直線與平面夾角的正弦值公式

直線與平面夾角的正弦值公式直線與平面的夾角是指一個直線與一個平面的最小夾角，也就是兩者之間的最短距離。在數學和物理學中，我們經常需要計算這種角度，因此學習直線與平面夾角的正弦值公式是非常有必要的。一、什么是直線與平面的夾角？在三維空間中，直線與平面的夾角是指直線和平面的最小夾角，也可以說是平面內一條線段與平面外一條線段的夾角。夾角的大小不僅受到直線和平面所在的位置的影響，還受到它們的方向的影響。如下圖所示，直線$AB$和平面$P$的夾角為$\\theta$。夾角的大小可以通過計算直線與平面的法向量之間的夾角來求得。對于一個平面$P$和一條直線$l$，平面$P$的法向量為$\\vec{n}$，直線$l$的方向向量為$\\vec{a}$，那么夾角$\\theta$可以用以下公式來計算：$$\\theta=\\cos^{-1}(\\frac{\\left|\\vec{n}\\cdot\\vec{a}\\right|}{|\\vec{n}|\\cdot|\\vec{a}|})$$其中，$\\cos^{-1}$表示反余弦函數，$|\\vec{a}|$和$|\\vec{n}|$分別表示向量$\\vec{a}$和$\\vec{n}$的模。二、直線與平面夾角的正弦值公式在計算直線與平面的夾角時，我們往往需要知道直線與平面夾角的正弦值，即$\\sin\\theta$。為了求出這個值，我們需要首先計算出夾角對應的正弦值公式。對于一個三角形$ABC$，如下圖所示，假設它的三個頂點$A$、$B$和$C$分別位于坐標系中的點$(x_1,y_1,z_1)$、$(x_2,y_2,z_2)$和$(x_3,y_3,z_3)$。如果我們想求出角$\\angleBAC$的正弦值，那么我們可以根據三角形$ABC$的頂點計算出兩個向量$\\vec{u}$和$\\vec{v}$，其中：$$\\vec{u}=\\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$$$\\vec{v}=\\vec{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$$這兩個向量可以用叉積來計算，即：$$\\vec{u}\\times\\vec{v}=(y_2-y_1)(z_3-z_1)-(z_2-z_1)(y_3-y_1),(z_2-z_1)(x_3-x_1)-(x_2-x_1)(z_3-z_1),(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)$$這個向量的長度為$\\left|\\vec{u}\\times\\vec{v}\\right|$，那么角$\\angleBAC$的正弦值就可以表示為：$$\\sin\\angleBAC=\\frac{\\left|\\vec{u}\\times\\vec{v}\\right|}{|\\vec{AB}|\\cdot|\\vec{AC}|}=\\frac{\\left|\\vec{AB}\\times\\vec{AC}\\right|}{|\\vec{AB}|\\cdot|\\vec{AC}|}$$回到直線與平面的夾角問題，設直線$l$的方向向量為$\\vec{a}$，平面$P$的法向量為$\\vec{n}$，$\\vec{u}$和$\\vec{v}$分別表示從平面$P$上某一點$A$出發(fā)，分別沿著直線$l$和平面$P$上的一條線段$BC$到達點$B$和$C$的向量，如下圖所示。那么角$\\angleBAC$的正弦值就可以用以下公式來表示：$$\\sin\\theta=\\frac{\\left|\\vec{AB}\\times\\vec{AC}\\right|}{|\\vec{AB}|\\cdot|\\vec{AC}|}=\\frac{\\left|\\vec{u}\\times\\vec{v}\\right|}{|\\vec{u}|\\cdot|\\vec{v}|}$$由于$\\vec{u}\\times\\vec{v}$的長度就是$\\vec{n}\\cdot\\vec{a}$的長度，因此可以將上式簡化為：$$\\sin\\theta=\\frac{\\left|\\vec{n}\\cdot\\vec{a}\\right|}{|\\vec{n}|\\cdot|\\vec{a}|}$$這就是直線與平面夾角的正弦值公式。三、應用例題現在，我們可以通過一些例題來完成對直線與平面夾角的正弦值公式的理解。例1：已知平面$P$的一般式為$Ax+By+Cz+D=0$，該平面過點$A(1,2,3)$，直線$l$的方向向量為$\\vec{a}=(1,1,-1)$，求直線$l$和平面$P$的夾角的正弦值。解：首先，我們需要求出平面$P$的法向量$\\vec{n}=(A,B,C)$，由于該平面過點$A(1,2,3)$，我們可以將其一般式化為點法式，即$Ax+By+Cz+D=0$，代入點$A$就可以得到：$A(1)+B(2)+C(3)+D=0$，因此，$D=-A-2B-3C$。于是，平面$P$的方程可以表示為：$$Ax+By+Cz-(A+2B+3C)=0$$因此，平面$P$的法向量為$\\vec{n}=(A,B,C)=(1,2,3)$，直線$l$的方向向量為$\\vec{a}=(1,1,-1)$，那么直線$l$和平面$P$的夾角正弦值為：$$\\sin\\theta=\\frac{\\left|\\vec{n}\\cdot\\vec{a}\\right|}{|\\vec{n}|\\cdot|\\vec{a}|}=\\frac{\\left|(1)(1)+(2)(1)+(-3)(-1)\\right|}{\\sqrt{1^2+2^2+3^2}\\cdot\\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\\frac{6}{\\sqrt{14}\\cdot\\sqrt{3}}=\\frac{2\\sqrt{14}}{7}$$例2：已知點$A(-1,2,3)$、$B(1,-1,4)$和$C(3,0,2)$，求直線$AB$和平面$P$的夾角的正弦值，其中平面$P$過$BC$的中點并垂直于向量$\\vec{BC}$。解：首先，我們可以通過點$B$和點$C$來構造平面$P$，因為$P$過$BC$的中點，我們可以求得$BC$的中點$D(\\frac{1}{2},-\\frac{1}{2},3)$。平面$P$的法向量$\\vec{n}$應該是與向量$\\vec{BC}$垂直的，我們可以通過$\\vec{BC}$的兩個向量來求解，即：$$\\vec{u}=\\vec{BC}=(3-1,0-(-1),2-4)=(2,1,-2)$$$$\\vec{v}=\\vec{BD}=(\\frac{1}{2}-1,-\\frac{1}{2}-(-1),3-4)=(-\\frac{1}{2},\\frac{3}{2},-1)$$那么，平面$P$的法向量$\\vec{n}=\\vec{u}\\times\\vec{v}$，我們可以通過叉積公式來計算：$$\\vec{n}=\\vec{u}\\times\\vec{v}=\\begin{vmatrix}i&j&k\\\\2&1&-2\\\\-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}&-1\\end{vmatrix}=(2,5,5)$$此外，直線$AB$的方向向量為$\\vec{a}=\\vec{B}-\\vec{A}=(2,-3,1)$，那么，直線$AB$與平面$P$的夾角正弦值為：$$\\sin\\theta=\\frac{\\left|\\vec{n}\\cdot\\vec{a}\\right|}{|\\vec{n}|\\cdot|\\vec{a}|}=\\frac{\\left|(2)(2)+(5)(-3)+(5)(1)