2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專用)二輪復(fù)習(xí)-專題四-第三講-函數(shù)的綜合運(yùn)用15-【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】

函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例1設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積;(3)寫出定義域內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【分析】(1)先查找函數(shù)的周期,然后進(jìn)行求值.(2)利用周期性和對(duì)稱性作出在-4≤x≤4上的函數(shù)的圖象,然后分析可求得圖形面積.(3)先在一個(gè)周期中查找單調(diào)區(qū)間,然后利用周期性進(jìn)行求解.【解答】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.又當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則f(x)的圖象如圖所示.(例1)當(dāng)-4≤x≤4時(shí),f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4××2×1=4.(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[4k-1,4k+1](k∈Z),單調(diào)減區(qū)間為[4k+1,4k+3](k∈Z).【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性,有兩種基本的推斷方法:一是在各個(gè)段上依據(jù)函數(shù)的解析式求出單調(diào)區(qū)間,最終對(duì)各個(gè)段上的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合;二是畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)進(jìn)行直觀推斷.變式設(shè)a為常數(shù),y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=9x++7,若f(x)≥a+1對(duì)一切x≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】方法一:由題設(shè)知f(0)=0,故由f(0)≥a+1,得0≥a+1,即a≤-1.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=9x++7,故當(dāng)x>0時(shí),f(x)=9x+-7≥6-7=-6a-7,故-6a-7≥a+1,解得a≤-.綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.方法二:同方法一,得a≤-1,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=9x++7≤-6|a|+7=6a+7.由奇函數(shù)的對(duì)稱性知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥-6a-7,故-6a-7≥a+1,解得a≤-.綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.方法三:同方法一,原問題就是9x2-(a+8)x+a2≥0在x∈(0,+∞)上恒成立.考察二次函數(shù)g(x)=9x2-(a+8)x+a2的圖象,由于g(0)=a2>0,要使不等式9x2-(a+8)x+a2≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,只需Δ≤0,解得a≤-或a≥;或解得a∈.又a≤-1,得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的綜合問題涉及到幾乎全部類型的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),簡(jiǎn)潔的分式函數(shù),分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)也有所涉及.重點(diǎn)考查函數(shù)的三大性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性與周期性),二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其幾何意義等,利用導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最值,利用函數(shù)的圖象解題.函數(shù)應(yīng)用題例2A城市的出租車計(jì)價(jià)方式為:若行程不超過3km,則按“起步價(jià)”10元計(jì)價(jià);若行程超過3km,則之后的2km以內(nèi)的行程按“里程價(jià)”計(jì)價(jià),單價(jià)為1.5元/km;若行程超過5km,則之后的行程按“返程價(jià)”計(jì)價(jià),單價(jià)為2.5元/km.設(shè)某人的出行行程為xkm,現(xiàn)有兩種乘車方案:①乘坐一輛出租車;②每5km換乘一輛出租車.(1)分別寫出兩種乘車方案計(jì)價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;(2)對(duì)不同的行程,①②兩種方案中哪種方案的價(jià)格較低?請(qǐng)說明理由.【分析】在不同的行程的不同部分上,有不同的計(jì)價(jià)方式,因此本題是分段函數(shù)模型.【解答】(1)設(shè)方案①的計(jì)價(jià)函數(shù)為f(x),方案②的計(jì)價(jià)函數(shù)為g(x),則f(x)=g(x)=(2)當(dāng)x∈(0,5]時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)x>5時(shí),方案①的價(jià)格都比方案②的價(jià)格低.理由如下:當(dāng)x∈(5k,5k+3](k∈N*)時(shí),f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-(13k+10)=2.5x-13k-9.5,由于x≤5k+3,所以f(x)-g(x)≤12.5k+7.5-13k-9.5=-0.5k-2<0.當(dāng)x∈(5k+3,5k+5](k∈N*)時(shí),f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-[13k+10+1.5(x-5k-3)]=x-5.5k-5,由于x≤5k+5,所以f(x)-g(x)≤-0.5k<0.所以方案①的價(jià)格較低.【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)的特點(diǎn):在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達(dá)式.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定各段的邊界點(diǎn),即明確有變量的取值區(qū)間,分別對(duì)每一區(qū)間進(jìn)行爭(zhēng)辯,從而寫出函數(shù)解析式.變式(2022·常州期末)幾名高校畢業(yè)生合作開3D打印店,生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品.已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)月都能銷售完,每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元.該店的月總成本由兩部分組成:第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本,其次部分是其他固定支出20000元.假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(單位:件)與銷售價(jià)格x(單位:元/件)(x∈N*)之間滿足如下關(guān)系:①當(dāng)34≤x≤60時(shí),t(x)=-a(x+5)2+10050;②當(dāng)60≤x≤76時(shí),t(x)=-100x+7600.設(shè)該店月利潤(rùn)為M(單位:元)(月利潤(rùn)=月銷售總額-月總成本),求:(1)M關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該打印店月利潤(rùn)M的最大值及此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格.【解析】(1)當(dāng)x=60時(shí),t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.所以M(x)=即M(x)=(2)設(shè)g(u)=(-2u2-20u+10000)(u-34)-20000,34≤u<60,u∈R,則g'(u)=-6(u2-16u-1780).令g'(u)=0,解得u1=8-2(舍去),u2=8+2∈(50,51).當(dāng)34<u<50時(shí),g'(u)>0,g(u)單調(diào)遞增;當(dāng)51<u<60時(shí),g'(u)<0,g(u)單調(diào)遞減.由于x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,所以M(x)的最大值為44226.當(dāng)60≤x≤76時(shí),M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000單調(diào)遞減,故此時(shí)M(x)的最大值為M(60)=21600.綜上所述,當(dāng)x=51時(shí),月利潤(rùn)M(x)有最大值,且最大值為44226元.故該打印店月利潤(rùn)最大為44226元,此時(shí)產(chǎn)品的銷售價(jià)格為51元/件.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx,m∈R.(1)當(dāng)m=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)當(dāng)m>0時(shí),若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值.【分析】(1)當(dāng)m=0時(shí),確定函數(shù)f(x)的表達(dá)式,通過求導(dǎo)來求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;(2)直線與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程有且只有一個(gè)解,然后分類進(jìn)行爭(zhēng)辯.【解答】(1)由題意知為f(x)=-2x+3+lnx,所以f'(x)=-2+=(x>0).由f'(x)>0,得x∈.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為.(2)由f'(x)=mx-m-2+,得f'(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線l的方程為y=-x+2.由題意得,關(guān)于x的方程f(x)=-x+2有且只有一個(gè)解,即關(guān)于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一個(gè)解.令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx(x>0),則g'(x)=m(x-1)-1+==(x>0).①當(dāng)0<m<1時(shí),由g'(x)>0,得0<x<1或x>;由g'(x)<0,得1<x<.所以函數(shù)g(x)在(0,1)上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).又g(1)=0,且當(dāng)x趨向+∞時(shí),g(x)趨向+∞,此時(shí)曲線y=g(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).故0<m<1不合題意.②當(dāng)m=1時(shí),g'(x)≥0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且g(1)=0,故m=1符合題意.③當(dāng)m>1時(shí),由g'(x)>0,得0<x<或x>1;由g'(x)<0,得<x<1.所以函數(shù)g(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù).又g(1)=0,且當(dāng)x趨向0時(shí),g(x)趨向-∞,此時(shí)曲線y=g(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).故m>1不合題意.綜上,實(shí)數(shù)m的值為1.【點(diǎn)評(píng)】大多數(shù)函數(shù)綜合題都需要分類爭(zhēng)辯,而且大多數(shù)都可歸結(jié)為求解含參數(shù)的一元二次不等式(或方程),或求解含參數(shù)的分式不等式(或方程),或利用前面已證明不等式(或等式),求解不等式或(方程)等等.此外要機(jī)敏運(yùn)用化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想,將簡(jiǎn)潔問題轉(zhuǎn)化為生疏的情境.變式(2022·南京、淮安三模)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R).(1)若曲線y=f(x)過點(diǎn)P(1,-1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2>e2.【分析】(1)求出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),從而求出切線的斜率,從而求出方程;(2)對(duì)m進(jìn)行爭(zhēng)辯,利用單調(diào)性求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;(3)由x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),可得到lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,結(jié)合所要證明的結(jié)果即證lnx1+lnx2>2,從而將它轉(zhuǎn)化為lnx1+lnx2=m(x1+x2)>2,再留意到lnx1-lnx2=m(x1-x2),由此消去m,從而構(gòu)造出一個(gè)以x1,x2為元的不等式,再構(gòu)造一個(gè)以為元的函數(shù)從而可以解決問題.【解答】(1)由于點(diǎn)P(1,-1)在曲線y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1.由于f'(x)=-1,所以切線的斜率為0,所以切線方程為y=-1.(2)由于f'(x)=-m=.①當(dāng)m≤0時(shí),x∈(1,e),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,則f(x)max=f(e)=1-me.②當(dāng)≥e,即0<m≤時(shí),x∈(1,e),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,則f(x)max=f(e)=1-me.③當(dāng)1<<e,即<m<1時(shí),函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則f(x)max=f=-lnm-1.④當(dāng)≤1,即m≥1時(shí),x∈(1,e),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,則f(x)max=f(1)=-m.綜上所述,當(dāng)m≤時(shí),f(x)max=1-me;當(dāng)<m<1時(shí),f(x)max=-lnm-1;當(dāng)m≥1時(shí),f(x)max=-m.(3)不妨設(shè)x1>x2>0.由于f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2).要證明x1x2>e2,即證明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.由于m=,所以即證明>,即ln>.令=t,則t>1,于是lnt>.令φ(t)=lnt-(t>1),則φ'(t)=-=>0.故函數(shù)φ(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以φ(t)>φ(1)=0,即lnt>成立.所以原不等式成立.創(chuàng)新型函數(shù)綜合題例4對(duì)任意x∈R,給定區(qū)間(k∈Z),設(shè)函數(shù)f(x)表示實(shí)數(shù)x與x所屬的給定區(qū)間內(nèi)唯一整數(shù)之差的確定值.(1)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的解析式;當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí),寫出用確定值符號(hào)表示的f(x)的解析式;(2)求f,f的值,并推斷函數(shù)f(x)(x∈R)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)當(dāng)<a<1時(shí),求方程f(x)-loga=0的實(shí)根.(要求說明理由)【分析】(1)依據(jù)定義直接寫出x∈[-,]時(shí)f(x)的解析式,x∈(k∈Z)時(shí)f(x)的解析式;(2)首先推斷,-所在的區(qū)間,然后直接代入公式即可,可用定義推斷單調(diào)性;(3)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判定方程的根.【解答】(1)當(dāng)x∈時(shí),區(qū)間中的唯一整數(shù)為0,由定義知f(x)=|x|,x∈.當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí),在區(qū)間[k-,k+]中的唯一整數(shù)為k,由定義知f(x)=|x-k|,x∈[k-,k+](k∈Z).(2)由于∈,區(qū)間中的唯一整數(shù)為1;-∈,區(qū)間中的唯一整數(shù)為-1.所以f=,f=.函數(shù)f(x)是偶函數(shù),證明如下:對(duì)任意x∈R,存在唯一實(shí)數(shù)k∈Z,使得k-≤x≤k+,則f(x)=|x-k|.由k-≤x≤k+,得-k-≤-x≤-k+(k∈Z),即-x∈(-k∈Z).由(1)的結(jié)論,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),即f(x)是偶函數(shù).(3)f(x)-loga=0,即|x-k|-logax=0,其中x>0.①當(dāng)x>1時(shí),|x-k|≥0>logax,所以|x-k|-logax=0沒有大于1的實(shí)根.②當(dāng)x=1時(shí),簡(jiǎn)潔驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-logax=0的實(shí)根.③當(dāng)<x<1時(shí),對(duì)應(yīng)的k=1,方程|x-k|-logax=0變?yōu)?-x-logax=0.設(shè)H(x)=logax-(1-x),則H'(x)=logae+1=+1<+1=-+1<0,故當(dāng)<x<1時(shí),H(x)為減函數(shù),H(x)>H(1)=0,方程沒有屬于的實(shí)根.④當(dāng)0<x≤時(shí),對(duì)應(yīng)的k=0,方程|x-k|-logax=0變?yōu)閤-logax=0.設(shè)G(x)=logax-x,明顯G(x)為減函數(shù).G(x)≥G>0,所以方程沒有0<x≤的實(shí)根.綜上,若<a<1時(shí),方程f(x)-loga=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,且實(shí)根為1.【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)新定義型試題,實(shí)質(zhì)是一個(gè)確定值函數(shù).在求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根時(shí),可用兩種求法:一是代數(shù)法,可求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,二是幾何法,可與函數(shù)f(x)的圖象聯(lián)系起來,并用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).變式(2022·蘇州暑假調(diào)查)對(duì)于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”.(1)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x-4a(a∈R),試推斷f(x)是否為“局部奇函數(shù)”,并說明理由;(2)若f(x)=2x+m是定義在區(qū)間[-1,1]上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3為定義在R上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)問題等價(jià)于推斷方程f(x)+f(-x)=0是否有解;(2)在方程f(x)+f(-x)=0有解時(shí),通過分別參數(shù)求取值范圍;(