【名師一號】2022屆高三數(shù)學一輪總復習基礎練習：選修4選4-1-2-

其次節(jié)直線與圓的位置關系時間：45分鐘分值：100分一、填空題1．如圖，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝eq\f(1,2)BC，則sin∠MCA＝________.解析由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)2．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點．AD和過C點的切線相互垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO＝________.解析∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得，∠ACO＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.答案40°3．(2021·北京模擬)如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P.若PD＝eq\f(2a,3)，∠OAP＝30°，則AB＝________，CP＝________.(用a表示)解析∵點P是AB的中點，由垂徑定理知OP⊥AB，在Rt△OPA中，BP＝AP＝eq\f(\r(3)a,2)，∴AB＝2AP＝eq\r(3)a，由相交弦定理知BP·AP＝CP·DP，即eq\f(\r(3)a,2)×eq\f(\r(3)a,2)＝CP·eq\f(2a,3)，解得CP＝eq\f(9a,8).答案eq\r(3)aeq\f(9a,8)4．如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，則PA＝________.解析如圖，連接AO，AC，易知∠AOC＝60°，△AOC為正三角形．∴AC＝OA＝1，且∠ACP＝120°.又由弦切角定理知∠CAP＝∠ABC＝30°，∴∠APC＝30°.∴CP＝AC＝1，易得PA＝eq\r(3).答案eq\r(3)5．(2022·湖北卷)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點．若QC＝1，CD＝3，則PB＝________.解析由題意知PA＝PB.PA切⊙O于點A，由切割線定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4.∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.答案46．(2022·湖南卷)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于________．解析如圖，由已知AO⊥BC，可得E是BC的中點，即BE＝eq\r(2)，故AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即r2＝(eq\r(2))2＋(r－1)2，解得r＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)7．(2022·重慶卷)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________.解析如圖所示：依據(jù)切割線定理，得PA2＝PB·PC，又由于PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9.所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.在△PAC中，依據(jù)余弦定理cos∠ACP＝eq\f(AC2＋PC2－AP2,2AC·PC)，即cos∠ACP＝eq\f(82＋122－62,2×8×12)＝eq\f(43,48)，在△ACB中，依據(jù)余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×eq\f(43,48)＝16，所以AB＝4.答案48．如圖，△ABC的外角平分線AD交外接圓于D，若DB＝eq\r(3)，則DC＝________.解析由于四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，所以∠BCD＋∠BAD＝π.又由于∠BAD＋∠DAE＝π.所以∠BCD＝∠DAE.由于∠DAC與∠DBC為圓上同一段圓弧所對的角，所以∠DAC＝∠DBC.又由于AD為角∠CAD的角平分線，所以∠DAC＝∠DAE.綜上eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠DAC,∠DAE＝∠BCD?∠DCB＝∠DBC.,∠DAC＝∠DBC))所以△DBC為等腰三角形，則DC＝BD＝eq\r(3).答案eq\r(3)9．已知⊙O的半徑R＝2，P為直徑AB延長線上一點，PB＝3，割線PDC交⊙O于D，C兩點，E為⊙O上一點，且eq\o\ac(AE,\s\up17(︵))＝eq\o\ac(AC,\s\up17(︵))，DE交AB于F，則OF＝________解析如圖所示，連接OC，OE，PE，由于eq\o\ac(AC,\s\up17(︵))＝eq\o\ac(AE,\s\up17(︵))，所以eq\o\ac(AE,\s\up17(︵))＝eq\f(1,2)eq\o\ac(CAE,\s\up15(︵)).因此∠AOE＝eq\f(1,2)∠COE，而∠CDE＝eq\f(1,2)∠COE，所以∠AOE＝∠CDE，故∠EOF＝∠PDF.由于∠OFE＝∠DFP，因此△OEF∽△DPF，所以eq\f(OF,DF)＝eq\f(EF,PF).因此OF·PF＝EF·DF，設OF＝x，則PF＝5－x，所以EF·DF＝x·(5－x)＝－x2＋5x，由相交弦定理得EF·DF＝AF·BF＝(2＋x)·(2－x)＝－x2＋4，所以－x2＋5x＝－x2＋4，解得x＝eq\f(4,5)，故OF＝eq\f(4,5).答案eq\f(4,5)二、解答題10．(2022·新課標全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．證明(1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)設BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點．故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．11．(2021·河北石家莊質(zhì)檢)如圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點B為圓心的圓交直線AB于C，D兩點，交圓O于E，F(xiàn)兩點，過點D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點．(1)求證：B，D，H，F(xiàn)四點共圓；(2)若AC＝2，AF＝2eq\r(2)，求△BDF外接圓的半徑．解(1)證明：由于AB為圓O的一條直徑，所以BF⊥FH.又DH⊥BD，故B，D，F(xiàn)，H四點在以BH為直徑的圓上．所以，B，D，F(xiàn)，H四點共圓．(2)由于AH與圓B相切于點F，由切割線定理得AF2＝AC·AD，即(2eq\r(2))2＝2·AD，AD＝4，所以BD＝eq\f(1,2)(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1，又△AFB∽△ADH，則eq\f(DH,BF)＝eq\f(AD,AF)，得DH＝eq\r(2).連接BH，由(1)可知BH為△BDF外接圓的直徑．BH＝eq\r(BD2＋DH2)＝eq\r(3).故△BDF的外接圓半徑為eq\f(\r(3),2).12．(2022·遼寧卷)如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.證明(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝9