【名師一號】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1雙基限時練7(第二章)

雙基限時練(七)1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的關(guān)系為()A．有相等的長軸 B．有相等的短軸C．有相同的焦點 D．有相等的焦距答案D2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D3．直線y＝a與橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1恒有兩個不同交點，則a的取值范圍是()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．(－3,3)C．(－2,2) D．(－4,4)答案C4．已知點(3,2)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，則()A．點(－3，－2)不在橢圓上B．點(3，－2)不在橢圓上C．點(－3,2)在橢圓上D．無法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在橢圓上解析由橢圓的對稱性知，點(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在橢圓上．答案C5．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1和eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k(k>0，a>0，b>0)具有()A．相同的頂點B．相同的離心率C．相同的焦點D．相同的長軸和短軸解析不妨設(shè)a>b，則橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e1＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2)).而橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k的離心率e2＝eq\r(\f(ka2－kb2,ka2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))，∴e1＝e2.答案B6．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．解析由題意得2a＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝6，c＝3eq\r(3)，b＝3，故橢圓G的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝17．在一橢圓中以焦點F1，F(xiàn)2為直徑兩端點的圓，恰好過短軸的兩頂點，則此橢圓的離心率e等于________．解析由題可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝eq\r(2)c.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)8．過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦點與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析右焦點的坐標(biāo)為(3,0)，當(dāng)x＝3時，代入橢圓方程得eq\f(9,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴y2＝eq\f(16×16,25)，∴|y|＝eq\f(16,5).故|AB|＝2|y|＝eq\f(32,5).答案eq\f(32,5)9．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若BF⊥BA，則稱其為“美麗?橢圓”，那么“美麗?橢圓”的離心率為________．解析由題意知|BF|＝a，|AF|＝a＋c，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，∵BF⊥BA，∴|BF|2＋|BA|2＝|AF|2，即a2＋a2＋b2＝(a＋c)2.化簡得a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0.解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<e<1，∴e＝eq\f(－1＋\r(5),2).答案eq\f(－1＋\r(5),2)10．橢圓過(3,0)點，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，則a＝3，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6)∴b2＝a2－c2＝3故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，則b＝3，又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，∴a2＝27.故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1，或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,27)＝1.11．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標(biāo)等于右焦點的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長的eq\f(2,3)，求橢圓的離心率．解設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a，b，c.則焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點的坐標(biāo)為(c，eq\f(2,3)b)，則△MF1F2為直角三角形．∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).12．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是兩個頂點，假如F1到直線AB的距離為eq\f(b,\r(7))，求橢圓的離心率e.解由A(－a,0)，B(0，b)，得直線AB的斜率為kAB＝eq\f(b,a)，故AB所在的直線方程為y－b＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(b,\r(7))，∴eq\r(7)(a－c)＝eq\r(a2＋b2).又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5即8eq\b\lc\(\