《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分-開卷速查12-函數(shù)模型及其應(yīng)用

開卷速查(十二)函數(shù)模型及其應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1．往外埠投寄平信，每封信不超過(guò)20g，付郵費(fèi)0.80元，超過(guò)20g而不超過(guò)40g，付郵費(fèi)1.60元，依此類推，每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元(信的質(zhì)量在100g以內(nèi))．假如某人所寄一封信的質(zhì)量為72.5g，那么他應(yīng)付郵費(fèi)()A．3.20元 B．2.90元C．2.80元 D.2.40元解析：由題意得20×3＜72.5＜20×4，則應(yīng)付郵費(fèi)0.80×4＝3.20(元)．故選A.答案：A2．在某個(gè)物理試驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B.y＝x2－1C．y＝2x－2D.y＝log2x解析：依據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排解A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排解B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.答案：D3．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a＞0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從動(dòng)身到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為()解析：留意到y(tǒng)為“小王從動(dòng)身到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案D.答案：D4．[2022·北京]加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘B.3.75分鐘C．4.00分鐘D.4.25分鐘解析：由試驗(yàn)數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p＝at2＋bt＋c的圖像過(guò)點(diǎn)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分別代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以當(dāng)t＝3.75分鐘時(shí)，可食用率p最大．故選B.答案：B5．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝aent，假設(shè)5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m分鐘后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，則m的值為()A．8 B.10C．12 D.15解析：由已知條件可得ae5n＝eq\f(a,2)，e5n＝eq\f(1,2).由aent＝eq\f(a,8)，得ent＝eq\f(1,8)，所以t＝15，m＝15－5＝10.答案：B6．國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅方法：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元而不超過(guò)4000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅；超過(guò)4000元的按全部稿費(fèi)的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為()A．2800元B.3000元C．3800元D.3818元解析：設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x≤800，,x－800×14%800＜x≤4000，,11%·xx＞4000.))假如稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在800～4000元之間，∴(x－800)×14%＝420.∴x＝3800(元).答案：C7．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k＝__________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為__________個(gè)．解析：當(dāng)t＝0.5時(shí)，y＝2，∴2＝eeq\f(1,2)k，∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2，當(dāng)t＝5時(shí)，∴y＝e10ln2＝210＝1024.答案：2ln210248．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了______km.解析：設(shè)出租車行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8.))由y＝22.6，解得x＝9.答案：99．如圖，書的一頁(yè)的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁(yè)書的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為__________．解析：設(shè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm，則ab＝600，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝30，b＝20時(shí)，S最大＝486.答案：30cm、20cm10．有一種新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個(gè)單位的洗衣液在確定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－x)－10≤x≤4，,7－\f(1,2)x4＜x≤14.))若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．依據(jù)閱歷，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；(2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？解析：(1)由題意知keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－2)－1))＝3，得k＝1.(2)由于k＝4，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(96,8－x)－40≤x≤4，,28－2x4＜x≤14，))則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由eq\f(96,8－x)－4≥4，解得8＞x≥－4，所以此時(shí)0≤x≤4.當(dāng)4＜x≤14時(shí)，由28－2x≥4，解得x≤12，所以此時(shí)4＜x≤12.綜上可知0≤x≤12，若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘．B級(jí)力氣提升練11．甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)當(dāng)選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)．解析：(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是eq\f(a,x)小時(shí)，∵每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元，∴獲得的利潤(rùn)為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))×eq\f(a,x)元．因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元．(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為90000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))元，1≤x≤10.設(shè)f(x)＝－eq\f(3,x2)＋eq\f(1,x)＋5,1≤x≤10.則f(x)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋eq\f(1,12)＋5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6取得最大值．故獲得最大利潤(rùn)為90000×eq\f(61,12)＝457500元．因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457500元．12．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C＝3＋x，每日的銷售額S(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋5,0＜x＜6，,14,x≥6，)))已知每日的利潤(rùn)L＝S－C，且當(dāng)x＝2時(shí)，L＝3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值．解析：(1)由題意可得：L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋2，0＜x＜6，,11－x，x≥6，))由于x＝2時(shí)，L＝3，所以3＝2×2＋eq\f(k,2－8)＋2，解得k＝1