.20.(13分)圓(x+1)2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1，2)，AB過點(diǎn)P，(1)若弦長(zhǎng)|AB|=27，求直線AB的傾斜角α.(2)若圓上恰有三點(diǎn)到直線AB的距離等于2，求直線AB的方程.【解析】(1)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，AB的直線方程為x=-1，與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A(-1，22)，B(-1，-22)，則|AB|=42(不符合條件).當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為y=k(x+1)+2，圓心到直線AB的距離d=|k(-1+1)+2|k2+1，又d=(22所以直線AB的傾斜角α為π3或2(2)要滿足圓上恰有三點(diǎn)到直線AB的距離等于2，則圓心到這條直線的距離應(yīng)為2，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，AB的直線方程為x=-1，直線過圓心(不符合條件)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為y=k(x+1)+2，d=|k(-1+1)+2|k2+1=所以直線AB的方程為y=x+3或y=-x+1.【變式訓(xùn)練】設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且0≤c≤18，【解析】由題意a+b=-1，ab=c，所以(a-b)2=1-4c，所以12≤(a-b)2≤由于兩平行線間距離d=|a-b|所以d2=(a-b)22∈1所以d的最大值為22，最小值為121.(14分)已知以點(diǎn)Ct,2t(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，(1)求證